어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 평면벡터가 주어졌을 때, 벡터의 연산(실수배와 덧셈)을 수행하고 그 결과로 나온 새로운 벡터의 성분들을 모두 더하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 실수배: 벡터에 숫자를 곱할 때는 x성분과 y성분에 각각 그 숫자를 곱해줍니다.
- 벡터의 덧셈: 두 벡터를 더할 때는 x성분은 x성분끼리, y성분은 y성분끼리 더해줍니다.
단계별 풀이
1단계: $2\vec{b}$ 구하기 (벡터의 실수배)
먼저 $\vec{a} + 2\vec{b}$를 계산하기 위해, 벡터 $\vec{b}$에 $2$를 곱한 $2\vec{b}$를 먼저 구해봅시다.
벡터의 실수배는 각 성분에 숫자를 곱해주면 됩니다.
$$\vec{b} = (-1, 2)$$
이므로, 여기에 $2$를 곱하면 다음과 같습니다.
$$2\vec{b} = 2 \times (-1, 2) = (2 \times (-1), 2 \times 2) = (-2, 4)$$
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2단계: $\vec{a} + 2\vec{b}$ 구하기 (벡터의 덧셈)
이제 원래 벡터 $\vec{a}$와 방금 구한 $2\vec{b}$를 더해봅시다.
벡터의 덧셈은 끼리끼리(x성분은 x성분끼리, y성분은 y성분끼리) 더해주면 됩니다.
$$\vec{a} = (3, 0)$$
$$2\vec{b} = (-2, 4)$$
두 벡터를 더하면:
$$\vec{a} + 2\vec{b} = (3, 0) + (-2, 4)$$
$$\vec{a} + 2\vec{b} = (3 + (-2), 0 + 4) = (1, 4)$$
이렇게 해서 새로운 벡터 $(1, 4)$를 얻었습니다.
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3단계: 모든 성분의 합 구하기
문제에서 요구한 것은 $\vec{a} + 2\vec{b}$의 모든 성분의 합입니다.
구한 벡터 $(1, 4)$의 x성분은 $1$이고, y성분은 $4$이므로 이 두 값을 더해줍니다.
$$\text{성분의 합} = 1 + 4 = 5$$
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [스스로 풀어보기]
> 두 벡터 $\vec{p} = (2, 5)$, $\vec{q} = (1, -3)$에 대하여, 벡터 $3\vec{p} - \vec{q}$의 모든 성분의 합은 얼마일까요?