어떤 문제인가
이 문제는 주머니에서 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공들에 적혀 있는 수들의 곱이 특정 조건(5의 배수)을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **조합 (Combination, $_n\mathrm{C}_r$):** 순서와 상관없이 서로 다른 $n$개 중에서 $r$개를 선택하는 경우의 수입니다.
- 여사건의 확률: '적어도 하나가 ~이다' 또는 특정 조건이 복잡할 때, '그 조건이 일어나지 않을 반대의 확률'을 구해서 전체 확률인 $1$에서 빼는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저 주머니에 있는 10개의 공 중에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수를 구해봅시다. 순서는 상관없으므로 조합($_n\mathrm{C}_r$)을 사용합니다.
$$N(S) = {}_{10}\mathrm{C}_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$$
전체 경우의 수는 **$210$가지**입니다.
2단계: '네 수의 곱이 5의 배수'가 되는 조건 분석하기
네 자연수의 곱이 $5$의 배수가 되려면, 꺼낸 4개의 공 중에서 적어도 하나는 5의 배수(5 또는 10)여야 합니다.
- 5의 배수인 공: $\{5, 10\}$ (총 2개)
- 5의 배수가 아닌 공: $\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ (총 8개)
이때 '적어도 하나가 5의 배수'인 경우를 직접 구하려면, 5의 배수가 1개인 경우와 2개인 경우를 나누어 계산해야 해서 번거롭습니다. 이럴 때는 여사건(반대 사건)을 이용하는 것이 훨씬 편리합니다.
3단계: 여사건의 경우의 수 구하기
'곱이 5의 배수가 되는 것'의 반대 사건(여사건)은 '곱이 5의 배수가 되지 않는 것'입니다.
곱이 5의 배수가 되지 않으려면, 꺼낸 4개의 공이 **모두 5의 배수가 아닌 공($\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$의 8개)** 중에서만 뽑혀야 합니다.
8개의 공 중에서 4개를 뽑는 경우의 수를 구해봅시다.
$$N(A^c) = {}_8\mathrm{C}_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$
여사건의 경우의 수는 **$70$가지**입니다.
4단계: 여사건의 확률 구하기
전체 경우의 수($210$)와 여사건의 경우의 수($70$)를 이용하여 여사건의 확률 $P(A^c)$를 구합니다.
$$P(A^c) = \frac{70}{210} = \frac{1}{3}$$
5단계: 구하고자 하는 확률 계산하기
우리가 구하려는 확률 $P(A)$는 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률 $P(A^c)$를 뺀 값입니다.
$$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
따라서 네 수의 곱이 5의 배수일 확률은 $\frac{2}{3}$입니다.
답
⑤ $\frac{2}{3}$
확인해보기
질문: 만약 같은 주머니(1부터 10까지의 공)에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 자연수의 곱이 2의 배수(짝수)가 될 확률을 구하려고 합니다. 이때 여사건을 이용한다면, 어떤 사건의 확률을 구해서 $1$에서 빼주어야 할까요? 식을 어떻게 세워야 할지 스스로 생각해보세요!