방정식과 부등식 — 기본 개념 잡기
기본 개념 21개 · 교과서 흐름 순 · 수능 전 과목이 딛는 공통 기반
고1 수학(기초) · 2번째
이 개념이 왜 생겼나 — 방정식의 근을 남김없이 다루기 위해서다. $x^{2}=-1$ 처럼 실수 범위에서는 근이 없는 방정식이 있었는데, 16세기 이탈리아 수학자들이 삼차방정식을 풀다가 계산 도중 음수의 제곱근을 거치지 않으면 실근조차 구할 수 없는 경우를 만났다. 계산을 위해 마지못해 받아들인 이 수가 복소수이고, 복소수까지 수를 넓히면 모든 이차방정식이 근을 가진다. 방정식·부등식과 이차함수의 그래프를 하나로 묶어 읽는 것이 이 단원이다.
지금 어디에 쓰이나 — 복소수는 교류 전기 회로와 신호 처리의 표준 언어로, 전압과 전류의 크기·위상을 수 하나로 담는다. 이차함수의 최대·최소는 이익을 크게 하고 비용을 작게 하는 최적화 문제의 가장 단순한 모형이고, 부등식은 조건을 만족하는 범위를 잘라내는 도구로 공학 설계 어디에나 있다.
수능은 무엇을 묻나 — 고1 수학은 수능에 직접 출제되지 않지만, 판별식·근과 계수의 관계·이차함수와 직선의 위치 관계는 수학Ⅰ의 지수·로그·삼각 방정식과 수학Ⅱ의 미분 활용 문제에서 치환 후 마무리 계산으로 반복해 등장한다. 방정식을 그래프로, 그래프를 방정식으로 오가는 시선이 이 단원에서 만들어진다.
복소수와 이차방정식
복소수의 뜻
고1 과정
제곱하여 $-1$ 이 되는 수를 허수단위 $i$ 로 나타내고 ($i^{2}=-1$), 실수 $a,\ b$ 에 대하여 $a+bi$ 꼴의 수를 복소수라 한다. $a$ 를 실수부분, $b$ 를 허수부분이라 하고, $b\neq 0$ 이면 허수다. 실수만으로는 근이 없던 이차방정식이 복소수 범위에서는 항상 근을 가지게 된다.
예시$3+2i$ 의 실수부분은 $3$, 허수부분은 $2$ · $5=5+0i$ 도 복소수다
복소수가 서로 같을 조건
고1 과정
두 복소수는 실수부분끼리, 허수부분끼리 각각 같을 때에만 같다. 복소수 등식 하나가 실수 등식 두 개로 쪼개지므로, 미지수 두 개를 한 번에 구하는 조건으로 쓰인다.
$a,\ b,\ c,\ d$ 가 실수일 때 $a+bi=c+di \iff a=c,\ b=d$
예시실수 $x,\ y$ 에 대하여 $x+yi=2+3i$ 이면 $x=2,\ y=3$
복소수의 사칙연산
고1 과정
$i$ 를 문자처럼 계산하되 $i^{2}$ 이 나오면 $-1$ 로 바꾼다. 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분모·분자에 곱해 분모를 실수로 만든다. 결과는 항상 $a+bi$ 꼴로 정리한다.
예시$(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^{2}=5+5i$ · $\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}$
켤레복소수
고1 과정
복소수 $z=a+bi$ 의 허수부분의 부호를 바꾼 $\bar{z}=a-bi$ 를 켤레복소수라 한다. $z+\bar{z}=2a$, $z\bar{z}=a^{2}+b^{2}$ 으로 둘 다 실수가 된다는 것이 핵심 성질이다. 복소수 나눗셈과 켤레근 문제의 바탕이다.
$\overline{a+bi}=a-bi$, $z\bar{z}=a^{2}+b^{2}$
예시$z=3+2i$ 이면 $\bar{z}=3-2i$, $z\bar{z}=9+4=13$
i의 거듭제곱
고1 과정
$i,\ i^{2},\ i^{3},\ i^{4}$ 은 차례로 $i,\ -1,\ -i,\ 1$ 이고 이후 같은 순서로 반복된다. 지수를 $4$ 로 나눈 나머지만 보면 되므로, 큰 지수의 거듭제곱도 한 번의 나눗셈으로 정리된다.
$i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i$ ($k$ 는 자연수)
예시$i^{50}=i^{4\times 12+2}=i^{2}=-1$
음수의 제곱근
고1 과정
$a\gt 0$ 일 때 $\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i$ 로 정한다. 단, 근호 안이 모두 음수일 때는 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 가 성립하지 않으므로, 먼저 $i$ 를 꺼낸 뒤 계산해야 한다.
