도형의 방정식 — 기본 개념 잡기

기본 개념 15개 · 교과서 흐름 순 · 수능 전 과목이 딛는 공통 기반

고1 수학(기초) · 3번째

이 개념이 왜 생겼나 — 도형을 계산하기 위해서다. 1637년 데카르트는 평면의 점을 두 수의 순서쌍으로 적는 좌표를 도입해, 그림으로만 다루던 기하를 식의 계산으로 바꿨다. 직선은 일차방정식, 원은 이차방정식이 되고, '두 도형이 만나는가'는 '연립방정식이 해를 갖는가'로 번역된다. 자와 컴퍼스 대신 대수로 도형을 다루는 해석기하가 이 단원에서 시작된다.

지금 어디에 쓰이나 — 좌표는 위치를 다루는 모든 기술의 기반이다. GPS는 위성까지의 거리 계산으로 좌표를 정하고, 내비게이션의 경로 탐색과 게임·영화의 컴퓨터 그래픽은 점의 평행이동·대칭이동 계산을 초당 수백만 번 수행한다. 화면 위의 모든 움직임이 이 단원의 식으로 처리된다.

수능은 무엇을 묻나 — 고1 수학은 수능에 직접 출제되지 않지만, 두 점 사이의 거리·점과 직선 사이의 거리·평행이동과 대칭이동은 수학Ⅰ의 그래프 문제와 수학Ⅱ의 접선·넓이 문제에서 계산 도구로 늘 쓰인다. 그래프가 나오는 모든 문항의 좌표 감각이 여기서 만들어진다.

평면좌표

두 점 사이의 거리

고1 과정

두 점 $\mathrm{A}(x_{1},\ y_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2},\ y_{2})$ 사이의 거리는 좌표의 차를 두 변으로 하는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용해 구한다. 좌표평면의 가장 기본 계산으로, 수능에서 그래프 위 두 점의 거리 조건이 나올 때마다 이 식을 쓴다.

$\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

예시$(1,\ 2)$ 와 $(4,\ 6)$ 사이의 거리는 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

선분의 내분점과 외분점

고1 과정

선분 $\mathrm{AB}$ 를 $m:n$ 으로 나누는 점의 좌표를 두 끝점의 좌표로 나타낸다. 선분 위에서 나누면 내분, 연장선 위에서 나누면 외분이고, $m=n$ 인 내분점이 중점이다. 무게중심을 비롯해 좌표로 도형을 다루는 계산의 기초다.

내분점 $\left(\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\ \dfrac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)$, 외분점 $\left(\dfrac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n},\ \dfrac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}\right)$ $(m\neq n)$

예시$\mathrm{A}(1,\ 2)$, $\mathrm{B}(4,\ 5)$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점은 $\left(\dfrac{8+1}{3},\ \dfrac{10+2}{3}\right)=(3,\ 4)$

삼각형의 무게중심

고1 과정

삼각형의 세 중선이 만나는 점으로, 각 중선을 꼭짓점으로부터 $2:1$ 로 내분한다. 좌표로는 세 꼭짓점 좌표의 평균이다. 내분점 공식이 도형의 성질과 만나는 대표 예다.

$\mathrm{G}\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$

예시$(0,\ 0)$, $(3,\ 0)$, $(0,\ 6)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심은 $(1,\ 2)$

직선의 방정식

고1 과정

기울기 $m$ 으로 점 $(x_{1},\ y_{1})$ 을 지나는 직선은 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, 두 점을 지나면 기울기 $\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ 부터 구한다. 일반형 $ax+by+c=0$ 은 모든 직선(수직선 포함)을 담는 표기다. 수학Ⅱ의 접선의 방정식이 정확히 이 꼴로 적힌다.

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

예시기울기 $2$ 로 점 $(1,\ 3)$ 을 지나는 직선: $y-3=2(x-1)$ → $y=2x+1$

두 직선의 평행 조건과 수직 조건

고1 과정

두 직선 $y=m_{1}x+n_{1}$, $y=m_{2}x+n_{2}$ 는 $m_{1}=m_{2},\ n_{1}\neq n_{2}$ 이면 평행하고, $m_{1}m_{2}=-1$ 이면 수직이다. 수직 조건은 점과 직선·원과 접선 문제 전반에서 계산의 열쇠로 쓰이며, 수학Ⅱ에서 접선에 수직인 직선을 세울 때 그대로 쓴다.

평행: $m_{1}=m_{2}$ · 수직: $m_{1}m_{2}=-1$

예시$y=2x+1$ 에 수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$

점과 직선 사이의 거리

고1 과정

점 $(x_{1},\ y_{1})$ 에서 직선 $ax+by+c=0$ 에 내린 수선의 발까지의 거리를 공식 하나로 구한다. 원과 직선의 위치 관계 판정, 삼각형의 높이 계산 등 이 단원 후반부 계산의 중심 도구이고, 수능 도형 문항에서도 수시로 쓰인다.

$d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

예시점 $(1,\ 2)$ 와 직선 $3x+4y-1=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|3+8-1|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{10}{5}=2$

원의 방정식

고1 과정

중심 $(a,\ b)$ 에서 거리가 $r$ 로 일정한 점들의 자취가 원이므로, 두 점 사이의 거리 공식에서 바로 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 이 나온다. 조건을 만족하는 점의 자취를 방정식으로 적는 해석기하의 대표 예다.

