어떤 문제인가
이 문제는 삼각형에서 두 변의 길이와 한 각의 코사인($\cos$) 값이 주어졌을 때, 나머지 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 코사인법칙 (Law of Cosines): 삼각형의 세 변의 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계를 보여주는 공식입니다. 피타고라스 정리를 일반화한 것이라고 생각하면 쉬워요!
- 이차방정식의 풀이: 코사인법칙을 통해 얻은 식을 정리하여 원하는 변의 길이를 구합니다. 이때 '길이는 항상 양수($>0$)'라는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 길이를 문자로 두고 코사인법칙 식 세우기
우리가 구해야 하는 선분 $\text{AC}$의 길이를 $x$라고 해봅시다. 길이는 항상 양수여야 하므로 $x > 0$입니다.
삼각형 $\text{ABC}$에서 각 $A$와 마주보는 대변은 $\text{BC}$이고, 각 $A$를 이웃하고 있는 두 변은 $\text{AB}$와 $\text{AC}$입니다. 이 관계를 바탕으로 코사인법칙 공식을 써보면 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \cos A$$
2단계: 주어진 값 대입하고 식 정리하기
이제 문제에서 알려준 값들을 공식에 하나씩 대입해 봅시다.
- $\overline{\text{AB}} = 4$
- $\overline{\text{BC}} = 8$
- $\cos A = -\frac{1}{4}$
- $\overline{\text{AC}} = x$
대입하면 다음과 같은 식이 만들어집니다.
$$8^2 = 4^2 + x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$$
좌변과 우변을 각각 계산해 볼까요?
$$64 = 16 + x^2 + 2x$$
모든 항을 한쪽으로 몰아서 정리해 봅시다. 좌변의 $64$를 우변으로 이항하면,
$$x^2 + 2x + 16 - 64 = 0$$
$$x^2 + 2x - 48 = 0$$
깔끔한 $x$에 대한 이차방정식이 완성되었습니다!
3단계: 이차방정식을 풀어 $x$ 값 구하기
이차방정식 $x^2 + 2x - 48 = 0$을 인수분해해 봅시다. 곱해서 $-48$이 되고, 더해서 $2$가 되는 두 정수는 $8$과 $-6$입니다.
$$(x + 8)(x - 6) = 0$$
이를 만족하는 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$x = -8 \quad \text{또는} \quad x = 6$$
하지만 처음에 약속했듯이, 도형의 길이 $x$는 항상 양수($x > 0$)여야 합니다. 따라서 음수인 $-8$은 답이 될 수 없고, 우리가 찾는 선분 $\text{AC}$의 길이는 $6$이 됩니다.
답
④
확인해보기
만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고, $\cos A$의 값만 양수인 $\frac{1}{4}$로 바뀐다면 선분 $\text{AC}$의 길이는 얼마가 될까요? 오늘 배운 코사인법칙을 활용해 스스로 계산해 보세요!