어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 미분계수 $f'(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 함수를 미분하는 공식으로, $\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$ 입니다.
- 미분계수 구하기: 도함수 $f'(x)$를 먼저 구한 뒤, $x$ 자리에 $2$를 대입하여 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법 공식 준비하기
함수 $f(x) = (3x-1)(x^2-2x+2)$는 두 일차식과 이차식의 곱으로 이루어져 있습니다.
각각을 $g(x) = 3x-1$, $h(x) = x^2-2x+2$라고 생각하고 미분해 봅시다.
- $g(x) = 3x-1$을 미분하면:
$$g'(x) = 3$$
- $h(x) = x^2-2x+2$를 미분하면:
$$h'(x) = 2x-2$$
2단계: 도함수 $f'(x)$ 구하기
곱의 미분법 공식 $f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$에 위에서 구한 값들을 대입합니다.
$$f'(x) = 3(x^2-2x+2) + (3x-1)(2x-2)$$
*(참고: 식을 복잡하게 전개할 필요 없이, 이 상태에서 바로 $x=2$를 대입하는 것이 계산 실수를 줄이는 좋은 방법입니다!)*
3단계: $x=2$ 대입하여 $f'(2)$ 계산하기
이제 $f'(x)$ 식의 $x$ 자리에 $2$를 대입하여 값을 구합니다.
$$f'(2) = 3(2^2 - 2(2) + 2) + (3(2) - 1)(2(2) - 2)$$
괄호 안을 차근차근 계산해 볼까요?
- 앞부분: $3(4 - 4 + 2) = 3 \times 2 = 6$
- 뒷부분: $(6 - 1)(4 - 2) = 5 \times 2 = 10$
따라서 두 값을 더하면 다음과 같습니다.
$$f'(2) = 6 + 10 = 16$$
답
① 16
확인해보기
곱의 미분법을 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
함수 $g(x) = (2x+1)(x^2-3)$이 있을 때, 곱의 미분법을 이용하여 $g'(2)$의 값을 스스로 구해 보세요.