경우의 수 — 기본 개념 잡기
기본 개념 14개 · 교과서 흐름 순 · 수능 전 과목이 딛는 공통 기반
고1 수학(기초) · 6번째
이 개념이 왜 생겼나 — 도박판의 판돈을 공정하게 나누는 문제에서 시작됐다. 1654년 도박사 드 메레가 던진 질문을 두고 파스칼과 페르마가 편지를 주고받으며 '일어날 수 있는 모든 경우를 빠짐없이, 겹치지 않게 세는' 방법을 정리했고, 이것이 확률론의 출발점이 되었다. 순열과 조합은 그 세기를 일일이 나열하지 않고 공식 하나로 끝내려는 압축 기술이다.
지금 어디에 쓰이나 — 비밀번호가 몇 가지나 가능한지, 로또 1등 확률이 왜 8,145,060분의 1인지($ {}_{45}\mathrm{C}_{6} $), 토너먼트 대진표가 몇 가지 나오는지가 모두 경우의 수 계산이다. 암호의 안전성은 공격자가 시도해야 할 경우의 수가 얼마나 큰가로 측정되고, 유전자 배열·상품 진열·일정 배치처럼 '고르고 나열하는' 모든 일이 순열과 조합의 언어로 적힌다.
수능은 무엇을 묻나 — 고1 수학은 수능에 직접 출제되지 않지만, 확률과 통계는 이 단원을 전제로 원순열·중복순열 같은 '여러 가지 순열'부터 시작한다. 수학적 확률 자체가 경우의 수를 경우의 수로 나눈 값이므로, 합·곱의 법칙과 $ {}_{n}\mathrm{P}_{r} $, $ {}_{n}\mathrm{C}_{r} $ 는 확률과 통계 전 문항의 바닥에 깔린 계산이다.
경우의 수
사건과 경우의 수
고1 과정
같은 조건에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰에서 일어나는 결과를 사건이라 하고, 사건이 일어나는 가짓수를 경우의 수라 한다. 빠짐없이, 겹치지 않게 세는 것이 원칙이며 나뭇가지 모양의 수형도로 나열하면 확인하기 좋다. 확률과 통계에서 사건을 집합으로 다루는 표현이 여기서 출발한다.
예시한 개의 주사위를 던질 때 홀수의 눈이 나오는 사건의 경우의 수는 $1,\,3,\,5$ 의 $3$
합의 법칙
고1 과정
두 사건 $A,\ B$ 가 동시에 일어나지 않을 때, $A$ 또는 $B$ 가 일어나는 경우의 수는 각 경우의 수의 합 $m+n$ 이다. '또는'으로 이어지면 더한다는 규칙으로, 확률과 통계의 덧셈정리로 그대로 이어진다.
예시두 주사위의 눈의 합이 $3$ 인 경우 $(1,2),(2,1)$ 의 $2$가지, 합이 $4$ 인 경우 $(1,3),(2,2),(3,1)$ 의 $3$가지 → 합이 $3$ 또는 $4$ 인 경우의 수는 $2+3=5$
곱의 법칙
고1 과정
사건 $A$ 가 일어나는 각각의 경우에 대하여 사건 $B$ 가 일어날 때, 두 사건이 잇달아 일어나는 경우의 수는 각 경우의 수의 곱 $m\times n$ 이다. '그리고·잇달아'로 이어지면 곱한다는 규칙으로, 순열·조합 공식 전체가 이 법칙에서 나온다.
예시집에서 서점까지 가는 길이 $3$가지, 서점에서 학교까지 가는 길이 $2$가지이면 집에서 서점을 거쳐 학교까지 가는 방법은 $3\times 2=6$가지
약수의 개수 세기
고1 과정
자연수를 소인수분해하면 각 소인수의 지수에 1씩 더한 수들의 곱이 양의 약수의 개수가 된다. 약수 하나가 각 소인수를 몇 개 쓸지의 선택으로 정해지므로 곱의 법칙이 그대로 적용된 결과다. 곱의 법칙을 '선택의 단계'로 읽는 훈련으로, 확률과 통계의 세기 문제에서 반복되는 사고방식이다.
$N=p^{a}q^{b}$ 이면 양의 약수의 개수는 $(a+1)(b+1)$
예시$72=2^{3}\times 3^{2}$ → 양의 약수의 개수는 $(3+1)(2+1)=12$
순열
순열의 뜻과 계승
고1 과정
서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 순열이라 하고 그 수를 $ {}_{n}\mathrm{P}_{r} $ 로 나타낸다. $1$ 부터 $n$ 까지의 자연수를 모두 곱한 것이 계승 $n!$ 이며 $0!=1$ 로 정한다. 확률과 통계의 원순열·중복순열·같은 것이 있는 순열이 모두 이 정의에서 갈라져 나온다.
