어떤 문제인가
이 문제는 주어진 4개의 문자 $x$, $y$, $z$, $z$를 순서를 고려하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 순열 (Permutation): 서로 다른 대상을 순서를 생각하며 나열하는 방법입니다.
- 같은 것이 있는 순열: 나열하려는 대상 중에 똑같은 것이 포함되어 있을 때, 중복되는 경우를 제외하고 나열하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 문자가 서로 다르다고 가정해 보기
먼저, 두 개의 $z$가 서로 다른 문자라고 가정해 봅시다. 즉, $x$, $y$, $z_1$, $z_2$라는 서로 다른 4개의 문자가 있다고 생각하는 것입니다.
서로 다른 4개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4!$ (4 팩토리얼)로 계산할 수 있습니다.
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
2단계: 중복되는 경우 생각하기
하지만 실제 문제에서는 $z_1$과 $z_2$가 구분되지 않는 똑같은 문자 $z$입니다.
예를 들어, 1단계에서 구한 24가지 중에는 다음과 같은 두 경우가 있습니다.
- $x - y - z_1 - z_2$
- $x - y - z_2 - z_1$
이 두 경우는 $z_1$과 $z_2$의 구분을 없애고 나면 둘 다 똑같이 $x - y - z - z$가 됩니다. 즉, 똑같은 문자 $z$ 2개를 일렬로 나열하는 방법의 수인 $2! = 2$가지만큼씩 중복해서 세어준 것입니다.
3단계: 중복을 제외하여 최종 경우의 수 구하기
따라서, 전체 경우의 수 $4!$에서 중복되는 만큼인 $2!$로 나누어 주어야 정확한 경우의 수가 나옵니다.
식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12$$
따라서 구하고자 하는 경우의 수는 $12$가지입니다.
답
**③ $12$**
확인해보기
오늘 배운 '같은 것이 있는 순열' 개념을 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 문제를 스스로 풀어보세요.
> **Q. 5개의 문자 $a$, $b$, $c$, $d$, $d$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지일까요?**