$a\gt 0,\ b\gt 0$ 일 때 $\sqrt{-a}\sqrt{-b}=-\sqrt{ab}$
예시$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=(\sqrt{2}\,i)(\sqrt{3}\,i)=\sqrt{6}\,i^{2}=-\sqrt{6}$
이차방정식의 근의 공식과 판별식
고1 과정
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 근은 근의 공식으로 항상 구해지고, 근호 안의 값 $D=b^{2}-4ac$ (판별식)의 부호가 근의 종류를 결정한다 — $D\gt 0$ 서로 다른 두 실근, $D=0$ 중근, $D\lt 0$ 서로 다른 두 허근. 수학Ⅰ·수학Ⅱ에서 치환으로 만든 이차방정식의 근을 따질 때 그대로 쓰인다.
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, $D=b^{2}-4ac$
예시$x^{2}+x+1=0$ 은 $D=1-4=-3\lt 0$ → 서로 다른 두 허근 $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}$
이차방정식의 근과 계수의 관계
고1 과정
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근을 $\alpha,\ \beta$ 라 하면 근을 직접 구하지 않아도 두 근의 합과 곱을 계수에서 바로 읽을 수 있다. 곱셈 공식의 변형과 결합해 $\alpha^{2}+\beta^{2}$ 같은 식의 값을 구하는 문제로 이어지고, 수능 전 범위에서 두 근의 관계를 묻는 문항의 바탕이 된다.
$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
예시$x^{2}-3x+2=0$ 의 두 근의 합은 $3$, 곱은 $2$ (실제 근 $1,\ 2$ 로 확인)
두 수를 근으로 하는 이차방정식
고1 과정
두 수 $\alpha,\ \beta$ 를 근으로 하고 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차방정식은 $x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$ 이다. 근과 계수의 관계를 거꾸로 쓴 것으로, 근의 정보에서 방정식을 복원할 때 쓴다.
$x^{2}-(\text{두 근의 합})x+(\text{두 근의 곱})=0$
예시$2$ 와 $3$ 을 근으로 하는 이차방정식: $x^{2}-5x+6=0$
이차방정식의 켤레근
고1 과정
계수가 실수인 이차방정식에서 $p+qi$ 가 근이면 켤레 $p-qi$ 도 근이다. 마찬가지로 계수가 유리수이면 $p+q\sqrt{m}$ 과 $p-q\sqrt{m}$ 이 짝으로 나온다. 근 하나만 주어져도 나머지 근과 방정식 전체가 결정된다.
예시실수 계수 이차방정식의 한 근이 $1+2i$ 이면 다른 근은 $1-2i$ — 합 $2$, 곱 $5$ 이므로 $x^{2}-2x+5=0$
이차방정식과 이차함수
이차방정식과 이차함수의 관계
고1 과정
이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$ 의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근이다. 따라서 판별식 $D$ 의 부호에 따라 교점은 $2$개($D\gt 0$)·$1$개($D=0$)·$0$개($D\lt 0$)다. 방정식의 실근을 그래프의 교점으로 바꿔 읽는 이 시선이 수학Ⅱ 미분 활용(방정식의 실근 개수)의 뿌리다.
예시$y=x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$ 은 $x$축과 $x=-1,\ 3$ 에서 만난다
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
고1 과정
이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$ 와 직선 $y=mx+n$ 을 연립해 얻은 이차방정식의 판별식으로 판정한다 — $D\gt 0$ 서로 다른 두 점에서 만난다, $D=0$ 접한다, $D\lt 0$ 만나지 않는다. 곡선과 직선의 '접한다' 조건을 식으로 옮기는 이 방법은 수학Ⅱ 접선 문제의 출발점이다.
예시$y=x^{2}$ 과 $y=2x+k$ 가 접하면 $x^{2}-2x-k=0$ 에서 $\dfrac{D}{4}=1+k=0$ → $k=-1$
이차함수의 최대·최소
고1 과정
$y=ax^{2}+bx+c$ 를 완전제곱꼴 $y=a(x-p)^{2}+q$ 로 고치면 $a\gt 0$ 일 때 $x=p$ 에서 최솟값 $q$, $a\lt 0$ 일 때 최댓값 $q$ 를 가진다. 수학Ⅰ에서 지수·로그·삼각함수를 치환한 뒤의 최대·최소가 결국 이 문제로 귀결된다.
예시$y=x^{2}-4x+7=(x-2)^{2}+3$ → $x=2$ 에서 최솟값 $3$
제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소
고1 과정
$\alpha\le x\le \beta$ 로 범위가 제한되면 꼭짓점이 범위 안에 있는지부터 확인한다. 안에 있으면 꼭짓점과 양 끝 값을, 밖에 있으면 양 끝 값만 비교한다. 범위 조건이 붙은 최대·최소 문제의 표준 절차로, 수능의 구간 최대·최소 문항이 이 판단 위에 서 있다.
