어떤 문제인가
이 문제는 지수함수와 로그함수의 교점의 성질을 이해하고, 주어진 조건들을 연립하여 원하는 값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 기울기의 정의: 원점 $\mathrm{O}(0,0)$과 점 $\mathrm{P}(\alpha, \beta)$를 지나는 직선의 기울기 $m$은 $m = \frac{\beta}{\alpha}$입니다.
- 로그의 성질: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ 이고, $\log_a (x^k) = k\log_a x$ 입니다. 또한, 밑 변환 공식을 자유롭게 쓸 수 있어야 합니다.
- 지수법칙: $a^p \times a^q = a^{p+q}$ 임을 이용하여 거듭제곱근을 유리수 지수로 표현합니다.
단계별 풀이
1단계: (가)에 알맞은 수 $p$ 구하기
박스 안의 식을 보면 다음과 같은 단서가 있습니다.
$$3\alpha - \beta = 0$$
이 식을 정리하면 $\beta = 3\alpha$가 됩니다.
우리가 구하고자 하는 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$은 원점과 점 $\mathrm{P}(\alpha, \beta)$를 잇는 직선의 기울기이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$m = \frac{\beta}{\alpha}$$
여기에 $\beta = 3\alpha$를 대입해 볼까요?
$$m = \frac{3\alpha}{\alpha} = 3$$
따라서 (가)에 알맞은 수 $p$는 $3$입니다.
$$p = 3$$
2단계: (나)에 알맞은 수 $q$ 구하기
문제의 조건에서 $\alpha\beta^3 = 1$이라고 했습니다.
또한, 1단계에서 구한 기울기 식을 변형하면 $\beta = m\alpha$가 됩니다.
이제 $\beta^4$을 다음과 같이 쪼개어 써봅시다.
$$\beta^4 = \beta \times \beta^3$$
여기에 $\beta = m\alpha$를 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\beta^4 = (m\alpha) \times \beta^3 = m(\alpha\beta^3)$$
그런데 $\alpha\beta^3 = 1$이므로, 이 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\beta^4 = m \times 1 = m$$
우리는 1단계에서 $m = 3$임을 구했습니다. 따라서,
$$\beta^4 = 3$$
점 $\mathrm{P}$는 제1사분면의 점이므로 $\beta > 0$입니다. 양의 실수인 $\beta$를 구하면 다음과 같습니다.
$$\beta = 3^{\frac{1}{4}} \quad (\text{또는 } \sqrt[4]{3})$$
따라서 (나)에 알맞은 수 $q$는 $3^{\frac{1}{4}}$입니다.
$$q = 3^{\frac{1}{4}}$$
3단계: (다)에 알맞은 식 정리하여 수 $r$ 구하기
이제 (다)에 해당하는 식을 계산해 봅시다. 박스에 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$g(m) = \frac{\beta}{-1 + \log_m \beta}$$
우리가 위에서 구한 값들($m = 3$, $\beta = 3^{\frac{1}{4}}$)을 이 식에 대입해 보겠습니다.
먼저 분모에 있는 로그 항을 계산해 볼까요?
$$\log_m \beta = \log_3 \left(3^{\frac{1}{4}}\right) = \frac{1}{4}$$
이를 분모 전체 식에 대입하면,
$$-1 + \log_m \beta = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}$$
이제 전체 식 $g(m)$에 분자와 분모를 모두 대입합니다.
$$g(m) = \frac{3^{\frac{1}{4}}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} \times 3^{\frac{1}{4}}$$
지수법칙을 이용해 조금 더 정리해 두면 다음과 같습니다.
$$g(m) = -4 \times 3^{-1} \times 3^{\frac{1}{4}} = -4 \times 3^{-\frac{3}{4}}$$
따라서 (다)에 알맞은 수 $r$은 $-\frac{4}{3} \times 3^{\frac{1}{4}}$ (또는 $-4 \times 3^{-\frac{3}{4}}$)입니다.
$$r = -\frac{4}{3} \times 3^{\frac{1}{4}}$$
4단계: 최종 값 $(p \times q \times r)^2$ 계산하기
우리가 구한 $p, q, r$을 모두 곱해봅시다.
$$p \times q \times r = 3 \times 3^{\frac{1}{4}} \times \left( -\frac{4}{3} \times 3^{\frac{1}{4}} \right)$$
곱셈의 순서를 바꾸어 유리수 부분과 지수 부분을 따로 계산하면 편리합니다.
$$p \times q \times r = \left( 3 \times \left(-\frac{4}{3}\right) \right) \times \left( 3^{\frac{1}{4}} \times 3^{\frac{1}{4}} \right)$$
$$= -4 \times 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$$
$$= -4 \times 3^{\frac{1}{2}}$$
$$= -4\sqrt{3}$$
마지막으로 이 값을 제곱합니다.
$$(p \times q \times r)^2 = (-4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48$$
답
$$48$$
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 스스로 생각해보는 시간입니다. 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 만약 어떤 문제에서 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$이 $2$이고, 점 $\mathrm{P}(\alpha, \beta)$가 $\alpha\beta^2 = 1$을 만족한다고 합니다. 이때 $\beta^3$의 값은 무엇이 될까요? (2단계 풀이 과정을 참고하여 스스로 유도해 보세요!)