다항식 — 기본 개념 잡기
기본 개념 15개 · 교과서 흐름 순 · 수능 전 과목이 딛는 공통 기반
고1 수학(기초) · 1번째
이 개념이 왜 생겼나 — 수 대신 문자를 계산하기 위해서다. 16세기까지 방정식 해법은 말로 길게 풀어 쓴 조리법이었는데, 비에트와 데카르트가 미지수와 계수를 문자 기호로 적기 시작하면서 '식 자체를 다루는 계산'이 가능해졌다. 문자와 수의 곱과 합으로 이루어진 식이 다항식이고, 다항식을 더하고 곱하고 나누고 다시 곱의 꼴로 되돌리는(인수분해) 규칙이 이 단원이다. 수의 사칙연산을 식의 세계로 확장한 것이다.
지금 어디에 쓰이나 — 다항식은 계산 가능한 함수의 표준형이다. 컴퓨터는 복잡한 곡선을 다항식으로 근사해 계산하고, 컴퓨터 그래픽의 곡선(베지에 곡선)과 통신 오류를 잡아내는 부호(CRC)도 다항식 연산으로 돌아간다. 공학에서 어떤 현상을 식으로 모형화할 때 가장 먼저 시도하는 꼴이 다항식이다.
수능은 무엇을 묻나 — 고1 수학은 수능에 직접 출제되지 않지만, 수학Ⅱ의 미분·적분이 전부 다항함수 위에서 이루어지므로 다항식 계산은 수능 내내 손에서 떠나지 않는다. 특히 인수분해와 나머지정리는 함수의 극한 계산, 방정식의 실근 찾기에서 매 문항 쓰이는 기본기다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 그 기본기가 잡힌다.
다항식의 연산
다항식의 정리(내림차순과 오름차순)
고1 과정
다항식을 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항 순으로 정리하는 것을 내림차순, 그 반대를 오름차순이라 한다. 나눗셈·조립제법은 모두 내림차순 정리를 전제로 하므로, 이후 모든 계산의 첫 동작이다.
예시$3x-1+x^{2}$ 을 내림차순으로 정리하면 $x^{2}+3x-1$
다항식의 덧셈과 뺄셈
고1 과정
동류항 — 문자와 차수가 같은 항 — 끼리 모아 계수를 더하고 뺀다. 다항식의 덧셈에서도 수와 마찬가지로 교환법칙·결합법칙이 성립한다. 수학Ⅱ에서 함수끼리 더하고 빼는 계산이 전부 이 규칙이다.
예시$(x^{2}+2x)+(2x^{2}-x)=3x^{2}+x$
다항식의 곱셈
고1 과정
분배법칙으로 각 항을 빠짐없이 곱한 뒤 동류항을 정리한다. 다항식의 곱셈에서는 교환·결합법칙과 함께 분배법칙이 성립한다. 다항함수의 식을 전개해 미분·적분하는 수학Ⅱ 계산의 바탕이다.
예시$(x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}-x^{2}+x+x^{2}-x+1=x^{3}+1$
곱셈 공식
고1 과정
자주 나오는 곱의 꼴을 전개 결과로 외워 두는 공식. 중학교의 이차 공식에 세제곱 꼴과 세 문자 꼴이 추가된다. 거꾸로 읽으면 그대로 인수분해 공식이 되므로 양방향으로 익힌다.
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$, $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$, $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$, $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$, $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
예시$(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8$
곱셈 공식의 변형
고1 과정
곱셈 공식을 이항해, 두 수의 합과 곱만 알 때 제곱의 합·세제곱의 합을 구하는 꼴로 바꾼 것. 이차방정식의 근과 계수의 관계와 연결되어 식의 값 계산에 쓰인다.
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$, $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)$
예시$a+b=3,\ ab=2$ 일 때 $a^{3}+b^{3}=3^{3}-3\cdot 2\cdot 3=27-18=9$
다항식의 나눗셈
고1 과정
두 다항식을 내림차순으로 정리한 뒤, 자연수의 나눗셈처럼 최고차항부터 차례로 나누어 몫과 나머지를 구한다. 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아질 때 계산이 끝난다. 수학Ⅱ에서 다항함수를 일차식으로 나누어 극한을 계산할 때 그대로 쓰인다.
예시$x^{2}+3x+5$ 를 $x+1$ 로 나누면 몫 $x+2$, 나머지 $3$ — 확인: $(x+1)(x+2)+3=x^{2}+3x+5$
몫과 나머지의 관계
고1 과정
다항식 $A$ 를 $B\ (B\neq 0)$ 로 나눈 몫이 $Q$, 나머지가 $R$ 이면 $A=BQ+R$ 이고, $R$ 의 차수는 $B$ 의 차수보다 낮다. 나눗셈을 직접 하지 않고도 성립하는 항등식이라서, 나머지정리를 비롯한 이 단원 후반부 전체의 출발점이 된다.
