집합과 명제 — 기본 개념 잡기
기본 개념 17개 · 교과서 흐름 순 · 수능 전 과목이 딛는 공통 기반
고1 수학(기초) · 4번째
이 개념이 왜 생겼나 — 수학의 문장을 오해 없이 적기 위해서다. 19세기 말 칸토어는 무한을 연구하다가 '대상들의 모임' 자체를 수학의 재료로 삼는 집합론을 만들었고, 이것이 현대 수학 전체의 공용 언어가 되었다. 명제와 논리는 더 오래되어, 아리스토텔레스의 삼단논법에서 출발해 19세기 불(Boole)이 참·거짓을 계산할 수 있는 대수로 바꾸었다. 집합은 '무엇을 다루는가'를, 명제는 '무엇이 참인가'를 적는 도구다.
지금 어디에 쓰이나 — 검색과 데이터의 뼈대다. 데이터베이스에서 조건 두 개를 AND로 묶는 것은 교집합, OR로 묶는 것은 합집합이고, 검색 결과에서 특정 조건을 제외하는 것은 차집합이다. 프로그래밍의 if문과 논리 연산자(and, or, not)는 명제와 조건의 문법 그대로이며, 회로 설계의 불 대수도 드모르간의 법칙 위에서 움직인다.
수능은 무엇을 묻나 — 고1 수학은 수능에 직접 출제되지 않지만, 확률과 통계의 사건 연산(합사건·곱사건·여사건)이 집합의 합·교·여집합 연산 그대로이고, '모든·어떤'과 필요충분조건의 논리는 수능 전 영역의 참·거짓 판별(ㄱㄴㄷ) 문항을 읽는 언어다. 아래 개념을 순서대로 읽으면 이 언어의 문법을 갖출 수 있다.
집합
집합의 뜻과 표현
고1 과정
기준이 분명하여 어떤 대상이 그 안에 들어가는지 아닌지를 판별할 수 있는 모임을 집합, 그 안에 들어가는 대상 하나하나를 원소라 한다. $a$ 가 집합 $A$ 의 원소이면 $a\in A$ 로 쓰고, 집합은 원소를 직접 나열하는 원소나열법과 조건으로 적는 조건제시법으로 나타낸다. 확률과 통계에서 '사건'을 집합으로 적는 표기가 여기서 시작된다.
예시$A=\{1,\,2,\,3\}=\{x\mid x\text{는 } 3 \text{ 이하의 자연수}\}$, $\ 2\in A$, $\ 5\notin A$
원소의 개수와 공집합
고1 과정
원소가 유한 개인 집합을 유한집합이라 하고 그 원소의 개수를 $n(A)$ 로 나타낸다. 원소가 하나도 없는 집합은 공집합 $\varnothing$ 이다. $n(A)$ 표기는 확률과 통계에서 경우의 수와 확률을 세는 기본 기호로 이어진다.
예시$n(\{1,\,2,\,3\})=3$, $\ n(\varnothing)=0$
부분집합
고1 과정
집합 $A$ 의 모든 원소가 집합 $B$ 에 속할 때 $A$ 를 $B$ 의 부분집합이라 하고 $A\subset B$ 로 쓴다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이고, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. 포함 관계는 뒤에서 충분조건·필요조건을 판정하는 그림이 된다.
예시$\{1,\,2\}\subset\{1,\,2,\,3\}$, $\ \varnothing\subset A$
서로 같은 집합과 진부분집합
고1 과정
$A\subset B$ 이고 $B\subset A$ 이면 두 집합은 서로 같다($A=B$). $A\subset B$ 이지만 $A\neq B$ 인 부분집합을 진부분집합이라 한다. 두 집합이 같음을 보이는 '양쪽 포함' 논법은 필요충분조건 증명의 원형이다.
예시$\{1,\,2\}$ 는 $\{1,\,2,\,3\}$ 의 진부분집합, $\{x\mid x^{2}=1\}=\{-1,\,1\}$
부분집합의 개수
고1 과정
원소가 $n$ 개인 집합의 부분집합은 원소마다 넣을지 말지 2가지씩 선택하므로 $2^{n}$ 개다. 특정 원소 $k$ 개를 반드시 포함하는(또는 제외하는) 부분집합은 $2^{n-k}$ 개다. '각 자리마다 선택'이라는 이 셈법이 경우의 수의 곱의 법칙으로 이어진다.
