어떤 문제인가
이 문제는 특정 조건이 주어졌을 때 다른 사건이 일어날 확률을 구하는 조건부 확률 문제입니다.
문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱이 홀수가 될 조건: 여러 수의 곱이 홀수가 되려면, 곱하는 모든 수가 홀수여야 합니다. (단 하나라도 짝수가 있으면 곱은 짝수가 됩니다.)
- 조건부 확률: 'A 사건이 일어났을 때, B 사건이 일어날 확률'은 다음과 같이 구합니다.
$$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$$
즉, '곱이 홀수인 전체 경우의 수' 중에서 '합이 15인 경우의 수'가 차지하는 비율을 구하는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건에 맞는 전체 경우의 수 $n(A)$ 구하기
먼저 "다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수"인 경우의 수를 구해봅시다.
주사위를 던져 나올 수 있는 눈 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 중에서 홀수는 $\{1, 3, 5\}$로 총 3개입니다.
다섯 개의 주사위 모두 홀수가 나와야 하므로, 각 주사위마다 나올 수 있는 경우의 수는 3가지씩입니다.
$$n(A) = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$$
2단계: 조건 안에서 합이 15가 되는 경우의 수 $n(A \cap B)$ 구하기
이제 다섯 개의 홀수 $\{1, 3, 5\}$ 중에서 5개를 골라 합이 $15$가 되는 경우를 찾아야 합니다.
나온 홀수들을 크기순으로 나열하여 합이 $15$가 되는 조합을 먼저 찾고, 그 뒤에 주사위의 순서를 고려해 나열해 봅시다.
사용할 수 있는 숫자는 $1, 3, 5$뿐입니다.
- **경우 1) $5$가 2개인 경우**
* 남은 3개 숫자의 합이 $5$가 되어야 합니다. 가능한 조합은 $\{5, 5, 3, 1, 1\}$입니다.
* 이 숫자들이 서로 다른 5개의 주사위에서 나오는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열로 계산합니다.
$$\frac{5!}{2! \times 1! \times 2!} = \frac{120}{4} = 30\text{가지}$$
- **경우 2) $5$가 1개인 경우**
* 남은 4개 숫자의 합이 $10$이 되어야 합니다. 가능한 조합은 $\{5, 3, 3, 3, 1\}$입니다.
* 이 숫자들이 나오는 경우의 수는:
$$\frac{5!}{1! \times 3! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20\text{가지}$$
- **경우 3) $5$가 없는 경우**
* 모든 숫자가 $3$이어야 합이 $15$가 됩니다. 가능한 조합은 $\{3, 3, 3, 3, 3\}$입니다.
* 이 숫자들이 나오는 경우의 수는:
$$\frac{5!}{5!} = 1\text{가지}$$
따라서 합이 $15$가 되는 총 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$n(A \cap B) = 30 + 20 + 1 = 51\text{가지}$$
3단계: 조건부 확률 계산하고 $p+q$ 구하기
이제 조건부 확률의 정의에 따라 확률을 구합니다.
$$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{51}{243}$$
분모와 분자를 약분해 봅시다. 두 수는 모두 $3$의 배수입니다.
$$\frac{51}{243} = \frac{17}{81}$$
$17$은 소수이므로 더 이상 약분되지 않는 서로소 상태입니다.
따라서 $p = 81$, $q = 17$이 됩니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 81 + 17 = 98$$
답
$$98$$
확인해보기
> 질문: 만약 문제의 조건이 "다섯 개의 눈의 수의 곱이 짝수일 때"로 바뀐다면, 이 조건에 만족하는 전체 경우의 수는 어떻게 구해야 할까요? 식을 세우지 말고 말로 설명해 보세요.