어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선과 포물선의 정의 및 방정식을 이해하고, 두 도형의 교점의 성질을 이용해 미지수의 값을 구하는 기하 문제입니다.
문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선의 방정식: 초점과 꼭짓점의 좌표를 이용해 쌍곡선의 방정식을 세우는 방법
- 포물선의 방정식과 준선: 꼭짓점과 초점의 위치 관계를 통해 포물선의 방정식과 준선의 방정식을 유도하는 방법
- 도형의 교점: 두 곡선이 만나는 점의 좌표를 연립방정식을 통해 찾아내는 방법
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선 $C_1$의 방정식 세우기
쌍곡선의 두 초점이 $\mathrm{F}(3, 0)$, $\mathrm{F}'(-3, 0)$이므로 초점의 중심은 원점이고 $c=3$입니다.
쌍곡선의 꼭짓점 중 $x$좌표가 음수인 점이 $\mathrm{A}(-a, 0)\,(a>0)$이므로 주축의 길이는 $2a$가 됩니다.
쌍곡선의 방정식을 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$이라 하면, 쌍곡선의 성질에 의해 다음 관계가 성립합니다.
$$a^2 + b^2 = c^2 = 3^2 = 9 \implies b^2 = 9 - a^2$$
따라서 쌍곡선 $C_1$의 방정식은 다음과 같습니다. (단, 꼭짓점이 초점 안쪽에 있어야 하므로 $0 < a < 3$입니다.)
$$C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9-a^2} = 1$$
2단계: 포물선 $C_2$의 방정식과 준선 $l$ 구하기
포물선 $C_2$는 꼭짓점이 $\mathrm{A}(-a, 0)$이고 초점이 $\mathrm{F}(3, 0)$입니다.
꼭짓점에서 초점까지의 거리(포물선의 기본형 $y^2=4px$에서의 $p$값에 해당)를 구해보면 다음과 같습니다.
$$3 - (-a) = a+3$$
이 포물선은 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 오른쪽 방향에 초점 $\mathrm{F}$가 있으므로 오른쪽으로 볼록한 형태입니다. 따라서 포물선의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$C_2: y^2 = 4(a+3)(x+a)$$
또한, 포물선의 준선 $l$은 꼭짓점 $\mathrm{A}(-a, 0)$에서 초점과 반대 방향(왼쪽)으로 $a+3$만큼 떨어진 세로선입니다.
$$l: x = -a - (a+3) = -2a-3$$
3단계: 제2사분면의 교점의 $y$좌표를 이용해 식 세우기
쌍곡선 $C_1$과 준선 $l$이 만나는 제2사분면 위의 점을 $\mathrm{Q}(x_2, y_0)\,(y_0 > 0)$이라 합시다.
점 $\mathrm{Q}$는 준선 $l$ 위에 있으므로 $x$좌표는 $x_2 = -2a-3$입니다.
이 점은 쌍곡선 $C_1$ 위의 점이기도 하므로 쌍곡선 방정식에 대입할 수 있습니다.
$$\frac{(-2a-3)^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{9-a^2} = 1$$
이 식을 $\frac{y_0^2}{9-a^2}$에 대해 정리해 봅시다.
$$\frac{y_0^2}{9-a^2} = \frac{(2a+3)^2}{a^2} - 1 = \frac{(4a^2+12a+9) - a^2}{a^2} = \frac{3a^2+12a+9}{a^2}$$
분자를 인수분해하면 $3(a^2+4a+3) = 3(a+1)(a+3)$이 되므로, $y_0^2$은 다음과 같이 정리됩니다.
$$y_0^2 = (9-a^2) \cdot \frac{3(a+1)(a+3)}{a^2} = \frac{3(3-a)(a+3)^2(a+1)}{a^2} \quad \cdots \text{(식 ①)}$$
4단계: 제1사분면의 교점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표 구하기
쌍곡선 $C_1$과 포물선 $C_2$가 만나는 제1사분면 위의 점을 $\mathrm{P}(x_1, y_0)\,(x_1 > 0, y_0 > 0)$이라 합시다. 문제의 조건에 의해 두 교점의 $y$좌표가 $y_0$로 같습니다.
점 $\mathrm{P}$는 쌍곡선 $C_1$ 위에 있으므로 다음이 성립합니다.
$$\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{9-a^2} = 1 \implies \frac{x_1^2}{a^2} = 1 + \frac{y_0^2}{9-a^2}$$
여기에 3단계에서 구한 $\frac{y_0^2}{9-a^2} = \frac{(2a+3)^2}{a^2} - 1$을 대입해 볼까요?
$$\frac{x_1^2}{a^2} = 1 + \left( \frac{(2a+3)^2}{a^2} - 1 \right) = \frac{(2a+3)^2}{a^2}$$
$x_1 > 0$이고 $a > 0$이므로 양변에 제곱근을 취하면 아주 깔끔하게 정리됩니다!
$$x_1 = 2a+3$$
5단계: 두 식을 연립하여 $a^2$ 구하기
이제 점 $\mathrm{P}(2a+3, y_0)$가 포물선 $C_2$ 위의 점이라는 사실을 이용해 봅시다. 포물선 방정식에 대입하면:
$$y_0^2 = 4(a+3)(x_1+a) = 4(a+3)(2a+3+a) = 4(a+3)(3a+3) = 12(a+3)(a+1) \quad \cdots \text{(식 ②)}$$
식 ①과 식 ②는 모두 $y_0^2$을 나타내므로 서로 같습니다.
$$12(a+3)(a+1) = \frac{3(3-a)(a+3)^2(a+1)}{a^2}$$
$a>0$이므로 $a+3 \neq 0$, $a+1 \neq 0$입니다. 양변을 공통인수인 $3(a+3)(a+1)$로 나누어 식을 간단하게 만듭니다.
$$4 = \frac{(3-a)(a+3)}{a^2}$$
양변에 $a^2$을 곱해 전개합니다.
$$4a^2 = 9 - a^2$$
$$5a^2 = 9 \implies a^2 = \frac{9}{5}$$
따라서 $p=5$, $q=9$이며, 두 수는 서로소인 자연수이므로 조건을 만족합니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로:
$$p+q = 5 + 9 = 14$$
답
$$14$$
확인해보기
포물선의 정의에 따르면, "포물선 위의 임의의 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다"는 성질이 있습니다.
우리가 구한 교점 $\mathrm{P}(2a+3, y_0)$에서 초점 $\mathrm{F}(3, 0)$까지의 거리와, 점 $\mathrm{P}$에서 준선 $l: x = -2a-3$까지의 거리를 각각 $a$에 관한 식으로 나타내어 두 거리가 실제로 같은지 스스로 확인해 보세요.