어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수가 특정 지점에서 극값을 가질 때, 미분을 이용해 미지수를 구하고 최종적으로 다른 극값을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 극대와 극소의 정의: 그래프가 증가하다가 감소로 바뀌는 지점을 극대, 감소하다가 증가로 바뀌는 지점을 극소라고 합니다.
- 도함수와 극값의 관계: 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $x = c$에서 극값(극대 또는 극소)을 가지면, 그 지점에서의 접선의 기울기는 $0$입니다. 즉, **$f'(c) = 0$**이 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수가 $x = -1$에서 극대라고 했으므로, 접선의 기울기가 $0$이 되는 지점을 찾기 위해 먼저 함수를 미분합니다.
$$f(x) = x^3 + ax + 9$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면 도함수 $f'(x)$를 얻을 수 있습니다.
$$f'(x) = 3x^2 + a$$
2단계: $x = -1$에서 극대라는 조건을 이용해 상수 $a$ 구하기
함수 $f(x)$가 $x = -1$에서 극값을 가지므로, $x = -1$에서의 미분계수(접선의 기울기)는 $0$이어야 합니다. 즉, $f'(-1) = 0$입니다.
1단계에서 구한 도함수에 $x = -1$을 대입해 봅시다.
$$f'(-1) = 3(-1)^2 + a = 0$$
$$3 + a = 0$$
$$a = -3$$
따라서 상수 $a$의 값은 **$-3$**입니다.
이를 원래 함수와 도함수에 다시 대입하여 식을 완성해 둡시다.
- 원래 함수: $f(x) = x^3 - 3x + 9$
- 도함수: $f'(x) = 3x^2 - 3$
3단계: 극소가 되는 $x$의 값 찾기
극값은 도함수 $f'(x) = 0$이 되는 지점에서 존재할 수 있습니다. 도함수가 $0$이 되는 $x$를 모두 찾아봅시다.
$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$$
$$3(x^2 - 1) = 0$$
$$3(x-1)(x+1) = 0$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 **$x = -1$ 또는 $x = 1$**입니다.
문제에서 $x = -1$일 때 극대라고 했으므로, 나머지 한 지점인 **$x = 1$에서 극소**를 가짐을 알 수 있습니다.
*(실제로 $x < -1$일 때 $f'(x) > 0$ (증가), $-1 < x < 1$일 때 $f'(x) < 0$ (감소), $x > 1$일 때 $f'(x) > 0$ (증가)하므로 $x=1$에서 극소가 맞습니다.)*
4단계: 극솟값 계산하기
'극솟값'이란 극소가 되는 지점에서의 **함숫값($y$값)**을 의미합니다. 즉, 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 1$을 대입한 값인 $f(1)$을 구하면 됩니다.
$$f(x) = x^3 - 3x + 9$$
$$f(1) = 1^3 - 3(1) + 9$$
$$f(1) = 1 - 3 + 9 = 7$$
따라서 구하고자 하는 극솟값은 **$7$**입니다.
답
정답은 ② 7입니다.
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 위 문제에서 구한 함수 $f(x) = x^3 - 3x + 9$의 극댓값은 얼마일까요? (힌트: 극대가 되는 $x$의 값을 함수에 대입해 보세요.)