부분집합의 개수 $2^{n}$, 진부분집합의 개수 $2^{n}-1$
예시$\{1,\,2,\,3\}$ 의 부분집합은 $2^{3}=8$개, 그중 $1$을 포함하는 것은 $2^{2}=4$개
합집합과 교집합
고1 과정
두 집합 $A,\ B$ 에 대하여 적어도 한쪽에 속하는 원소의 집합이 합집합 $A\cup B$, 양쪽에 모두 속하는 원소의 집합이 교집합 $A\cap B$ 다. 공통 원소가 없어 $A\cap B=\varnothing$ 이면 두 집합은 서로소라 한다. 확률과 통계의 합사건·곱사건·배반사건이 이 세 개념의 다른 이름이다.
예시$A=\{1,\,2,\,3\},\ B=\{2,\,3,\,4\}$ 이면 $A\cup B=\{1,\,2,\,3,\,4\}$, $A\cap B=\{2,\,3\}$
여집합과 차집합
고1 과정
전체집합 $U$ 에서 $A$ 에 속하지 않는 원소의 집합이 여집합 $A^{C}$, $A$ 에는 속하고 $B$ 에는 속하지 않는 원소의 집합이 차집합 $A-B$ 다. $A-B=A\cap B^{C}$ 로 바꿔 쓸 수 있다. 확률과 통계의 여사건 $A^{C}$ 와 여사건의 확률이 여기서 나온다.
예시$U=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\},\ A=\{1,\,2\},\ B=\{2,\,3\}$ 이면 $A^{C}=\{3,\,4,\,5\}$, $A-B=\{1\}$
집합의 연산 법칙
고1 과정
합집합과 교집합에는 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 성립한다. 복잡한 집합의 식을 정리하는 규칙이고, 확률과 통계에서 사건의 식을 정리할 때 같은 법칙을 그대로 쓴다.
$A\cup B=B\cup A$, $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$, $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$, $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
드모르간의 법칙
고1 과정
합집합의 여집합은 여집합의 교집합이 되고, 교집합의 여집합은 여집합의 합집합이 된다. 여집합을 취하면 $\cup$ 과 $\cap$ 이 서로 바뀐다는 법칙으로, 확률에서 '적어도 하나'의 여사건을 계산하는 근거가 된다.
$(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$, $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$
예시$U=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\},\ A=\{1,\,2\},\ B=\{2,\,3\}$ 이면 $(A\cup B)^{C}=\{4,\,5\}=A^{C}\cap B^{C}$
유한집합의 원소의 개수
고1 과정
합집합의 원소의 개수는 두 집합의 개수를 더한 뒤 겹쳐 센 교집합의 개수를 한 번 뺀다. '중복을 빼고 세는' 이 원리는 확률의 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 와 같은 구조다.
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
예시$n(A)=5,\ n(B)=4,\ n(A\cap B)=2$ 이면 $n(A\cup B)=5+4-2=7$
명제
명제와 조건
고1 과정
참인지 거짓인지 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 한다. 변수 $x$ 를 포함하여 $x$ 값에 따라 참·거짓이 정해지는 문장은 조건이라 하고, 조건 $p(x)$ 를 참이 되게 하는 $x$ 전체의 집합을 진리집합 $P$ 라 한다. 조건을 집합으로 옮기는 이 대응이 명제 단원 전체의 방법이고, 수능 참·거짓 판별 문항을 읽는 기본기다.
예시'$3$ 은 소수이다'는 참인 명제, '$x\gt 2$'는 조건이고 실수 전체에서 진리집합은 $\{x\mid x\gt 2\}$
명제와 조건의 부정
고1 과정
명제 $p$ 에 대하여 '$p$ 가 아니다'를 부정 $\sim p$ 라 한다. 조건의 부정의 진리집합은 원래 진리집합의 여집합 $P^{C}$ 다. 부등식의 부정에서 $\gt$ 는 $\le$ 로 바뀐다는 것, '이고'의 부정이 '또는'이 된다는 것이 핵심이며, 이는 드모르간의 법칙의 명제판이다.
