수의 체계 — 기본 개념 잡기
기본 개념 12개 · 교과 전체를 아우르는 안내도 · 유도 과정 포함
큰 지도 · 1번째 · 수와 연산 · 복소수
왜 이 지도가 필요한가 — 고등학교 수학 전체는 수의 체계라는 한 장의 지도 위에서 벌어진다. 그런데 교과서는 이 지도를 중1(정수와 유리수), 중3(무리수와 실수), 고1(복소수)로 잘라서 나눠 주기 때문에, 전체 그림을 한 자리에서 보여주는 단원이 없다. 여기서 그 지도를 한 장으로 모은다.
확장의 원리 — 수는 연산이 막힐 때마다 확장되었다. 자연수에서 $3-5$ 가 막혀 정수가, 정수에서 $2\div 3$ 이 막혀 유리수가, 유리수에서 $x^{2}=2$ 가 막혀 실수가, 실수에서 $x^{2}=-1$ 이 막혀 복소수가 생겼다. 확장의 방향은 언제나 같다 — 안 되던 연산이 되게 만들되, 이미 되던 계산 법칙은 그대로 유지한다.
확장의 대가 — 공짜 확장은 없다. 넓어질 때마다 성질을 하나씩 내려놓는다. 복소수는 방정식을 전부 풀 수 있게 해 준 대신 크기 비교(대소 관계)를 잃었다. 그리고 끝내 사라지지 않는 금지 조항들 — 0으로 나눌 수 없다, 음수의 짝수 제곱근은 실수에 없다, 로그의 밑과 진수에는 조건이 붙는다 — 이것들이 바로 수능 문제에 붙는 '단, ~' 조건의 정체다.
수의 확장 — 연산이 막힐 때마다 수가 태어났다
자연수
큰 지도 · 수를 넓힌다
세기 위해 태어난 수 $1,\ 2,\ 3,\ \cdots$. 덧셈과 곱셈은 자연수 안에서 항상 가능하지만, $3-5$ 처럼 뺄셈은 답이 자연수 밖으로 나가 버린다. 이 '막힘'이 다음 확장의 이유가 된다.
예시$3+5=8$ ✓ · $3\times 5=15$ ✓ · $3-5=?$ — 자연수 안에 답이 없다
정수
큰 지도 · 수를 넓힌다
뺄셈이 항상 가능하도록 0과 음수를 들여온 수. $\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$. 이제 덧셈·뺄셈·곱셈이 모두 자유롭지만, $2\div 3$ 처럼 나눗셈이 막힌다.
유도방정식 $x+5=3$ 의 답을 새 수 $-2$ 라 이름 붙이고, 기존 법칙이 그대로 성립하도록 연산 규칙을 정한다. 그러면 $(-1)\times(-1)=1$ 은 외울 규칙이 아니라 강제되는 결과다: $0=(-1)\times 0=(-1)\times\{1+(-1)\}=(-1)+(-1)(-1)$ 이므로 $(-1)(-1)$ 은 $-1$ 의 반대수, 즉 $1$ 일 수밖에 없다.
예시$3-5=-2$ ✓ · $2\div 3=?$ — 정수 안에 답이 없다
유리수
큰 지도 · 수를 넓힌다
나눗셈이 (0으로 나누는 것만 빼고) 항상 가능하도록 분수를 들여온 수 — $\dfrac{q}{p}$ ($p\neq 0$, $p,q$ 는 정수) 꼴. 사칙연산이 완비된 첫 체계다. 그러나 한 변이 1인 정사각형의 대각선 $\sqrt{2}$ 는 어떤 분수로도 적을 수 없다 — 방정식 $x^{2}=2$ 가 막힌다.
유도방정식 $3x=2$ 의 답을 $\dfrac{2}{3}$ 라 이름 붙인다. 분수의 덧셈(통분)·곱셈 규칙도 임의로 정한 것이 아니라, 분배법칙과 결합법칙이 깨지지 않도록 정하면 저절로 하나로 결정된다.
예시$2\div 3=\dfrac{2}{3}$ ✓ · $x^{2}=2$ — 유리수 안에 답이 없다
무리수와 실수
큰 지도 · 수를 넓힌다
$\sqrt{2},\ \pi$ 처럼 분수로 적을 수 없는 수(무리수)까지 받아들여 수직선을 빈틈없이 채운 것이 실수다. 수직선의 모든 점이 실수 하나와 대응하므로, 크기 비교·구간·연속·극한 — 수학Ⅱ와 미적분 전체 — 가 실수 위에서 성립한다. 그러나 여전히 $x^{2}=-1$ 은 풀 수 없다.
유도$x^{2}=2$ 의 답이 분수일 수 없음은 귀류법으로 확인된다: $x=\dfrac{q}{p}$ (기약분수)라 하면 $q^{2}=2p^{2}$ 에서 $q$ 가 짝수이고, 그러면 $p$ 도 짝수가 되어 기약이라는 가정과 모순이다. 그래서 분수 아닌 새 수 $\sqrt{2}$ 를 받아들이고, 이런 수들로 수직선의 빈틈을 전부 메운 것이 실수다.
