어떤 문제인가
이 문제는 도형(마름모)의 기하학적 성질을 벡터로 표현하고, 두 벡터가 서로 '수직'이라는 조건을 이용해 미지수 $t$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 마름모의 성질과 벡터의 합: 마름모는 이웃하는 두 변의 길이가 같고, 평행사변형의 일종이므로 벡터의 덧셈 법칙($\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$)이 성립합니다.
- 벡터의 수직 조건: 두 벡터가 서로 수직이면, 두 벡터의 **내적(Dot Product)은 $0$**입니다.
- 벡터의 크기와 내적의 관계: 벡터의 크기의 제곱은 자기 자신과의 내적과 같습니다. 즉, $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$ 임을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 도형의 성질을 이용해 벡터들의 크기와 관계식 정리하기
마름모 $OABC$에서 변 $OA$와 변 $OC$는 이웃하는 두 변입니다. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로, 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{c}$의 크기는 같습니다.
$$|\vec{c}| = |\vec{a}| = 6$$
또한, 점 $B$는 평행사변형(마름모)의 대각선 끝점이므로 벡터의 합에 의해 다음이 성립합니다.
$$\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$$
이 식을 $\vec{a}$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\vec{a} = \vec{b} - \vec{c}$$
2단계: 두 벡터의 수직 조건으로 식 세우기
문제에서 두 벡터 $\vec{b} - \vec{c}$와 $\vec{b} + t\vec{c}$가 서로 수직이라고 했습니다. 두 벡터가 수직이면 내적이 $0$이므로, 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$(\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} + t\vec{c}) = 0$$
이 식을 분배법칙을 이용해 전개해 봅시다.
$$\vec{b} \cdot \vec{b} + t(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{c} \cdot \vec{b}) - t(\vec{c} \cdot \vec{c}) = 0$$
벡터의 내적은 교환법칙이 성립하므로 $\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 이고, 자기 자신과의 내적은 크기의 제곱이므로 다음과 같이 정리됩니다.
$$|\vec{b}|^2 + (t - 1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) - t|\vec{c}|^2 = 0$$
여기에 우리가 이미 알고 있는 값인 $|\vec{b}| = 4$, $|\vec{c}| = 6$을 대입해 봅시다.
$$4^2 + (t - 1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) - t(6^2) = 0$$
$$16 + (t - 1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) - 36t = 0 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
이제 $t$를 구하기 위해서는 내적 값인 $\vec{b} \cdot \vec{c}$를 알아내야 합니다.
3단계: 내적 $\vec{b} \cdot \vec{c}$의 값 구하기
1단계에서 구한 식 $\vec{a} = \vec{b} - \vec{c}$ 양변의 크기를 제곱해 봅시다.
$$|\vec{a}|^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2$$
우변을 내적으로 전개하면 다음과 같습니다.
$$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2$$
여기에 알려진 값들($|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 4$, $|\vec{c}| = 6$)을 대입합니다.
$$6^2 = 4^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 6^2$$
$$36 = 16 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 36$$
양변에서 $36$을 빼서 정리하면 다음과 같습니다.
$$0 = 16 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$$
$$2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 16 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = 8$$
4단계: 실수 $t$의 값 계산하기
3단계에서 구한 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 8$을 2단계의 $\text{(식 1)}$에 대입합니다.
$$16 + 8(t - 1) - 36t = 0$$
괄호를 풀고 동류항끼리 계산해 봅시다.
$$16 + 8t - 8 - 36t = 0$$
$$8 - 28t = 0$$
$$28t = 8$$
$$t = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$$
답
② $\frac{2}{7}$
확인해보기
만약 도형 $OABC$가 마름모가 아니라 직사각형이었다면, 두 이웃한 변을 나타내는 벡터인 $\vec{a}$와 $\vec{c}$의 내적 값($\vec{a} \cdot \vec{c}$)은 얼마가 될까요? 그리고 이때도 $\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$라는 관계식이 성립할지 스스로 생각해보세요.