예시$0\le x\le 3$ 에서 $y=(x-2)^{2}+3$ — 꼭짓점 $x=2$ 가 범위 안: 최솟값 $3$, 최댓값은 $x=0$ 에서 $7$
여러 가지 방정식과 부등식
삼차방정식과 사차방정식
고1 과정
인수분해 공식·치환·인수정리와 조립제법으로 일차식과 이차식의 곱으로 분해해 푼다. 복소수 범위에서 삼차방정식은 3개, 사차방정식은 4개의 근을 가진다(중근 포함). 수학Ⅱ에서 다항함수와 직선의 교점을 구하는 계산이 바로 이것이다.
예시$x^{3}-1=0$ → $(x-1)(x^{2}+x+1)=0$ → $x=1$ 또는 $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}$
연립이차방정식
고1 과정
일차방정식과 이차방정식의 연립은 일차식을 한 문자에 대해 정리해 대입하고, 이차식 두 개의 연립은 인수분해되는 쪽을 두 일차식으로 쪼개 각각 대입한다. 미지수를 하나로 줄이는 대입의 발상은 도형의 방정식에서 곡선의 교점을 구할 때 그대로 쓰인다.
예시$x-y=1,\ x^{2}+y^{2}=5$ → $x=y+1$ 대입: $y^{2}+y-2=0$ → $(x,\ y)=(2,\ 1)$ 또는 $(-1,\ -2)$
연립일차부등식
고1 과정
두 개 이상의 일차부등식을 각각 푼 뒤 수직선에서 공통 범위를 찾는다. 공통 범위가 없으면 해가 없다. '해를 갖는다'·'정수해가 $n$개다' 같은 조건 문제는 수직선 위에서 경계의 포함 여부를 따지는 훈련이고, 이후 모든 부등식 풀이의 기본 틀이다.
예시$x+1\gt 2$ 이고 $2x\le 8$ → $1\lt x\le 4$
절댓값을 포함한 일차부등식
고1 과정
$a\gt 0$ 일 때 $|x|\lt a$ 는 $-a\lt x\lt a$, $|x|\gt a$ 는 $x\lt -a$ 또는 $x\gt a$ 로 벗긴다. 절댓값 안이 복잡하면 안의 식이 $0$ 이 되는 값을 경계로 구간을 나눈다. 절댓값을 거리로 읽는 감각은 함수의 극한 정의의 바탕 감각이 된다.
$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a$, $|x|\gt a \iff x\lt -a$ 또는 $x\gt a$
예시$|x-1|\lt 3$ → $-3\lt x-1\lt 3$ → $-2\lt x\lt 4$
이차부등식
고1 과정
이차함수의 그래프와 $x$축의 위치 관계로 푼다. $a\gt 0$ 일 때 $(x-\alpha)(x-\beta)\lt 0\ (\alpha\lt\beta)$ 의 해는 두 근 사이 $\alpha\lt x\lt \beta$, $(x-\alpha)(x-\beta)\gt 0$ 의 해는 두 근 바깥이다. 수학Ⅰ의 지수·로그부등식, 수학Ⅱ의 부등식 활용이 마지막에는 전부 이차부등식으로 내려온다.
예시$x^{2}-x-6\lt 0$ → $(x-3)(x+2)\lt 0$ → $-2\lt x\lt 3$
이차부등식이 항상 성립할 조건
고1 과정
모든 실수 $x$ 에 대하여 $ax^{2}+bx+c\gt 0$ 이려면 그래프가 $x$축 위쪽에만 있어야 하므로 $a\gt 0$ 이고 $D\lt 0$ 이다. 부등호 방향이 반대면 $a\lt 0,\ D\lt 0$. '항상 성립'을 그래프 위치로 번역하는 이 조건은 수학Ⅱ 부등식 증명 문항의 기본 틀이다.
모든 실수 $x$ 에서 $ax^{2}+bx+c\gt 0 \iff a\gt 0,\ b^{2}-4ac\lt 0$
예시$x^{2}+2kx+4\gt 0$ 이 항상 성립 → $\dfrac{D}{4}=k^{2}-4\lt 0$ → $-2\lt k\lt 2$
연립이차부등식
고1 과정
이차부등식이 포함된 연립부등식. 각 부등식을 따로 푼 뒤 수직선에서 공통 범위를 취한다. 범위 두 개를 겹쳐 읽는 절차 자체가 답의 전부이므로, 경계값의 포함 여부를 수직선에 표시하며 확인한다.
예시$x^{2}-1\gt 0$ 이고 $x^{2}-4x\lt 0$ → ($x\lt -1$ 또는 $x\gt 1$) 과 $0\lt x\lt 4$ 의 공통 범위: $1\lt x\lt 4$