어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고, 특정 지점에서의 좌극한과 우극한을 구하여 그 합을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 하는 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- 극한값과 함숫값의 차이: 극한값은 그 지점에서의 실제 함숫값(색칠된 점 $\bullet$)이 무엇인지와 상관없이, 어디를 향해 가고 있는지(목표치)만 관심이 있습니다. 그래프의 빈 동그라미($\circ$)도 극한값의 후보가 될 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항인 좌극한 $\lim_{x \to -1-} f(x)$ 구하기
먼저 $x \to -1-$의 의미를 생각해 봅시다. 이것은 $x$가 $-1$보다 작은 왼쪽 영역($x < -1$)에서 $-1$을 향해 다가간다는 뜻입니다.
- 그래프에서 $x < -1$ 영역을 보세요. $(-2, 0)$을 지나 $(-1, -1)$의 빈 동그라미를 향해 가는 직선이 보이나요?
- $x$의 값을 왼쪽에서부터 $-1$에 가깝게 붙여갈 때, 그래프의 $y$값은 어디를 향해 가고 있나요? 바로 $-1$을 향해 가고 있습니다.
- 따라서 좌극한 값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to -1-} f(x) = -1$$
*(참고: $x = -1$에서 실제 함숫값은 색칠된 점인 $f(-1) = 1$이지만, 극한값은 다가가는 목표를 묻는 것이므로 함숫값과 다를 수 있습니다!)*
2단계: 두 번째 항인 우극한 $\lim_{x \to 1+} f(x)$ 구하기
이번에는 $x \to 1+$의 의미를 생각해 봅시다. 이것은 $x$가 $1$보다 큰 오른쪽 영역($x > 1$)에서 $1$을 향해 다가간다는 뜻입니다.
- 그래프에서 $x > 1$ 영역을 보세요. $(2, 0)$을 지나 $(1, 1)$의 빈 동그라미에서 시작하는 직선이 보이나요?
- $x$의 값을 오른쪽에서부터 $1$에 가깝게 붙여갈 때, 그래프의 $y$값은 어디를 향해 가고 있나요? 바로 $1$을 향해 가고 있습니다.
- 따라서 우극한 값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 1+} f(x) = 1$$
3단계: 두 극한값 더하기
우리가 구한 두 값을 더해줍니다.
$$\lim_{x \to -1-} f(x) + \lim_{x \to 1+} f(x) = -1 + 1 = 0$$
따라서 구하고자 하는 값은 $0$입니다.
답
③ $0$
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 위 그래프에서 $x \to -1+$ 일 때의 우극한 값인 $\lim_{x \to -1+} f(x)$와, $x = -1$에서의 함숫값 $f(-1)$은 각각 얼마일까요? 그래프를 보고 두 값을 각각 찾아보세요. (힌트: 두 값은 서로 다릅니다!)