어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위에서 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다. 기하 과목에서 배우는 벡터를 이용하면 복잡한 삼각함수 공식 없이도 아주 쉽게 해결할 수 있어요.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 방향벡터 (Direction Vector): 직선이 나아가는 방향을 나타내는 벡터입니다. 직선의 기울기 정보를 담고 있어요.
- 벡터의 내적 (Dot Product): 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구할 때 사용하는 가장 강력한 도구입니다.
- 두 직선이 이루는 예각: 두 직선이 만나면 두 종류의 각(예각과 둔각)이 생기는데, '예각'의 크기 $\theta$는 항상 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$이므로, $\cos\theta$ 값은 항상 양수가 되어야 합니다. 그래서 내적 공식에 절댓값을 씌워줍니다.
단계별 풀이
1단계: 두 직선의 방향벡터 구하기
두 직선이 이루는 각을 구하려면, 먼저 각 직선이 어느 방향으로 뻗어나가는지 알아야 합니다. 즉, 두 직선의 방향벡터를 각각 구해야 해요.
- **직선 $l_1$의 방향벡터 ($\vec{u_1}$):**
문제에서 직선 $l_1$의 방향벡터가 $(1, 5)$라고 친절하게 알려주었습니다.
$$\vec{u_1} = (1, 5)$$
- **직선 $l_2$의 방향벡터 ($\vec{u_2}$):**
직선 $l_2$의 방정식은 $\frac{x-5}{3} = \frac{y+1}{2}$입니다.
직선의 방정식 $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b}$에서 분모에 있는 $(a, b)$가 바로 이 직선의 방향벡터가 됩니다. 따라서 $l_2$의 방향벡터는 다음과 같습니다.
$$\vec{u_2} = (3, 2)$$
2단계: 벡터의 내적 공식 세우기
두 벡터 $\vec{u_1}$과 $\vec{u_2}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 벡터의 내적 정의에 의해 다음 공식이 성립합니다.
$$\cos\theta = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| |\vec{u_2}|}$$
여기서 분자에 절댓값 $| \cdot |$을 씌우는 이유는 두 직선이 이루는 예각의 코사인 값(양수)을 구하기 위해서입니다.
3단계: 공식에 필요한 값 계산하기
이제 공식에 대입할 세 가지 값(내적, 두 벡터의 크기)을 각각 계산해 봅시다.
- **두 벡터의 내적 ($\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}$):**
성분끼리 곱해서 더해줍니다.
$$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = (1 \times 3) + (5 \times 2) = 3 + 10 = 13$$
- **방향벡터 $\vec{u_1}$의 크기 ($|\vec{u_1}|$):**
$$|\vec{u_1}| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$
- **방향벡터 $\vec{u_2}$의 크기 ($|\vec{u_2}|$):**
$$|\vec{u_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$
4단계: $\cos\theta$ 값 구하기
구한 값들을 공식에 대입하여 정리합니다.
$$\cos\theta = \frac{13}{\sqrt{26} \times \sqrt{13}}$$
분모의 $\sqrt{26}$은 $\sqrt{2} \times \sqrt{13}$으로 쪼갤 수 있습니다. 이를 이용해 약분해 볼까요?
$$\cos\theta = \frac{13}{\sqrt{2} \times \sqrt{13} \times \sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{2} \times 13} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
답
정답은 ③ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
[질문]
방향벡터가 각각 $\vec{v_1} = (1, 2)$인 직선과 $\vec{v_2} = (3, -1)$인 두 직선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 할 때, $\cos\theta$의 값은 얼마일까요? (직접 공식을 써서 계산해 보세요!)