반갑습니다! 오늘도 수학 실력을 한 단계 더 올려볼까요? 이 문제는 타원의 정의와 삼각함수, 그리고 도형의 성질을 종합적으로 활용해야 하는 아주 좋은 문제입니다. 복잡해 보이지만, 선생님과 함께 한 단계씩 차근차근 풀어가면 충분히 이해할 수 있어요. 준비되었나요?
어떤 문제인가
이 문제는 타원의 성질과 삼각형의 기하학적 성질을 결합한 문제입니다. 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 타원의 정의: 타원 위의 임의의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이($2a$)로 일정합니다. 즉, 타원 위의 점 $X$에 대해 $\overline{XF} + \overline{XF'} = 2a$입니다.
- 코사인 법칙: 삼각형에서 세 변의 길이와 한 각의 크기 사이의 관계를 나타내는 법칙입니다. 두 삼각형이 한 선분을 공유하고 있을 때 유용하게 쓰입니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때, 넓이는 $S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$로 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 비례식을 이용해 선분의 길이를 하나의 문자 $k$로 나타내기
계산을 단순하게 만들기 위해 비례식을 기준으로 기준이 되는 길이를 문자 $k$로 잡읍시다.
$\overline{PF} = k$ ($k > 0$)라고 합시다.
첫 번째 조건인 $\frac{\overline{PF}}{\overline{QF}} = \frac{1}{2}$에서 다음을 얻을 수 있습니다.
$$\overline{QF} = 2k$$
두 번째 조건인 $\frac{\overline{PF}}{\overline{FF'}} = \frac{\sqrt{6}}{16}$에서 두 초점 사이의 거리 $\overline{FF'} = 2c$이므로,
$$\frac{k}{2c} = \frac{\sqrt{6}}{16} \implies 2c = \frac{16}{\sqrt{6}}k = \frac{8\sqrt{6}}{3}k$$
따라서 초점의 좌표를 결정하는 $c$는 다음과 같습니다.
$$c = \frac{4\sqrt{6}}{3}k$$
양변을 제곱해 두면 나중에 쓰기 편하겠죠?
$$c^2 = \frac{32}{3}k^2$$
2단계: 타원의 정의를 활용하여 나머지 선분의 길이 표현하기
타원의 정의에 의해 타원 위의 점 $P, Q$에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이인 $2a$와 같습니다.
- **점 $P$에 대해**:
$$\overline{PF'} + \overline{PF} = 2a \implies \overline{PF'} + k = 2a \implies \overline{PF'} = 2a - k$$
- **점 $Q$에 대해**:
$$\overline{QF'} + \overline{QF} = 2a \implies \overline{QF'} + 2k = 2a \implies \overline{QF'} = 2a - 2k$$
3단계: 코사인 법칙을 이용해 $a$와 $k$의 관계식 구하기
세 점 $P, F, Q$가 한 직선 위에 있으므로, $\angle F'FQ = \theta$라고 하면 $\angle F'FP = \pi - \theta$가 됩니다.
이 두 각을 끼고 있는 두 삼각형 $\triangle F'FQ$와 $\triangle F'FP$에 각각 코사인 법칙을 적용해 봅시다.
- **$\triangle F'FQ$에서**:
$$\overline{QF'}^2 = \overline{FF'}^2 + \overline{QF}^2 - 2\overline{FF'}\cdot\overline{QF}\cos\theta$$
$$(2a - 2k)^2 = (2c)^2 + (2k)^2 - 2(2c)(2k)\cos\theta$$
$$4(a-k)^2 = 4c^2 + 4k^2 - 8ck\cos\theta$$
$$(a-k)^2 = c^2 + k^2 - 2ck\cos\theta \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
- **$\triangle F'FP$에서** ($\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$임을 이용합니다):
$$\overline{PF'}^2 = \overline{FF'}^2 + \overline{PF}^2 - 2\overline{FF'}\cdot\overline{PF}\cos(\pi-\theta)$$
$$(2a - k)^2 = (2c)^2 + k^2 + 2(2c)(k)\cos\theta$$
$$(2a - k)^2 = 4c^2 + k^2 + 4ck\cos\theta \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
이제 두 식에서 귀찮은 $\cos\theta$ 항을 없애기 위해, (식 1)에 2를 곱한 뒤 (식 2)와 더해줍니다.
