어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$가 출발한 후, **어느 순간(시각 $t=k$)에 서로 만나는지(위치가 같아지는지)**를 묻는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 속도와 위치의 관계: 속도를 적분하면 위치(또는 위치의 변화량)를 구할 수 있습니다.
- 처음 위치의 중요성: 시각 $t$에서의 위치는 `(처음 위치) + (위치의 변화량)`으로 구합니다.
- 정적분의 계산: 다항함수의 정적분 공식을 이용해 위치 함수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 점의 위치 식 세우기
시각 $t$에서의 위치를 각각 $x_1(t)$, $x_2(t)$라고 해봅시다.
문제에서 두 점 $\text{P}$, $\text{Q}$는 시각 $t=0$일 때 **동시에 원점(위치 $0$)을 출발**했다고 했습니다. 따라서 처음 위치는 둘 다 $0$입니다.
시각 $t$에서의 위치는 처음 위치에 속도를 적분한 값을 더해서 구합니다.
- 점 $\text{P}$의 위치:
$$x_1(t) = 0 + \int_0^t v_1(t) dt = \int_0^t (t^2 - t) dt$$
- 점 $\text{Q}$의 위치:
$$x_2(t) = 0 + \int_0^t v_2(t) dt = \int_0^t t dt$$
2단계: 시각 $t=k$에서의 위치 계산하기
이제 두 점의 시각 $t=k$에서의 위치를 정적분을 통해 직접 계산해 봅시다.
- **점 $\text{P}$의 위치 $x_1(k)$**:
$$x_1(k) = \int_0^k (t^2 - t) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 \right]_0^k = \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2$$
- **점 $\text{Q}$의 위치 $x_2(k)$**:
$$x_2(k) = \int_0^k t dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^k = \frac{1}{2}k^2$$
3단계: 위치가 같아지는 조건으로 방정식 풀기
시각 $t=k$에서 두 점의 위치가 같아진다고 했으므로, $x_1(k) = x_2(k)$라는 식을 세울 수 있습니다.
$$\frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 = \frac{1}{2}k^2$$
이 방정식을 풀어봅시다. 우변의 항을 좌변으로 이항하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{3}k^3 - k^2 = 0$$
양변에 $3$을 곱해 분수를 없애줍니다.
$$k^3 - 3k^2 = 0$$
공통인수 $k^2$으로 묶어줍니다.
$$k^2(k - 3) = 0$$
따라서 이 방정식을 만족하는 $k$의 값은 $k=0$ 또는 $k=3$입니다.
문제에서 $k$는 양수라고 했으므로, 구하고자 하는 값은 $k=3$입니다.
답
③ $3$
확인해보기
만약 두 점 $\text{P}$, $\text{Q}$가 원점이 아니라, 각각 **$x=1$과 $x=5$**의 위치에서 동시에 출발했다면, 시각 $t=k$에서 두 점이 만나기 위한 식은 어떻게 세워야 할까요? (직접 식을 세워보고 처음 위치가 식에 어떻게 반영되는지 생각해보세요!)