반갑습니다! 오늘도 수학의 아름다움을 함께 탐구해 봅시다. 이 문제는 벡터의 내적, 도형의 성질, 그리고 좌표평면을 활용하여 복잡한 기하학적 상황을 단순하게 해결하는 아주 좋은 문제입니다.
차근차근 단계를 밟아가며 스스로 이해할 수 있도록 도와줄게요. 준비되었나요?
어떤 문제인가
이 문제는 이등변삼각형과 원, 그리고 벡터의 내적 조건들이 주어졌을 때, 특정 벡터 내적의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
우리가 이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 좌표평면 설정: 도형의 대칭성을 이용하여 복잡한 벡터 관계식을 쉬운 대수 방정식으로 바꿉니다.
- 벡터의 분할: 원 위의 점 $X$에 대하여, 원의 중심 $M$을 경유하도록 벡터를 분할($\overrightarrow{DX} = \overrightarrow{DM} + \overrightarrow{MX}$)하여 내적을 단순화합니다.
- 벡터 내적의 최대·최소: 크기가 일정하고 방향이 변하는 벡터와 고정된 벡터의 내적은 두 벡터가 같은 방향일 때 최대, 반대 방향일 때 최소가 됨을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 대칭성을 이용한 좌표평면 설정하기
도형이 이등변삼각형($\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$)이므로, 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 원점 $\mathrm{O}(0,0)$으로 잡으면 아주 편리합니다.
- $\mathrm{BC}$를 $x$축 위에 놓이도록 설정합니다.
- $\mathrm{B}(-a, 0)$, $\mathrm{C}(a, 0)$이라 합시다. (단, $a > 0$)
- 점 $\mathrm{A}$는 $y$축 위에 있으므로 $\mathrm{A}(0, h)$라 할 수 있습니다. (단, $h > 0$)
이때 $\overline{\mathrm{AB}} = 2$이므로 피타고라스 정리에 의해 다음 식을 얻습니다.
$$a^2 + h^2 = 4 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
또한, $\angle\mathrm{CAB} > \frac{\pi}{2}$(둔각)이므로 $h < a$가 성립해야 합니다.
2단계: 점 $\mathrm{D}$의 좌표 표현하기
점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위에 있습니다.
- 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면, $\mathrm{M}\left(-\frac{a}{2}, \frac{h}{2}\right)$입니다.
- 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (-a, -h)$에 수직인 벡터 중 하나는 $\vec{n} = (-h, a)$입니다. (실제로 두 벡터를 내적하면 $ah - ha = 0$이 되므로 수직입니다.)
- 따라서 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 매개변수 $t$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$\mathrm{D} = \mathrm{M} + t\vec{n} = \left(-\frac{a}{2} - th, \frac{h}{2} + ta\right)$$
이때, $\overrightarrow{\mathrm{DM}} = -t\vec{n} = t(h, -a)$이므로, 그 크기의 제곱은 다음과 같습니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{DM}}|^2 = t^2(h^2 + a^2) = 4t^2 \quad (\because a^2+h^2=4)$$
3단계: 첫 번째 조건으로 $t$와 $a, h$의 관계식 구하기
첫 번째 조건은 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}$$
각 벡터를 성분으로 나타내어 대입해 봅시다.
- $\overrightarrow{\mathrm{BA}} = (a, h)$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}} = (2a, 0)$이므로,
$$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 2a^2$$
- $\overrightarrow{\mathrm{CB}} = (-2a, 0)$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}} = \left(-\frac{3a}{2} - th, \frac{h}{2} + ta\right)$이므로,
$$\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} = -2a\left(-\frac{3a}{2} - th\right) = 3a^2 + 2tah$$
두 식이 같으므로,
$$2a^2 = 3a^2 + 2tah \implies a^2 + 2tah = 0$$
$a > 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 다음을 얻습니다.
$$a + 2th = 0 \implies th = -\frac{a}{2} \quad \cdots \text{(식 2)}$$
(여기서 $t < 0$임을 알 수 있습니다.)
4단계: 두 번째 조건으로 구체적인 값 구하기
두 번째 조건은 다음과 같습니다.
$$2\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$$
먼저 우변을 기하학적으로 단순화해 봅시다. $\mathrm{D}$는 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위의 점이므로 $\mathrm{DA} = \mathrm{DB}$입니다. 중점 $\mathrm{M}$을 이용해 벡터를 분해하면,
$$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}} = (\overrightarrow{\mathrm{DM}} + \overrightarrow{\mathrm{MA}}) \cdot (\overrightarrow{\mathrm{DM}} - \overrightarrow{\mathrm{MA}}) = |\overrightarrow{\mathrm{DM}}|^2 - |\overrightarrow{\mathrm{MA}}|^2$$
$\overline{\mathrm{AB}} = 2$이므로 중점까지의 거리 $|\overrightarrow{\mathrm{MA}}| = 1$입니다. 따라서,
$$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}} = 4t^2 - 1$$
이제 좌변의 $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$를 성분으로 계산해 봅시다.
