함수 — 기본 개념 잡기
기본 개념 15개 · 교과서 흐름 순 · 수능 전 과목이 딛는 공통 기반
고1 수학(기초) · 5번째
이 개념이 왜 생겼나 — 함께 변하는 두 양의 관계를 하나의 규칙으로 붙잡기 위해서다. 17세기 라이프니츠가 곡선 위의 양들을 가리키며 '함수'라는 말을 처음 썼고, 오일러가 $f(x)$ 표기를 만들었으며, 1837년 디리클레가 '입력 하나에 출력 하나'라는 지금의 정의를 세웠다. 식이 있든 없든 대응 규칙만 있으면 함수라는 이 관점 덕분에, 수학은 공식이 아니라 관계 자체를 다루는 학문이 되었다.
지금 어디에 쓰이나 — 입력을 넣으면 출력이 나오는 모든 장치가 함수다. 프로그래밍의 함수, 요금제(사용량 → 요금), 환율 계산이 그렇고, 데이터를 암호로 바꾸는 규칙과 그것을 되돌리는 복호화는 함수와 역함수의 관계다. 일정한 작업량을 나눠 맡을 때의 반비례 관계는 유리함수의 그래프로 나타난다.
수능은 무엇을 묻나 — 고1 수학은 수능에 직접 출제되지 않지만, 수학Ⅰ의 지수함수와 로그함수가 서로 역함수라는 사실, 수학Ⅱ의 미분·적분이 모두 함수 위에서 정의된다는 사실이 이 단원을 전제한다. 특히 합성함수와 역함수는 수능 고난도 문항이 함수를 겹치고 뒤집을 때마다 꺼내 쓰는 재료다.
함수
함수의 뜻(정의역·공역·치역)
고1 과정
집합 $X$ 의 각 원소에 집합 $Y$ 의 원소가 오직 하나씩 대응할 때 이 대응을 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수라 하고 $f\colon X\rightarrow Y$ 로 쓴다. $X$ 가 정의역, $Y$ 가 공역, 함숫값 전체의 집합 $\{f(x)\mid x\in X\}$ 가 치역이며 치역은 공역의 부분집합이다. 수학Ⅰ·수학Ⅱ의 모든 함수가 이 정의 위에 서 있다.
예시$f(x)=x^{2}$ ($X=\{-1,\,0,\,1\}$, $Y=\{0,\,1,\,2\}$) 이면 치역은 $\{0,\,1\}$
서로 같은 함수
고1 과정
정의역과 공역이 각각 같고 정의역의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $f(x)=g(x)$ 일 때 두 함수는 서로 같다고 하고 $f=g$ 로 쓴다. 식의 생김새가 달라도 대응이 같으면 같은 함수다 — 함수의 정체는 식이 아니라 대응이라는 관점을 확인하는 개념이다.
예시정의역이 $\{-1,\,1\}$ 이면 $f(x)=x$ 와 $g(x)=x^{3}$ 은 서로 같은 함수다 ($f(-1)=g(-1)=-1$, $f(1)=g(1)=1$)
함수의 그래프
고1 과정
함수 $f$ 의 그래프는 순서쌍 $(x,\,f(x))$ 전체의 집합이다. 정의역의 각 $x$ 에 함숫값이 하나뿐이므로, $y$축에 평행한 직선은 함수의 그래프와 많아야 한 점에서 만난다. 그래프로 함수를 읽는 이 습관이 수능에서 그래프 개형으로 조건을 해석하는 출발점이다.
예시원 $x^{2}+y^{2}=1$ 은 직선 $x=0$ 과 두 점에서 만나므로 함수의 그래프가 아니다
일대일함수와 일대일대응
고1 과정
정의역의 서로 다른 원소가 항상 서로 다른 함숫값을 가지면($x_{1}\neq x_{2}$ 이면 $f(x_{1})\neq f(x_{2})$) 일대일함수, 여기에 치역이 공역 전체와 같기까지 하면 일대일대응이다. 일대일대응은 역함수가 존재하기 위한 조건으로, 수학Ⅰ에서 지수함수·로그함수가 역함수 쌍을 이루는 근거가 된다.
예시실수 전체에서 $f(x)=2x$ 는 일대일대응, $f(x)=x^{2}$ 은 $f(-1)=f(1)$ 이므로 일대일함수가 아니다
항등함수와 상수함수
고1 과정
정의역의 각 원소에 자기 자신을 대응시키는 함수 $I(x)=x$ 를 항등함수, 정의역의 모든 원소에 한 원소만 대응시키는 함수 $f(x)=c$ 를 상수함수라 한다. 항등함수는 합성에서 숫자 1과 같은 역할을 하며, 역함수의 성질 $f^{-1}\circ f=I$ 를 적는 데 쓰인다.
합성함수
고1 과정
함수 $f\colon X\rightarrow Y$ 와 $g\colon Y\rightarrow Z$ 에 대하여 $x$ 에 $g(f(x))$ 를 대응시키는 함수를 합성함수 $g\circ f$ 라 한다. 안쪽 함수 $f$ 부터 계산하며, 기호의 오른쪽이 먼저다. 수학Ⅱ와 미적분에서 겹쳐진 함수를 다루는 모든 문제의 문법이다.
