어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 4번 던지는 시행을 통해, 처음에 섞여 있던 카드의 앞/뒷면 상태를 마지막에 모두 앞면으로 만드는 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 뒤집힌 횟수의 홀짝: 어떤 카드가 처음 상태와 반대 상태가 되려면 홀수 번 뒤집혀야 하고, 처음 상태와 같은 상태를 유지하려면 짝수 번 뒤집혀야 합니다.
- 주사위 눈과 카드 뒤집기의 관계: 주사위 눈 $k$가 나올 때마다 어떤 카드들이 뒤집히는지 수식으로 정리하는 것입니다.
- 중복순열과 경우의 수: 주사위를 4번 던져서 나오는 전체 경우의 수($6^4$) 중, 우리가 원하는 조건을 만족하는 경우의 수를 구하는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 각 카드가 최종적으로 앞면이 되기 위한 조건 구하기
카드는 뒤집을 때마다 [앞면 $\leftrightarrow$ 뒷면]으로 상태가 바뀝니다. 따라서 최종적으로 모든 카드가 앞면이 되려면 다음과 같이 뒤집혀야 합니다.
- 카드 1, 6 (처음에 뒷면): 최종적으로 앞면이 되려면 홀수 번 뒤집혀야 합니다.
- 카드 2, 3, 4, 5 (처음에 앞면): 최종적으로 앞면을 유지하려면 짝수 번 뒤집혀야 합니다.
2단계: 주사위 눈에 따라 뒤집히는 카드 정리하기
주사위를 던져 나온 눈 $k$에 따라 뒤집히는 카드는 다음과 같습니다.
- $k=1$ (홀수) $\rightarrow$ 카드 $\{1\}$ 뒤집기
- $k=2$ (짝수) $\rightarrow$ 카드 $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ 뒤집기
- $k=3$ (홀수) $\rightarrow$ 카드 $\{1, 2, 3\}$ 뒤집기
- $k=4$ (짝수) $\rightarrow$ 카드 $\{4, 5, 6\}$ 뒤집기
- $k=5$ (홀수) $\rightarrow$ 카드 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 뒤집기
- $k=6$ (짝수) $\rightarrow$ 카드 $\{6\}$ 뒤집기
4번의 시행 동안 주사위 눈 $1, 2, 3, 4, 5, 6$이 나온 횟수를 각각 $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6$이라고 합시다.
전체 시행 횟수가 4번이므로 다음이 성립합니다.
$$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 = 4 \quad (n_i \ge 0)$$
이제 각 카드가 뒤집힌 총 횟수를 $n_i$들로 나타내어 봅시다. 아래에서 $a \equiv b \pmod 2$는 $a$와 $b$를 $2$로 나눈 나머지가 같다는 뜻입니다.
- 카드 1이 뒤집힌 횟수: $n_1 + n_3 + n_5 \equiv 1 \pmod 2$ (홀수)
- 카드 2가 뒤집힌 횟수: $n_2 + n_3 + n_5 \equiv 0 \pmod 2$ (짝수)
- 카드 3이 뒤집힌 횟수: $n_2 + n_3 + n_5 \equiv 0 \pmod 2$ (짝수)
- 카드 4가 뒤집힌 횟수: $n_2 + n_4 + n_5 \equiv 0 \pmod 2$ (짝수)
- 카드 5가 뒤집힌 횟수: $n_2 + n_4 + n_5 \equiv 0 \pmod 2$ (짝수)
- 카드 6이 뒤집힌 횟수: $n_2 + n_4 + n_6 \equiv 1 \pmod 2$ (홀수)
3단계: 홀짝 조건 단순화하기
위의 복잡한 조건들을 서로 빼거나 더해서 단순한 홀짝 조건으로 정리해 봅시다.
- 카드 2의 조건에서: $n_2 \equiv n_3 + n_5 \pmod 2$
- 카드 4의 조건에서: $n_4 \equiv n_2 + n_5 \pmod 2$
* 여기에 1번 식을 대입하면, $n_4 \equiv (n_3 + n_5) + n_5 \equiv n_3 \pmod 2$가 됩니다. 즉, **$n_3$과 $n_4$의 홀짝이 같습니다.**
- 카드 1의 조건에 1번 식($n_3 + n_5 \equiv n_2$)을 대입하면:
* $n_1 + n_2 \equiv 1 \pmod 2$가 됩니다. 즉, **$n_1$과 $n_2$ 중 하나는 홀수, 하나는 짝수입니다.**
- 카드 6의 조건에 2번 식($n_2 + n_4 \equiv n_5$)을 대입하면:
* $n_5 + n_6 \equiv 1 \pmod 2$가 됩니다. 즉, **$n_5$와 $n_6$ 중 하나는 홀수, 하나는 짝수입니다.**
이 조건들을 종합하면, $n_2$와 $n_3$의 홀짝을 기준으로 다음과 같은 4가지 경우가 가능합니다.
