어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$에 대하여 특정 극한값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 머릿속에 떠올려야 합니다.
- 미분계수의 정의: 극한식 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$가 의미하는 것이 바로 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$라는 점입니다.
- 도함수의 공식: 다항함수를 빠르게 미분하는 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$)을 이용하면 복잡한 극한 계산을 아주 쉽게 해결할 수 있습니다.
단계별 풀이
이 문제는 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 개념을 확실히 다지기 위해 두 방법 모두 알아봅시다!
방법 1: 미분계수의 정의와 미분공식 이용하기 (가장 빠른 방법)
1. 구하고자 하는 극한식의 의미 파악하기
문제에서 구하라고 한 식을 가만히 살펴볼까요?
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 **함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수, 즉 $f'(1)$**을 뜻합니다.
따라서 우리는 $f'(1)$의 값만 구하면 됩니다.
2. 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수 $f(x) = 3x^2 - x + 1$을 미분공식을 이용해 미분해 봅시다.
- $3x^2$을 미분하면 $3 \times 2x = 6x$가 됩니다.
- $-x$를 미분하면 $-1$이 됩니다.
- 상수항 $1$을 미분하면 $0$이 됩니다.
따라서 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 6x - 1$$
3. $x=1$ 대입하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f'(1)$이므로, 위에서 구한 도함수에 $x=1$을 대입합니다.
$$f'(1) = 6(1) - 1 = 5$$
방법 2: 극한값 직접 계산하기 (원리 이해하기)
미분공식을 모른다고 가정하고, 극한의 성질을 이용해 직접 계산해 볼 수도 있습니다.
1. $f(1)$의 값 구하기
먼저 $f(x) = 3x^2 - x + 1$에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$을 구합니다.
$$f(1) = 3(1)^2 - 1 + 1 = 3$$
2. 극한식에 대입하여 정리하기
이제 극한식에 $f(x)$와 $f(1)$의 값을 대입합니다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{(3x^2 - x + 1) - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - x - 2}{x - 1}$$
3. 분자 인수분해하기
$x \to 1$일 때 분모가 $0$으로 가므로, 분자도 반드시 $(x-1)$이라는 인수를 가집니다. 분자를 인수분해 해봅시다.
$$3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1)$$
4. 약분 후 극한값 구하기
분모와 분자의 공통인수 $(x-1)$을 약분합니다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (3x + 2)$$
이제 $x=1$을 대입하면 최종 극한값을 얻을 수 있습니다.
$$3(1) + 2 = 5$$
두 가지 방법 모두 결과가 $5$로 같음을 확인할 수 있습니다!
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> 함수 $g(x) = 2x^2 + 3x - 2$에 대하여 다음 극한값은 얼마일까요?
> $$\lim_{x \to 2} \frac{g(x) - g(2)}{x - 2}$$