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$
예시$f(x)=x+1,\ g(x)=x^{2}$ 이면 $(g\circ f)(2)=g(3)=9$, $(f\circ g)(2)=f(4)=5$
합성함수의 성질
고1 과정
합성에서는 결합법칙 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ 가 성립하지만 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다 — $g\circ f$ 와 $f\circ g$ 는 대개 다른 함수다. 합성 순서를 바꿀 수 없다는 이 사실이 합성함수 문제 조건 해석의 첫 확인 사항이다.
예시$f(x)=x+1,\ g(x)=x^{2}$ 이면 $(g\circ f)(x)=(x+1)^{2}$, $(f\circ g)(x)=x^{2}+1$ 로 서로 다르다
역함수
고1 과정
일대일대응 $f\colon X\rightarrow Y$ 의 대응을 거꾸로 하여 $Y$ 의 각 원소 $y$ 에 $f(x)=y$ 인 $x$ 를 대응시키는 함수를 역함수 $f^{-1}$ 라 한다. $y=f(x)$ 를 $x$ 에 대하여 푼 뒤 $x$ 와 $y$ 를 바꾸면 역함수의 식을 얻는다. 수학Ⅰ에서 로그함수를 지수함수의 역함수로 정의할 때 그대로 쓰인다.
$y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)$
예시$f(x)=2x+1$ 이면 $y=2x+1$ 에서 $x=\dfrac{y-1}{2}$, 따라서 $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$
역함수의 성질
고1 과정
함수에 역함수를 합성하면 항등함수가 된다 — $(f^{-1}\circ f)(x)=x$, $(f\circ f^{-1})(y)=y$. 합성함수의 역함수는 순서가 뒤집혀 $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ 이다. 역함수가 들어간 방정식을 원래 함수의 식으로 되돌리는 근거로, 수능 역함수 문항에서 계산의 중심이 된다.
$f^{-1}\circ f=I$, $\ (f^{-1})^{-1}=f$, $\ (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
예시$f(x)=2x+1$ 이면 $f(3)=7$ 이고 $f^{-1}(7)=3$
역함수의 그래프
고1 과정
$y=f(x)$ 의 그래프와 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다. 점 $(a,\,b)$ 가 $y=f(x)$ 위에 있으면 $(b,\,a)$ 는 $y=f^{-1}(x)$ 위에 있고, $f$ 가 증가함수이면 두 그래프의 교점은 $y=x$ 위에서 생긴다. 수학Ⅰ에서 지수함수·로그함수 그래프의 대칭 문제가 이 성질로 풀린다.
예시$(2,\,5)$ 가 $y=f(x)$ 위의 점이면 $(5,\,2)$ 는 $y=f^{-1}(x)$ 위의 점
유리함수와 무리함수
유리식과 유리식의 계산
고1 과정
두 다항식 $A,\ B$ ($B\neq 0$) 에 대하여 $\dfrac{A}{B}$ 꼴로 나타내는 식을 유리식이라 한다. 분수의 계산과 같은 방법으로 약분·통분하며, 분모·분자를 인수분해해 공통인수를 지우는 것이 기본이다. 유리함수의 식을 표준형으로 고치는 계산의 재료다.
예시$\dfrac{x^{2}-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$ ($x\neq -1$)
유리함수의 뜻
고1 과정
$y=\dfrac{k}{x}$ 처럼 유리식으로 나타내어지는 함수를 유리함수라 하고, 정의역은 분모를 0으로 만들지 않는 실수 전체다. 다항함수가 아닌 함수 중 처음 만나는 것으로, 정의역에서 빠지는 값이 생긴다는 점이 새로 등장한다. 수학Ⅱ에서 함수의 극한을 처음 관찰하는 대표 소재가 된다.
예시$y=\dfrac{1}{x-2}$ 의 정의역은 $x\neq 2$ 인 실수 전체
유리함수의 그래프와 점근선
고1 과정
$y=\dfrac{k}{x}$ ($k\neq 0$) 의 그래프는 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고 $x$축과 $y$축이 점근선이다. $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 는 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 꼴로 고치면 점근선이 $x=p,\ y=q$ 인 평행이동된 그래프가 된다. 점근선에 한없이 가까워지는 이 움직임이 수학Ⅱ 극한 개념의 첫 그림이다.
$y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 의 점근선은 $x=p$, $y=q$
예시$y=\dfrac{2x+3}{x+1}=\dfrac{2(x+1)+1}{x+1}=2+\dfrac{1}{x+1}$ → 점근선은 $x=-1$, $y=2$
무리식
고1 과정
근호 안에 문자가 포함된 식 중 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라 한다. 무리식의 값이 실수이려면 근호 안의 식의 값이 0 이상이어야 하며, 이 조건이 곧 무리함수의 정의역을 결정한다. 근호 안의 부호부터 확인하는 습관은 수능 전 범위에서 정의역 조건을 챙기는 기본기다.
예시$\sqrt{x-1}$ 이 실수이려면 $x-1\ge 0$, 즉 $x\ge 1$
무리함수의 그래프
고1 과정
$y=\sqrt{x}$ 의 그래프는 원점에서 시작해 오른쪽 위로 완만해지며 뻗는 곡선으로, $y=x^{2}$ ($x\ge 0$) 의 역함수 그래프다. $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ 는 이를 평행이동한 것으로 시작점이 $(p,\,q)$ 가 된다. 시작점과 뻗는 방향만 잡으면 그래프가 정해지며, 직선과의 교점 개수를 따지는 문제가 대표 유형이다.
예시$y=\sqrt{x-2}+1$ 의 정의역은 $x\ge 2$, 치역은 $y\ge 1$, 시작점은 $(2,\,1)$