- **경우 1: $n_2$가 짝수, $n_3$이 짝수일 때**
* $n_1$은 홀수, $n_4$는 짝수, $n_5$는 짝수, $n_6$은 홀수이어야 합니다.
* 각 변수의 홀짝 상태: $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) \rightarrow$ (홀, 짝, 짝, 짝, 짝, 홀)
- **경우 2: $n_2$가 짝수, $n_3$이 홀수일 때**
* $n_1$은 홀수, $n_4$는 홀수, $n_5$는 홀수, $n_6$은 짝수이어야 합니다.
* 각 변수의 홀짝 상태: $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) \rightarrow$ (홀, 짝, 홀, 홀, 홀, 짝)
- **경우 3: $n_2$가 홀수, $n_3$이 짝수일 때**
* $n_1$은 짝수, $n_4$는 짝수, $n_5$는 홀수, $n_6$은 짝수이어야 합니다.
* 각 변수의 홀짝 상태: $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) \rightarrow$ (짝, 홀, 짝, 짝, 홀, 짝)
- **경우 4: $n_2$가 홀수, $n_3$이 홀수일 때**
* $n_1$은 짝수, $n_4$는 홀수, $n_5$는 짝수, $n_6$은 홀수이어야 합니다.
* 각 변수의 홀짝 상태: $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) \rightarrow$ (짝, 홀, 홀, 홀, 짝, 홀)
4단계: 각 경우의 수 계산하기
이제 $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 = 4$를 만족하면서 위의 홀짝 조건을 만족하는 실제 주사위 눈의 조합과 그 경우의 수를 구해봅시다.
[유형 A] 홀수가 2개, 짝수가 4개인 경우 (경우 1, 경우 3)
- 경우 1 (홀, 짝, 짝, 짝, 짝, 홀): 홀수인 $n_1, n_6$만 값을 가질 수 있습니다.
1. 한 변수가 3, 다른 한 변수가 1인 경우: $(3, 0, 0, 0, 0, 1)$ 또는 $(1, 0, 0, 0, 0, 3)$
* 경우의 수: $\frac{4!}{3!1!} \times 2 = 8$가지
2. 두 변수가 모두 1이고, 짝수 변수 중 하나가 2인 경우: $n_1=1, n_6=1$이고 $n_2, n_3, n_4, n_5$ 중 하나가 2인 경우
* 경우의 수: $4 \times \frac{4!}{1!1!2!} = 4 \times 12 = 48$가지
* 경우 1의 총 경우의 수: $8 + 48 = 56$가지
- 경우 3 (짝, 홀, 짝, 짝, 홀, 짝): 홀수인 변수가 $n_2, n_5$인 경우로, 경우 1과 구조가 완전히 대칭입니다.
* 경우 3의 총 경우의 수: $56$가지
[유형 B] 홀수가 4개, 짝수가 2개인 경우 (경우 2, 경우 4)
- 경우 2 (홀, 짝, 홀, 홀, 홀, 짝): 홀수인 변수 $n_1, n_3, n_4, n_5$가 모두 1이어야 합이 4가 됩니다. (짝수 변수들은 모두 0)
* 즉, $(1, 0, 1, 1, 1, 0)$인 경우입니다.
* 경우의 수: $\frac{4!}{1!1!1!1!} = 24$가지
- 경우 4 (짝, 홀, 홀, 홀, 짝, 홀): 홀수인 변수 $n_2, n_3, n_4, n_6$이 모두 1인 경우입니다.
* 경우의 수: $24$가지
따라서 조건을 만족하는 총 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$56 + 56 + 24 + 24 = 160\text{가지}$$
5단계: 확률 계산하기
주사위를 4번 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 $6^4 = 1296$가지입니다.
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같습니다.
$$P = \frac{160}{1296} = \frac{10}{81}$$
답
**③ $\frac{10}{81}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 주사위를 4번 던지는 대신 2번만 던진다고 할 때, 위의 규칙을 적용하여 6장의 카드가 모두 앞면이 되도록 만드는 주사위 눈의 조합(순서쌍)은 어떤 것들이 있을까요? 직접 구해보세요!