어떤 문제인가
이 문제는 주어진 각 $\theta$의 범위와 $\cos^2\theta$의 값을 이용하여 $\tan\theta$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있느냐에 따라 $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$의 부호($+$ 또는 $-$)가 결정됩니다.
- 삼각함수 사이의 관계식: $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ 사이의 관계를 보여주는 공식($\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 또는 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$)을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 각 $\theta$가 몇 사분면의 각인지 확인하고, $\tan\theta$의 부호 결정하기
가장 먼저 해야 할 일은 구하고자 하는 값의 '부호'를 결정하는 것입니다.
문제에서 주어진 각의 범위는 다음과 같습니다.
$$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$$
이 범위는 좌표평면에서 제4사분면에 해당합니다.
제4사분면에서는 코사인($\cos$)만 양수($+$)이고, 사인($\sin$)과 탄젠트($\tan$)는 음수($-$)입니다. (올-싸-탄-코 규칙을 기억하죠?)
따라서 우리가 구하고자 하는 **$\tan\theta$의 값은 반드시 음수($-$)**여야 합니다. 이 사실만으로도 보기 중에서 양수인 ④번과 ⑤번은 답이 될 수 없음을 알 수 있습니다.
2단계: 삼각함수 사이의 관계식을 이용하여 $\tan^2\theta$ 구하기
이제 $\cos^2\theta = \frac{1}{10}$을 이용해서 $\tan^2\theta$의 크기를 구해봅시다.
$\cos$과 $\tan$를 직접 연결해 주는 아주 편리한 공식이 있습니다.
$$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
이 공식에 문제에서 주어진 $\cos^2\theta = \frac{1}{10}$을 대입해 보겠습니다.
$$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\frac{1}{10}}$$
우변의 분수를 정리하면 $10$이 됩니다.
$$1 + \tan^2\theta = 10$$
양변에서 $1$을 빼주면 다음과 같습니다.
$$\tan^2\theta = 9$$
3단계: 부호를 고려하여 최종 $\tan\theta$ 값 선택하기
$\tan^2\theta = 9$이므로, 제곱근을 구하면 $\tan\theta$는 $3$ 또는 $-3$이 될 수 있습니다.
하지만 우리는 1단계에서 $\theta$가 제4사분면의 각이므로 $\tan\theta < 0$이어야 한다는 것을 이미 찾아냈습니다.
따라서 최종적인 값은 다음과 같습니다.
$$\tan\theta = -3$$
답
**① $-3$**
확인해보기
만약 각 $\theta$의 범위가 제3사분면($\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$)이고, $\cos^2\theta = \frac{1}{10}$로 조건이 동일하다면 이때의 $\tan\theta$ 값은 무엇이 될지 스스로 생각해 보세요. (힌트: 제3사분면에서 탄젠트의 부호는 무엇일까요?)