- $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = (a, -h)$
- $\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \mathrm{D} - \mathrm{A} = \left(-\frac{a}{2} - th, -\frac{h}{2} + ta\right)$
$$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} = a\left(-\frac{a}{2} - th\right) - h\left(-\frac{h}{2} + ta\right) = \frac{h^2 - a^2}{2} - 2tah$$
따라서 좌변은 다음과 같습니다.
$$2\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} = h^2 - a^2 - 4tah$$
여기에 (식 2)의 $2tah = -a^2 \implies -4tah = 2a^2$를 대입하면,
$$2\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} = h^2 - a^2 + 2a^2 = h^2 + a^2 = 4$$
이 값이 우변인 $4t^2 - 1$과 같아야 하므로,
$$4 = 4t^2 - 1 \implies t^2 = \frac{5}{4}$$
$t < 0$이므로 $t = -\frac{\sqrt{5}}{2}$입니다.
이제 (식 2)에 대입하면,
$$-\frac{\sqrt{5}}{2}h = -\frac{a}{2} \implies a = \sqrt{5}h$$
이를 (식 1) $a^2 + h^2 = 4$에 대입하면,
$$5h^2 + h^2 = 4 \implies 6h^2 = 4 \implies h^2 = \frac{2}{3}, \quad a^2 = \frac{10}{3}$$
이 값을 이용해 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 구하면, $x$좌표는 $-\frac{a}{2} - th = 0$이 되고, $y$좌표는 $\frac{h}{2} + ta = -2h$가 되어 $\mathrm{D}(0, -2h)$가 됩니다.
5단계: 벡터 내적의 최대·최소 구하기
우리가 구하고자 하는 식은 $\overrightarrow{\mathrm{DX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$입니다. 점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 점이므로, 원의 중심인 $\mathrm{M}$을 기준으로 벡터를 분해합니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{DX}} = \overrightarrow{\mathrm{DM}} + \overrightarrow{\mathrm{MX}}$$
이를 내적 식에 대입하면,
$$\overrightarrow{\mathrm{DX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = (\overrightarrow{\mathrm{DM}} + \overrightarrow{\mathrm{MX}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{DM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} + \overrightarrow{\mathrm{MX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$$
각 부분을 계산해 봅시다.
- 고정된 값: $\overrightarrow{\mathrm{DM}} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{5h}{2}\right)$이고 $\overrightarrow{\mathrm{BC}} = (2a, 0)$이므로,
$$\overrightarrow{\mathrm{DM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = -\frac{a}{2} \times 2a = -a^2 = -\frac{10}{3}$$
- 변하는 값: $\overrightarrow{\mathrm{MX}}$는 크기가 $1$인 원의 반지름 벡터입니다. 따라서 $\overrightarrow{\mathrm{MX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$의 최댓값은 두 벡터가 같은 방향일 때인 $|\overrightarrow{\mathrm{MX}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}| = 1 \times 2a = 2a$이고, 최솟값은 반대 방향일 때인 $-2a$입니다.
따라서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은 다음과 같습니다.
$$M = -\frac{10}{3} + 2a = -\frac{10}{3} + 2\sqrt{\frac{10}{3}}$$
$$m = -\frac{10}{3} - 2a = -\frac{10}{3} - 2\sqrt{\frac{10}{3}}$$
6단계: 최종 계산하기
$$M \times m = \left(-\frac{10}{3}\right)^2 - \left(2\sqrt{\frac{10}{3}}\right)^2 = \frac{100}{9} - \frac{40}{3} = \frac{100 - 120}{9} = -\frac{20}{9}$$
따라서,
$$|M \times m| = \frac{20}{9}$$
이때 $p = 9$, $q = 20$이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
$$p + q = 9 + 20 = 29$$
답
$$29$$
확인해보기
원 위의 점 $\mathrm{X}$가 움직일 때, 왜 우리는 $\overrightarrow{\mathrm{DX}}$를 직접 구하지 않고 원의 중심 $\mathrm{M}$을 거쳐가는 $\overrightarrow{\mathrm{DM}} + \overrightarrow{\mathrm{MX}}$로 분해하여 풀었을까요? 이 방법이 주는 기하학적 편리함은 무엇인지 스스로 설명해 보세요.