예시'$x\gt 2$'의 부정은 '$x\le 2$', '$x\gt 0$ 이고 $y\gt 0$'의 부정은 '$x\le 0$ 또는 $y\le 0$'
'모든'과 '어떤'이 있는 명제
고1 과정
'모든 $x$ 에 대하여 $p(x)$'는 진리집합이 전체집합과 같을 때 참이고, '어떤 $x$ 에 대하여 $p(x)$'는 진리집합에 원소가 하나라도 있으면 참이다. 부정하면 '모든'과 '어떤'이 서로 바뀐다. 수능 보기 문항의 '모든 실수에서 성립한다'류 진술을 판정하는 문법이다.
$\sim(\text{모든 } x \text{에 대하여 } p)=(\text{어떤 } x \text{에 대하여 } \sim p)$
예시'어떤 실수 $x$ 에 대하여 $x^{2}\lt 1$'은 참($x=0$ 이 있으므로), '모든 실수 $x$ 에 대하여 $x^{2}\gt 0$'은 거짓($x=0$ 에서 성립하지 않음)
명제의 역과 대우
고1 과정
명제 $p\rightarrow q$ 에서 가정과 결론을 바꾼 $q\rightarrow p$ 를 역, 각각 부정하여 바꾼 $\sim q\rightarrow \sim p$ 를 대우라 한다. 명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 일치하지만, 역은 그렇지 않다. 원래 명제가 참이라고 역도 참이라 믿는 것이 논증 문제의 대표적 오답 경로다.
예시'$x=1$ 이면 $x^{2}=1$ 이다'는 참, 그 역 '$x^{2}=1$ 이면 $x=1$ 이다'는 거짓($x=-1$), 그 대우 '$x^{2}\neq 1$ 이면 $x\neq 1$ 이다'는 참
충분조건과 필요조건
고1 과정
명제 $p\rightarrow q$ 가 참일 때 $p$ 는 $q$ 이기 위한 충분조건, $q$ 는 $p$ 이기 위한 필요조건이라 하고 $p\Rightarrow q$ 로 쓴다. 진리집합으로는 $P\subset Q$ 와 같은 말이다 — 작은 쪽이 충분, 큰 쪽이 필요. $p\Rightarrow q$ 이고 $q\Rightarrow p$ 이면 필요충분조건이다. 수능 전 영역에서 조건 사이의 관계를 묻는 진술의 표준 어휘다.
예시$x=1$ 은 $x^{2}=1$ 이기 위한 충분조건, $x^{2}=1$ 은 $x=1$ 이기 위한 필요조건 ($\{1\}\subset\{-1,\,1\}$)
명제의 증명(대우와 귀류법)
고1 과정
직접 증명하기 어려운 명제는 참·거짓이 일치하는 대우를 증명하거나, 결론을 부정했을 때 모순이 생김을 보이는 귀류법으로 증명한다. $\sqrt{2}$ 가 무리수라는 증명이 귀류법의 대표 예다. 존재하지 않음·성립하지 않음을 보이는 수능 논증형 진술의 배경 논리다.
예시'자연수 $n$ 에 대하여 $n^{2}$ 이 짝수이면 $n$ 은 짝수이다'는 대우 '$n$ 이 홀수이면 $n^{2}$ 은 홀수이다'를 증명하면 된다
절대부등식
고1 과정
문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다. 대표는 산술평균과 기하평균의 관계로, 두 양수의 합의 절반은 곱의 제곱근보다 작지 않고 등호는 두 수가 같을 때 성립한다. 곱이 일정할 때 합의 최솟값을 구하는 도구로, 수능 최대·최소 문제 곳곳에서 계산을 줄여 준다.
$a\gt 0,\ b\gt 0$ 일 때 $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$), $\ a^{2}+b^{2}\ge 2ab$
예시$a\gt 0$ 일 때 $a+\dfrac{1}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2$, 최솟값 $2$ 는 $a=1$ 에서