$$2(a-k)^2 + (2a-k)^2 = 2(c^2 + k^2) + (4c^2 + k^2)$$
좌변과 우변을 전개하여 정리해 봅시다.
$$2(a^2 - 2ak + k^2) + (4a^2 - 4ak + k^2) = 6c^2 + 3k^2$$
$$6a^2 - 8ak + 3k^2 = 6c^2 + 3k^2$$
$$6a^2 - 8ak = 6c^2 \implies 3a^2 - 4ak = 3c^2 \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
여기에 1단계에서 구한 $c^2 = \frac{32}{3}k^2$을 대입합니다.
$$3a^2 - 4ak = 3\left(\frac{32}{3}k^2\right) = 32k^2$$
$$3a^2 - 4ak - 32k^2 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(3a + 8k)(a - 4k) = 0$$
$a$와 $k$는 모두 양수이므로, 우리는 아주 깔끔한 관계식을 얻게 됩니다!
$$a = 4k$$
4단계: $b^2$과 $\cos\theta$ 구하기
이제 타원의 성질 $b^2 = a^2 - c^2$을 이용해 $b^2$을 $k$로 나타내 봅시다.
$$a^2 = (4k)^2 = 16k^2$$
$$b^2 = a^2 - c^2 = 16k^2 - \frac{32}{3}k^2 = \frac{16}{3}k^2$$
또한, (식 1)에 $a = 4k$와 $c^2 = \frac{32}{3}k^2$을 대입하여 $\cos\theta$의 값을 구합니다.
$$(4k-k)^2 = \frac{32}{3}k^2 + k^2 - 2\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}k\right)k\cos\theta$$
$$9k^2 = \frac{35}{3}k^2 - \frac{8\sqrt{6}}{3}k^2\cos\theta$$
양변을 $k^2$으로 나누고 정리하면,
$$9 = \frac{35}{3} - \frac{8\sqrt{6}}{3}\cos\theta \implies 27 = 35 - 8\sqrt{6}\cos\theta$$
$$8\sqrt{6}\cos\theta = 8 \implies \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$$
따라서 $\sin\theta$의 값은 다음과 같습니다.
$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$$
5단계: 삼각형의 넓이를 이용해 최종 답 구하기
삼각형 $\text{FF}'\text{Q}$의 넓이가 $4\sqrt{5}$라고 주어졌습니다. 삼각형의 넓이 공식을 적용해 봅시다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \cdot \overline{FF'} \cdot \overline{QF} \cdot \sin\theta = 4\sqrt{5}$$
$$\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{8\sqrt{6}}{3}k\right) \cdot (2k) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right) = 4\sqrt{5}$$
좌변을 계산하면 $\sqrt{6}$이 약분되면서 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{8\sqrt{5}}{3}k^2 = 4\sqrt{5}$$
양변을 $4\sqrt{5}$로 나누면,
$$\frac{2}{3}k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{3}{2}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $b^2$이므로, 4단계에서 구한 식에 대입합니다.
$$b^2 = \frac{16}{3}k^2 = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{2} = 8$$
답
정답은 **④ $8$** 입니다.
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 점검해 보는 시간입니다. 다음 질문에 대해 스스로 답을 생각해 보세요.
> 질문: 타원의 정의에 따르면 타원 위의 임의의 점 $X$에 대해 두 초점까지의 거리의 합은 항상 장축의 길이($2a$)로 일정합니다. 만약 이 문제에서 점 $P$가 타원의 단축의 끝점(즉, $y$축과의 교점 $(0, b)$)에 위치하게 된다면, 삼각형 $PFF'$은 어떤 삼각형이 되며 이때 선분 $PF$의 길이는 $a, b, c$ 중 무엇과 같아질까요?