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

예시중심 $(1,\ -2)$, 반지름 $3$ 인 원: $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9$

원의 방정식의 일반형

고1 과정

$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ 꼴로 주어진 식은 $x$, $y$ 에 대해 각각 완전제곱꼴로 고쳐 중심과 반지름을 읽는다. 이때 반지름의 제곱에 해당하는 값이 양수여야 원이 된다. 식의 꼴을 옮겨 다니는 이 정리 기술은 이차곡선을 다루는 모든 단원의 기본기다.

예시$x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0$ → $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9$ — 중심 $(2,\ -3)$, 반지름 $3$

원과 직선의 위치 관계

고1 과정

원의 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 를 비교한다 — $d\lt r$ 서로 다른 두 점에서 만난다, $d=r$ 접한다, $d\gt r$ 만나지 않는다. 연립해서 만든 이차방정식의 판별식으로도 같은 판정을 할 수 있다. 거리 비교가 계산이 더 짧아 표준 풀이로 쓰인다.

예시원 $x^{2}+y^{2}=4$ 와 직선 $y=x+k$ 가 접하면 $d=\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}=2$ → $k=\pm 2\sqrt{2}$

원의 접선의 방정식

고1 과정

기울기 $m$ 이 주어지면 원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 의 접선은 $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ (항상 2개), 원 위의 점 $(x_{1},\ y_{1})$ 이 주어지면 $x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$ 이다. 원 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 문자로 두거나 거리 조건 $d=r$ 로 구한다. '접한다'를 식으로 옮기는 훈련으로 수학Ⅱ 접선 문제의 바탕이 된다.

기울기 $m$: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ · 원 위의 점 $(x_{1},\ y_{1})$: $x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

예시원 $x^{2}+y^{2}=5$ 위의 점 $(1,\ 2)$ 에서의 접선: $x+2y=5$

도형의 이동

점의 평행이동

고1 과정

점 $(x,\ y)$ 를 $x$축 방향으로 $a$, $y$축 방향으로 $b$ 만큼 옮기면 $(x+a,\ y+b)$ 가 된다. 좌표에 이동량을 그대로 더하는 가장 단순한 이동이다.

$(x,\ y) \to (x+a,\ y+b)$

예시점 $(1,\ 2)$ 를 $x$축 방향으로 $3$, $y$축 방향으로 $-1$ 만큼 이동 → $(4,\ 1)$

도형의 평행이동

고1 과정

방정식 $f(x,\ y)=0$ 이 나타내는 도형을 $x$축 방향으로 $a$, $y$축 방향으로 $b$ 만큼 옮기면 $f(x-a,\ y-b)=0$ 이 된다. 점의 이동과 달리 식에서는 부호가 반대로 들어간다는 것이 핵심이다. 수학Ⅰ의 지수·로그·삼각함수 그래프 문제 대부분이 평행이동된 그래프에서 시작한다.

$f(x,\ y)=0 \to f(x-a,\ y-b)=0$

예시$y=x^{2}$ 을 $x$축 방향으로 $2$, $y$축 방향으로 $3$ 만큼 이동 → $y=(x-2)^{2}+3$

x축·y축·원점에 대한 대칭이동

고1 과정

점 $(x,\ y)$ 의 $x$축 대칭은 $(x,\ -y)$, $y$축 대칭은 $(-x,\ y)$, 원점 대칭은 $(-x,\ -y)$ 다. 도형의 방정식에서는 각각 $y$ 대신 $-y$, $x$ 대신 $-x$, 둘 다 바꿔 넣는다. 그래프의 대칭을 읽는 이 규칙은 수학Ⅰ 그래프 문항에서 반복해 쓰인다.

$x$축: $(x,\ -y)$ · $y$축: $(-x,\ y)$ · 원점: $(-x,\ -y)$

예시점 $(2,\ 3)$ 의 $x$축 대칭점은 $(2,\ -3)$, 원점 대칭점은 $(-2,\ -3)$

직선 y=x에 대한 대칭이동

고1 과정

점 $(x,\ y)$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동하면 $(y,\ x)$ — 두 좌표가 자리를 바꾼다. 도형의 방정식에서는 $x$ 와 $y$ 를 서로 바꿔 넣는다. 함수와 그 역함수의 그래프가 이 대칭 관계에 있으므로, 수학Ⅰ의 지수함수·로그함수 대칭 문제의 바탕이다.

$(x,\ y) \to (y,\ x)$, $f(x,\ y)=0 \to f(y,\ x)=0$

예시$y=2x+1$ 을 $y=x$ 에 대하여 대칭이동 → $x=2y+1$ → $y=\dfrac{x-1}{2}$

점과 직선에 대한 대칭이동

고1 과정

점 $\mathrm{P}$ 를 점 $\mathrm{A}$ 에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{P}'$ 은 $\mathrm{A}$ 가 $\overline{\mathrm{PP'}}$ 의 중점이라는 조건으로, 직선 $l$ 에 대한 대칭은 중점이 $l$ 위에 있고 $\overline{\mathrm{PP'}}$ 이 $l$ 과 수직이라는 두 조건으로 구한다. 거리의 최솟값(최단 경로) 문제의 표준 풀이 도구다.

예시점 $(3,\ 1)$ 을 점 $(1,\ 2)$ 에 대하여 대칭이동한 점은 $(-1,\ 3)$ — 중점 $\left(\dfrac{3+(-1)}{2},\ \dfrac{1+3}{2}\right)=(1,\ 2)$ 로 확인