예시$x^{2}=2$ 의 해 $x=\pm\sqrt{2}$ ✓ · $x^{2}=-1$ — 실수 안에 답이 없다
복소수
큰 지도 · 수를 넓힌다
$i^{2}=-1$ 인 허수단위 $i$ 를 들여와 $a+bi$ 꼴로 넓힌 수. 이로써 모든 다항방정식이 근을 갖게 되어(대수학의 기본 정리) 수의 확장은 여기서 완성된다. 고1 과정의 복소수가 이 마지막 확장이다. 대가는 아래 '대소 관계는 실수까지다'에서 확인한다.
유도$x^{2}+1=0$ 의 답을 $i$ 라 이름 붙이고($i^{2}=-1$), 실수와 $i$ 를 섞은 $a+bi$ 의 사칙연산을 기존 법칙(교환·결합·분배)이 유지되도록 정한다. 그러면 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ 같은 곱셈 규칙이 저절로 따라 나온다. 모든 확장은 결국 같은 한 문장이다 — 안 풀리는 방정식의 답에 이름을 붙이고, 기존 법칙을 지키도록 규칙을 정한다.
예시$x^{2}=-1$ 의 해 $x=\pm i$ ✓ — 더 이상 막히는 다항방정식이 없다
연산의 기본 법칙 — 확장 내내 지켜진 것
교환법칙
큰 지도 · 수를 넓힌다
더하거나 곱하는 순서를 바꿔도 결과가 같다는 법칙. 자연수에서 복소수까지 모든 확장에서 덧셈과 곱셈에 대해 유지되었다. 단, 뺄셈과 나눗셈은 처음부터 교환이 안 된다 — $3-5\neq 5-3$. 그래서 교과서의 모든 법칙은 덧셈·곱셈을 기준으로 서술된다.
$a+b=b+a$, $\quad ab=ba$
예시$3-5=-2$ 이지만 $5-3=2$ — 뺄셈은 교환 불가
결합법칙
큰 지도 · 수를 넓힌다
셋 이상을 더하거나 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶어도 결과가 같다는 법칙. 이것이 있어서 $a+b+c$ 를 괄호 없이 쓸 수 있다. 역시 덧셈·곱셈에서만 성립한다.
$(a+b)+c=a+(b+c)$, $\quad (ab)c=a(bc)$
예시$(8-4)-2=2$ 이지만 $8-(4-2)=6$ — 뺄셈은 결합 불가
분배법칙
큰 지도 · 수를 넓힌다
곱셈이 덧셈 위로 퍼지는 법칙. 다항식의 전개와 인수분해(고1 첫 단원)가 이 법칙을 앞으로 쓰느냐 거꾸로 쓰느냐의 차이일 뿐이다 — 즉 고교 수학의 첫 단원은 이 법칙의 연습이다.
$a(b+c)=ab+ac$
예시전개 $2(x+3)=2x+6$ ↔ 인수분해 $2x+6=2(x+3)$ — 같은 법칙의 두 방향
확장이 남긴 제한사항 — 수능 문제의 '단, ~' 조건이 되는 것들
0으로 나눌 수 없다
큰 지도 · 수를 넓힌다
유리수를 만들 때부터 붙은, 끝까지 사라지지 않는 금지 조항이다. $a\div 0$ 이 어떤 수 $x$ 라면 $0\times x=a$ 여야 하는데 좌변은 항상 0이므로 답이 존재할 수 없다. 수능에서는 분수식의 분모 $\neq 0$ 조건, 함수의 극한에서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴을 따로 다루는 이유가 전부 여기서 나온다.
대소 관계는 실수까지다
큰 지도 · 수를 넓힌다
실수는 수직선 위에 놓이므로 어떤 두 수든 크기를 비교할 수 있다. 그러나 복소수로 확장하는 순간 이 성질을 잃는다 — $i$ 와 $1$ 중 무엇이 큰지는 정할 수 없다(어느 쪽으로 정해도 곱셈과 모순이 생긴다). 그래서 부등식은 언제나 실수 범위의 이야기이고, '실근 조건'을 묻는 판별식 문제가 따로 존재한다.
음수의 짝수 제곱근은 실수에 없다
큰 지도 · 수를 넓힌다
실수는 제곱하면 반드시 0 이상이므로 $\sqrt{-4}$ 같은 짝수 제곱근은 실수 범위에 없다(복소수 범위에서만 $2i$). 수학Ⅰ에서 거듭제곱근을 셀 때 $n$ 의 홀짝과 $a$ 의 부호를 나누는 이유, 이차방정식에서 판별식 $D\ge 0$ 을 확인하는 이유가 이것이다.
예시$\sqrt[3]{-8}=-2$ ✓ (홀수 제곱근은 가능) · $\sqrt{-4}$ — 실수에 없다
지수·로그의 밑과 진수 조건
큰 지도 · 수를 넓힌다
지수를 실수까지 확장하려면 밑이 양수여야 한다 — $(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$ 처럼 음수 밑은 유리수 지수에서 이미 무너지기 때문이다. 로그의 밑 $a\gt 0,\ a\neq 1$ 과 진수 $N\gt 0$ 조건도 같은 뿌리다. 수학Ⅰ 지수와 로그 단원의 모든 '조건 확인'은 수 체계가 남긴 이 제한사항의 후손이다.
예시$2^{x}$ 는 모든 실수 $x$ 에서 정의 ✓ · $(-2)^{x}$ 는 $x=\frac{1}{2}$ 에서 이미 실수 밖