어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 시그마($\sum$)의 성질을 이해하고, 이를 이용해 연립방정식을 풀어내는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **시그마($\sum$)의 기본 성질**: 시그마 기호는 덧셈에 대해 분배할 수 있고, 상수(숫자)는 시그마 앞으로 꺼낼 수 있습니다.
- $\sum (x_k + y_k) = \sum x_k + \sum y_k$
- $\sum (c \cdot x_k) = c \sum x_k$ (단, $c$는 상수)
- 치환을 이용한 단순화: 복잡해 보이는 시그마 식을 하나의 문자(변수)로 치환하면 중학교 때 배운 연립방정식 문제로 쉽게 바꿀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 복잡한 시그마 식을 단순하게 치환하기
우리가 구하고자 하는 것은 $\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값입니다. 식을 매번 쓰기 번거로우니, 다음과 같이 간단한 문자로 치환해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k = A$$
$$\sum_{k=1}^{5} b_k = B$$
이렇게 치환하면 복잡해 보이던 수열의 합이 간단한 문자 $A$와 $B$로 정리됩니다.
2단계: 시그마의 성질을 이용하여 조건식 변형하기
이제 문제에서 주어진 두 개의 조건식에 시그마의 성질을 적용해 보겠습니다.
첫 번째 조건식:
$$\sum_{k=1}^{5} (2a_k + b_k) = 19$$
시그마를 각각 분배하고 상수를 앞으로 꺼내면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$2\sum_{k=1}^{5} a_k + \sum_{k=1}^{5} b_k = 19$$
여기에 1단계에서 정한 $A$와 $B$를 대입하면 아주 익숙한 식이 됩니다.
$$2A + B = 19 \quad \cdots \text{ (식 ①)}$$
두 번째 조건식:
$$\sum_{k=1}^{5} (a_k + b_k) = 10$$
이 식도 마찬가지로 시그마를 분배해 줍니다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k + \sum_{k=1}^{5} b_k = 10$$
$A$와 $B$를 대입하면 다음과 같습니다.
$$A + B = 10 \quad \cdots \text{ (식 ②)}$$
3단계: 연립방정식 풀기
우리가 얻은 두 식은 다음과 같습니다.
- 식 ①: $2A + B = 19$
- 식 ②: $A + B = 10$
우리가 구하고자 하는 값은 $\sum_{k=1}^{5} a_k$, 즉 $A$의 값입니다. $A$를 구하기 위해 식 ①에서 식 ②를 변끼리 빼보겠습니다.
$$(2A + B) - (A + B) = 19 - 10$$
$$A = 9$$
따라서 구하고자 하는 값은 $9$가 됩니다.
답
④ $9$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
만약 문제에서 $\sum_{k=1}^{5} a_k$가 아니라, **$\sum_{k=1}^{5} b_k$의 값**을 구하라고 했다면 그 값은 얼마가 될까요? 스스로 계산해 보세요!