어떤 문제인가
이 문제는 기하 과목에서 배우는 포물선의 방정식을 이해하고, 주어진 포물선의 식을 통해 초점의 좌표를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 기본형 방정식: 초점이 $x$축 위에 있고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$ 꼴로 나타냅니다.
- 초점과 준선: 방정식 $y^2 = 4px$에서 초점의 좌표는 $(p, 0)$이고, 준선의 방정식은 $x = -p$입니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 기본형과 비교하기
우리가 알고 있는 포물선의 기본 공식은 다음과 같습니다.
$$y^2 = 4px$$
이 식에서 $p$는 초점의 $x$좌표를 결정하는 아주 중요한 상수입니다.
문제에서 주어진 포물선의 식은 다음과 같습니다.
$$y^2 = -12x$$
이 식을 기본형인 $y^2 = 4px$의 형태로 만들기 위해, $x$ 앞의 계수인 $-12$를 $4 \times (\text{어떤 수})$의 형태로 쪼개어 써봅시다.
2단계: $p$의 값 구하기
$-12$를 $4$와 어떤 수의 곱으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$-12 = 4 \times (-3)$$
따라서 주어진 포물선의 식을 다시 쓰면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$y^2 = 4 \cdot (-3) \cdot x$$
이 식을 기본형 $y^2 = 4px$와 비교해 보면, $p$의 위치에 어떤 숫자가 들어가 있는지 바로 보이나요?
맞습니다. $p = -3$이 됩니다.
3단계: 초점의 좌표 확인하기
기본형 $y^2 = 4px$에서 초점의 좌표는 $(p, 0)$이므로, 이 포물선의 초점의 좌표는 $(-3, 0)$이 됩니다.
문제에서 초점의 좌표가 $(p, 0)$이라고 했으므로, 구하고자 하는 $p$의 값은 $-3$입니다.
답
③ $-3$
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 포물선 $y^2 = 8x$의 초점의 좌표와 준선의 방정식은 각각 무엇일까요? (배운 내용을 바탕으로 직접 구해보세요!)