어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 그래프와, 그에 따라 정의된 새로운 함수 $g(t)$의 성질을 이용해 $f(x)$의 식을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼차함수의 그래프 개형과 실근의 개수: 삼차함수의 극대·극소 존재 여부에 따라 실근의 개수가 어떻게 변하는지 이해해야 합니다.
- 함수의 불연속 조건: $g(t)$가 오직 $t=3$에서만 불연속이라는 조건이 삼차함수 $f(x)$의 극솟값과 어떤 관계가 있는지 파악해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: $g(t)$의 의미와 불연속이 생기는 이유 이해하기
우선 문제에 주어진 식을 정리해 봅시다.
$$f(\alpha) = f'(t) - 4t^2 + 4$$
우변은 $t$에 대한 식입니다. 편의상 이 식을 $k(t)$라고 합시다.
$$k(t) = f'(t) - 4t^2 + 4$$
그러면 식은 $f(\alpha) = k(t)$가 됩니다. 이 식을 만족하는 실수 $\alpha$ 중 최댓값을 $g(t)$라고 정의했습니다. 즉, $y = f(x)$의 그래프와 가로선 $y = k(t)$가 만나는 교점의 $x$좌표 중 가장 큰 값이 $g(t)$입니다.
만약 삼차함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않고 계속 증가하는 함수라면, 어떤 $k(t)$ 값에 대해서도 교점은 항상 1개뿐이므로 $g(t)$는 끊어짐 없이 연속적으로 변할 것입니다.
하지만 문제에서 $g(t)$가 불연속인 점이 존재한다고 했으므로, **$f(x)$는 반드시 극대치와 극소치를 가지는 삼차함수**여야 합니다.
2단계: $g(t)$가 불연속이 되는 순간 분석하기
$f(x)$의 극댓값을 $M$, 극솟값을 $m$이라 하고, 극소가 되는 $x$좌표를 $x_2$라고 합시다.
$y = k(t)$의 값이 변함에 따라 교점의 최댓값 $g(t)$가 어떻게 변하는지 살펴봅시다.
- $k(t) > m$ 일 때: 교점 중 가장 오른쪽에 있는 점의 $x$좌표가 $g(t)$가 되며, 이 값은 항상 $x_2$보다 큽니다.
- $k(t) = m$ 일 때: 교점은 극소점($x = x_2$)과 왼쪽의 한 점이 생깁니다. 이 중 최댓값은 극소점의 $x$좌표인 $x_2$입니다. 즉, $g(t) = x_2$입니다.
- $k(t) < m$ 일 때: 교점은 오직 왼쪽 영역(극댓값보다 왼쪽)에 딱 1개만 존재합니다. 따라서 $g(t)$는 $x_2$보다 훨씬 작은 값이 됩니다.
여기서 중요한 변화가 일어납니다!
$k(t)$의 값이 위에서부터 내려오다가 **극솟값 $m$보다 작아지는 순간, $g(t)$의 값은 갑자기 $x_2$에서 왼쪽 영역의 값으로 '점프(불연속)'하게 됩니다.**
3단계: $t=3$에서만 불연속이 될 조건 구하기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수를 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 라고 놓읍시다.
그러면 도함수는 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 입니다.
이를 $k(t)$ 식에 대입해 정리해 봅시다.
$$k(t) = (3t^2 + 2at + b) - 4t^2 + 4 = -t^2 + 2at + b + 4$$
$k(t)$는 위로 볼록한 이차함수입니다!
이차함수 $k(t)$는 최댓값을 가집니다. 만약 $k(t)$의 최댓값이 $f(x)$의 극솟값 $m$보다 크다면, $k(t)$가 내려가면서 $m$과 만나는 지점이 2개가 생겨 불연속점이 2개가 될 것입니다.
하지만 문제에서 **오직 $t=3$에서만 불연속**이라고 했습니다.
이것이 가능하려면, **위로 볼록한 $k(t)$의 최댓값(꼭짓점의 $y$좌표)이 정확히 $f(x)$의 극솟값 $m$과 같아야 합니다.**
즉,
- $k(t)$는 $t=3$에서 최댓값을 가집니다. (꼭짓점의 $t$좌표가 $3$)
- 그때의 최댓값 $k(3)$이 바로 극솟값 $m$입니다.
- $t=3$일 때의 $g(3)$ 값은 극소점의 $x$좌표인 $x_2$가 되는데, 문제에서 $g(3) = 1$이라고 했으므로 **극소가 되는 $x$좌표는 $1$**입니다. ($x_2 = 1$)
4단계: 계수 결정하고 $f(x)$ 완성하기
이제 구한 조건들을 하나씩 대입해 봅시다.
**조건 1) $k(t)$의 꼭짓점이 $t=3$이다.**
$k(t) = -t^2 + 2at + b + 4$ 의 축의 방정식은 $t = a$ 입니다.
따라서, $a = 3$ 입니다.
이를 대입하면:
$$f(x) = x^3 + 3x^2 + bx + c$$
$$f'(x) = 3x^2 + 6x + b$$
$$k(t) = -t^2 + 6t + b + 4$$
**조건 2) $x=1$에서 극소이다.**
$f(x)$는 $x=1$에서 극값을 가지므로 $f'(1) = 0$ 이어야 합니다.
$$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) + b = 9 + b = 0 \implies b = -9$$
이를 대입하면 $k(t)$와 $f(x)$는 다음과 같이 정리됩니다.
$$k(t) = -t^2 + 6t - 5$$
$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + c$$
**조건 3) $t=3$일 때 $k(3)$이 극솟값 $f(1)$과 같다.**
- $t=3$일 때 $k(3) = -3^2 + 6(3) - 5 = 4$
- $x=1$일 때 극솟값 $f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + c = c - 5$
두 값이 같아야 하므로:
$$c - 5 = 4 \implies c = 9$$
따라서 우리가 구하고자 하는 삼차함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 9$$
5단계: $f(2)$의 값 구하기
마지막으로 $x=2$를 대입하여 답을 구합니다.
$$f(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 9(2) + 9$$
$$f(2) = 8 + 12 - 18 + 9 = 11$$
답
$$11$$
확인해보기
위에서 설명한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼 질문입니다.
> 질문: 만약 이차함수 $k(t)$의 최댓값이 $f(x)$의 극솟값 $m$보다 더 컸다면, 함수 $g(t)$는 몇 개의 $t$ 값에서 불연속이 되었을까요? 그래프의 높낮이를 생각하며 그 이유를 스스로 설명해 보세요.