어떤 문제인가
이 문제는 주어진 확률 정보를 이용해 특정 사건이 일어나지 않을 확률, 즉 여사건의 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 사건의 분할: 어떤 사건 $A$는 '$B$와 동시에 일어나는 부분($A \cap B$)'과 '$B$는 일어나지 않고 $A$만 일어나는 부분($A \cap B^C$)'으로 나눌 수 있습니다. 이 두 부분은 서로 겹치지 않습니다(배반사건).
- 여사건의 확률: 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $\mathrm{P}(A^C)$는 전체 확률 $1$에서 $A$가 일어날 확률 $\mathrm{P}(A)$를 빼서 구합니다. 즉, $\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 사건 $A$의 확률 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
사건 $A$가 일어나는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다.
- $A$와 $B$가 동시에 일어나는 경우: $A \cap B$
- $A$는 일어나고 $B$는 일어나지 않는 경우: $A \cap B^C$
이 두 사건은 서로 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로, 사건 $A$의 확률은 두 확률의 합과 같습니다.
$$\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A \cap B^C)$$
문제에서 주어진 값을 대입해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3} + \frac{3}{8}$$
분모를 $24$로 통분하여 계산합니다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{8}{24} + \frac{9}{24} = \frac{17}{24}$$
2단계: 여사건 $A^C$의 확률 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $A$가 일어나지 않을 확률인 $\mathrm{P}(A^C)$입니다. 확률의 총합은 항상 $1$이므로, 여사건의 확률 공식을 사용합니다.
$$\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$$
앞서 구한 $\mathrm{P}(A) = \frac{17}{24}$를 대입합니다.
$$\mathrm{P}(A^C) = 1 - \frac{17}{24} = \frac{24}{24} - \frac{17}{24} = \frac{7}{24}$$
답
**② $\frac{7}{24}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $\mathrm{P}(B) = \frac{1}{2}$이고, $\mathrm{P}(A^C \cap B) = \frac{1}{5}$일 때, $\mathrm{P}(A \cap B)$의 값은 얼마일까요? (힌트: 사건 $B$를 사건 $A$를 기준으로 나누어 생각해 보세요!)