어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항식의 전개식에서 특정 차수($x^6$)를 가진 항의 계수를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이항정리: $(a+b)^n$을 전개했을 때 일반항이 어떻게 되는지 이해하기
- 다항식의 곱셈 성질: 두 다항식을 곱할 때, 우리가 원하는 차수($x^6$)가 나오는 조합만 골라서 계산하기
단계별 풀이
1단계: $x^6$ 항이 만들어지는 시나리오 생각하기
우리가 전개해야 할 식은 $(x+4)^6 \times (3x+2)$ 입니다.
오른쪽 괄호인 $(3x+2)$는 $3x$(1차항)와 $2$(상수항)로 이루어져 있습니다. 따라서 왼쪽의 $(x+4)^6$을 전개한 식과 곱해서 $x^6$ 항을 만들 수 있는 방법은 오직 다음의 두 가지 경우뿐입니다.
- [경우 A] $(x+4)^6$의 **$x^5$ 항** $\times$ $(3x+2)$의 **$3x$**
- [경우 B] $(x+4)^6$의 **$x^6$ 항** $\times$ $(3x+2)$의 **$2$**
이 두 가지 경우 외에는 곱해서 $x^6$을 만들 수 없습니다. 따라서 우리는 $(x+4)^6$의 전개식에서 **$x^5$의 계수와 $x^6$의 계수**만 알아내면 됩니다!
2단계: 이항정리를 이용해 필요한 항 구하기
이항정리에 의해 $(x+4)^6$의 전개식에서 일반항은 다음과 같습니다.
$$ \binom{6}{r} x^{6-r} 4^r \quad (단, r = 0, 1, 2, \dots, 6) $$
이 일반항을 이용해서 우리가 필요한 두 개의 항을 구해보겠습니다.
- **$x^6$ 항 구하기 ($6-r = 6 \implies r = 0$ 일 때)**
$$ \binom{6}{0} x^6 4^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = 1x^6 $$
따라서, $x^6$의 계수는 **$1$**입니다.
- **$x^5$ 항 구하기 ($6-r = 5 \implies r = 1$ 일 때)**
$$ \binom{6}{1} x^5 4^1 = 6 \cdot x^5 \cdot 4 = 24x^5 $$
따라서, $x^5$의 계수는 **$24$**입니다.
3단계: 최종 $x^6$의 계수 계산하기
이제 1단계에서 세운 시나리오에 대입하여 계산해 봅시다.
- [경우 A] $(24x^5) \times (3x) = 72x^6$
- [경우 B] $(1x^6) \times 2 = 2x^6$
이 두 항을 더하면 최종적인 $x^6$ 항이 됩니다.
$$ 72x^6 + 2x^6 = 74x^6 $$
따라서 $x^6$의 계수는 $74$입니다.
답
정답은 **① $74$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문:
> 위와 같은 다항식 $(x+4)^6(3x+2)$의 전개식에서 **$x^7$의 계수**는 얼마일까요?
> (힌트: $(x+4)^6$에서 몇 차항들이 필요한지 먼저 생각해보세요!)