어떤 문제인가
이 문제는 타원 위에 있는 한 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 $x$축과 만나는 점인 **$x$절편**을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 타원 위의 점: 타원 위의 점의 좌표를 타원 방정식에 대입하면 등식이 성립합니다.
- 타원의 접선의 공식: 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 입니다.
- **$x$절편의 정의**: 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표로, 식에 $y=0$을 대입하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 미지수 $a$의 값 구하기
점 $(a, 2)$가 타원 $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ 위의 점이라고 했으므로, 이 좌표를 타원 방정식에 대입할 수 있습니다. $a$가 얼마인지 먼저 알아내 봅시다.
$$x = a, \quad y = 2$$
를 타원 방정식에 대입하면,
$$\frac{a^2}{18} + \frac{2^2}{8} = 1$$
$$\frac{a^2}{18} + \frac{4}{8} = 1$$
$$\frac{a^2}{18} + \frac{1}{2} = 1$$
양변에서 $\frac{1}{2}$을 빼줍니다.
$$\frac{a^2}{18} = \frac{1}{2}$$
양변에 $18$을 곱하면,
$$a^2 = 9$$
문제에서 $a$는 양수라고 했으므로, $a = 3$이 됩니다.
따라서 접점의 좌표는 **$(3, 2)$**입니다.
2단계: 접선의 방정식 구하기
이제 접점 $(3, 2)$에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.
타원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선 공식인 $\frac{x_1 x}{18} + \frac{y_1 y}{8} = 1$에 $x_1 = 3, y_1 = 2$를 대입합니다.
$$\frac{3x}{18} + \frac{2y}{8} = 1$$
약분하여 식을 간단하게 정리해 볼까요?
$$\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$$
이 식인 우리가 찾던 접선의 방정식입니다.
3단계: 접선의 $x$절편 구하기
$x$절편은 직선이 $x$축과 만나는 점이므로, $y = 0$일 때의 $x$값입니다.
구한 접선의 방정식에 $y = 0$을 대입해 봅시다.
$$\frac{x}{6} + \frac{0}{4} = 1$$
$$\frac{x}{6} = 1$$
따라서,
$$x = 6$$
접선의 $x$절편은 $6$이 됩니다.
답
**① $6$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 위 단계에서 구한 접선의 방정식 $\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$의 **$y$절편**은 얼마일까요? 그리고 그것을 구하기 위해서는 식에 어떤 값을 대입해야 할까요?