어떤 문제인가
이 문제는 두 집합 $X$에서 $Y$로의 함수 중에서 특정 조건($f(1) \times f(2) \neq 4$)을 만족하는 함수의 개수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 개수 구하기 (중복순열): 정의역의 각 원소가 공역의 원소를 선택하는 경우의 수를 곱해줍니다.
- 여사건(반대 사건) 이용하기: '$\neq$'(같지 않다) 조건이 있을 때는, 전체 경우의 수에서 '같아지는 경우'를 빼는 것이 훨씬 쉽고 빠릅니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 함수의 개수 구하기
조건에 상관없이 집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 $Y = \{1, 2, 3\}$으로 가는 모든 가능한 함수의 개수를 먼저 구해봅시다.
함수가 정의되려면 정의역 $X$의 모든 원소가 공역 $Y$의 원소를 하나씩 선택해야 합니다.
- $f(1)$이 선택할 수 있는 값: $1, 2, 3$ (3가지)
- $f(2)$가 선택할 수 있는 값: $1, 2, 3$ (3가지)
- $f(3)$이 선택할 수 있는 값: $1, 2, 3$ (3가지)
- $f(4)$가 선택할 수 있는 값: $1, 2, 3$ (3가지)
- $f(5)$가 선택할 수 있는 값: $1, 2, 3$ (3가지)
따라서 전체 함수의 개수는 다음과 같습니다.
$$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$$
2단계: 조건의 반대 상황($f(1) \times f(2) = 4$) 분석하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f(1) \times f(2) \neq 4$입니다. 이 조건의 반대인 **$f(1) \times f(2) = 4$가 되는 경우**를 찾아봅시다.
공역 $Y = \{1, 2, 3\}$에서 두 수를 곱해서 $4$가 되는 조합을 찾아야 합니다.
- $1 \times 4 = 4$ (하지만 $4$는 공역 $Y$에 없습니다.)
- $2 \times 2 = 4$ (가능합니다!)
따라서 $f(1) \times f(2) = 4$를 만족하는 순서쌍 $(f(1), f(2))$는 오직 하나뿐입니다.
$$(f(1), f(2)) = (2, 2)$$
3단계: $f(1) \times f(2) = 4$를 만족하는 함수의 개수 구하기
이제 $f(1) = 2$, $f(2) = 2$로 값이 고정된 상태에서 만들 수 있는 함수의 개수를 구해봅시다.
- $f(1)$의 선택지: $2$ (1가지)
- $f(2)$의 선택지: $2$ (1가지)
- $f(3)$의 선택지: $1, 2, 3$ (3가지)
- $f(4)$의 선택지: $1, 2, 3$ (3가지)
- $f(5)$의 선택지: $1, 2, 3$ (3가지)
따라서 $f(1) \times f(2) = 4$를 만족하는 함수의 개수는 다음과 같습니다.
$$1 \times 1 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$$
4단계: 최종 답 계산하기
전체 함수의 개수에서 우리가 원하지 않는 조건($f(1) \times f(2) = 4$)을 만족하는 함수의 개수를 빼줍니다.
$$\text{구하는 함수의 개수} = (\text{전체 함수의 개수}) - (f(1) \times f(2) = 4\text{인 함수의 개수})$$
$$243 - 27 = 216$$
답
④ $216$
확인해보기
오늘 배운 '여사건' 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
> 질문: 만약 조건이 $f(1) + f(2) \neq 4$로 바뀌었다면, 이 조건을 만족하는 함수 $f$의 개수는 몇 개가 될까요? (직접 반대되는 경우를 구해서 전체에서 빼보세요!)