$A=BQ+R$ (단, $R$ 의 차수 $\lt$ $B$ 의 차수, 또는 $R=0$)
나머지정리와 인수분해
항등식
고1 과정
문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식. $ax^{2}+bx+c=0$ 이 $x$ 에 대한 항등식이면 $a=b=c=0$ 이고, 양변의 동류항 계수가 모두 같다. '모든 $x$ 에 대하여 성립한다'는 조건이 붙은 식은 전부 항등식 문제다.
예시$ax^{2}+bx+c=2x^{2}+3x$ 이 $x$ 에 대한 항등식이면 $a=2,\ b=3,\ c=0$
미정계수법
고1 과정
항등식의 성질을 이용해 정해지지 않은 계수를 구하는 방법. 양변의 계수를 비교하는 계수비교법과, 문자에 적당한 수를 대입하는 수치대입법이 있다. 수학Ⅱ에서 조건으로 주어진 다항함수의 식을 결정할 때 늘 쓰는 도구다.
예시$a(x-1)+b(x+1)=3x+1$ 이 항등식일 때 — $x=1$ 대입: $2b=4$ 에서 $b=2$, $x=-1$ 대입: $-2a=-2$ 에서 $a=1$
나머지정리
고1 과정
다항식 $P(x)$ 를 일차식 $x-a$ 로 나눈 나머지는 직접 나누지 않아도 $P(a)$ 다. $P(x)=(x-a)Q(x)+R$ 에 $x=a$ 를 대입하면 바로 나온다. 나눗셈 한 번이 대입 한 번으로 줄어드는 정리로, 수학Ⅱ의 극한·방정식 문제에서 실근을 다룰 때 바탕이 된다.
$P(x)$ 를 $x-a$ 로 나눈 나머지 $=P(a)$
예시$P(x)=x^{3}-2x+1$ 을 $x-2$ 로 나눈 나머지는 $P(2)=8-4+1=5$
인수정리
고1 과정
$P(a)=0$ 이면 $P(x)$ 는 $x-a$ 로 나누어떨어지고, 거꾸로 $x-a$ 가 인수이면 $P(a)=0$ 이다. 나머지정리에서 나머지가 $0$ 인 특별한 경우다. 삼차 이상 방정식의 근 찾기가 전부 이 정리에서 출발하므로, 수학Ⅱ에서 방정식의 실근을 다루는 모든 문항의 바탕이다.
$P(a)=0 \iff P(x)=(x-a)Q(x)$
예시$P(x)=x^{3}-1$ 은 $P(1)=0$ 이므로 $x-1$ 을 인수로 가진다
조립제법
고1 과정
다항식을 일차식 $x-a$ 로 나눌 때, 계수만 뽑아 곱하고 더하는 것을 반복해 몫과 나머지를 구하는 방법. 세로 나눗셈보다 빠르고 실수가 적어, 고차방정식을 인수분해할 때 표준 절차로 쓰인다.
예시$x^{3}-2x+1$ 을 $x-1$ 로 나누면 — 계수 $1,\ 0,\ -2,\ 1$ 에 조립제법을 적용해 몫 $x^{2}+x-1$, 나머지 $0$
인수분해 공식
고1 과정
곱셈 공식을 거꾸로 읽어 다항식을 곱의 꼴로 되돌리는 공식. 중학교 공식에 세제곱 꼴이 추가된다. 방정식·부등식 풀이는 물론 수학Ⅱ의 극한 계산에서 약분을 만들어 내는 핵심 기술이다.
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$, $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$, $a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$
예시$x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$
복잡한 식의 인수분해
고1 과정
공식이 바로 적용되지 않는 식은 공통부분을 한 문자로 치환하거나, $x^{4}+ax^{2}+b$ 꼴(복이차식)은 $x^{2}=t$ 로 놓아 이차식의 인수분해로 바꾼다. 겉모습을 아는 꼴로 바꾸는 이 발상은 수학Ⅰ의 지수·로그 치환 풀이로 이어진다.
예시$x^{4}+x^{2}-2$ 에서 $x^{2}=t$ 로 치환하면 $t^{2}+t-2=(t-1)(t+2)$ → $(x-1)(x+1)(x^{2}+2)$
인수정리를 이용한 인수분해
고1 과정
삼차 이상의 다항식 $P(x)$ 는 $P(a)=0$ 이 되는 $a$ 를 찾아 — 후보는 $\pm\dfrac{(\text{상수항의 약수})}{(\text{최고차항 계수의 약수})}$ — 조립제법으로 $x-a$ 를 뽑아내며 차수를 낮춘다. 삼차·사차방정식 풀이의 표준 절차이고, 수학Ⅱ에서 방정식의 실근 개수를 따질 때의 기본 동작이다.
예시$x^{3}-3x+2$ 는 $P(1)=0$ → 조립제법으로 $(x-1)(x^{2}+x-2)=(x-1)^{2}(x+2)$