$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$, $\ 0!=1$
예시서로 다른 $4$ 권의 책을 일렬로 꽂는 방법은 $4!=24$가지
순열의 수
고1 과정
첫 자리에 $n$ 가지, 다음 자리에 $n-1$ 가지, … 로 곱의 법칙을 $r$ 번 적용하면 $ {}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)\cdots(n-r+1) $ 이 된다. 계승으로 적으면 $\dfrac{n!}{(n-r)!}$ 이다. 확률과 통계에서 순서가 있는 배열을 세는 모든 계산의 기본 공식이다.
$ {}_{n}\mathrm{P}_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!} $ ($0\le r\le n$), $\ {}_{n}\mathrm{P}_{n}=n!$
예시$ {}_{5}\mathrm{P}_{2}=5\times 4=20 $
이웃하는 순열과 이웃하지 않는 순열
고1 과정
이웃해야 하는 것들은 한 묶음으로 보고 배열한 뒤 묶음 안의 배열을 곱하고, 이웃하면 안 되는 것들은 나머지를 먼저 배열한 뒤 그 사이사이와 양 끝에 끼워 넣는다. 조건이 붙은 배열을 단계로 쪼개는 이 방법은 확률과 통계의 조건부 세기 문제에서 계속 쓰인다.
예시$A,\,B,\,C,\,D$ 를 일렬로 세울 때 $A,\,B$ 가 이웃하는 경우는 $3!\times 2!=12$가지, 이웃하지 않는 경우는 $4!-12=12$가지
'적어도'가 붙은 경우의 수
고1 과정
'적어도 하나는 ~'인 경우의 수는 전체 경우의 수에서 '하나도 ~가 아닌' 반대 경우의 수를 빼서 구한다. 직접 세면 겹치는 경우가 생겨 복잡해지는 것을 한 번의 뺄셈으로 끝내는 방법으로, 확률과 통계의 여사건의 확률로 그대로 이어진다.
예시남학생 $3$명, 여학생 $2$명을 일렬로 세울 때 적어도 한쪽 끝에 여학생이 서는 경우: 전체 $5!=120$ 에서 양 끝이 모두 남학생인 $ {}_{3}\mathrm{P}_{2}\times 3!=36 $ 을 빼면 $84$가지
자연수 만들기
고1 과정
숫자 카드로 자연수를 만들 때는 맨 앞자리에 $0$ 이 올 수 없다는 제한부터 처리한다 — 첫 자리의 가짓수를 따로 세고 나머지 자리에 순열을 적용한다. 제한이 있는 자리를 먼저 채우는 이 순서는 조건이 붙은 세기 문제 전반의 기본 전략이다.
예시$0,\,1,\,2,\,3$ 에서 서로 다른 세 숫자를 택해 만드는 세 자리 자연수: 첫 자리 $3$가지 $\times$ 나머지 $ {}_{3}\mathrm{P}_{2}=6 $ → $18$개
조합
조합의 뜻
고1 과정
서로 다른 $n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ 개를 택하는 것을 조합이라 하고 그 수를 $ {}_{n}\mathrm{C}_{r} $ 로 나타낸다. 순서를 따지면 순열, 따지지 않으면 조합 — 이 구별이 세기 문제의 첫 갈림길이고, 확률과 통계 전체에서 매 문항 반복되는 판단이다.
예시$A,\,B,\,C$ 에서 $2$ 명을 뽑는 조합은 $\{A,B\},\,\{A,C\},\,\{B,C\}$ 의 $3$가지 — 뽑는 순서가 달라도 같은 경우다
조합의 수
고1 과정
$r$ 개를 택해 나열하는 순열 $ {}_{n}\mathrm{P}_{r} $ 에서는 같은 $r$ 개의 묶음이 $r!$ 번씩 겹쳐 세어지므로, 조합의 수는 $ {}_{n}\mathrm{P}_{r} $ 을 $r!$ 로 나눈 값이다. 확률과 통계에서 중복조합과 이항정리가 이 공식 위에 세워진다.
$ {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!} $ ($0\le r\le n$)
예시$ {}_{5}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{5\times 4}{2\times 1}=10 $
조합의 수의 성질
고1 과정
$r$ 개를 뽑는 것은 남길 $n-r$ 개를 정하는 것과 같으므로 $ {}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r} $ 이다. 또 특정한 한 개를 포함하는 경우와 포함하지 않는 경우로 나누면 $ {}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_{r} $ 이 성립한다. 확률과 통계에서 이항계수의 성질과 파스칼의 삼각형으로 확장되는 성질이다.
$ {}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r} $, $\ {}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_{r} $ ($1\le r\lt n$)
예시$ {}_{10}\mathrm{C}_{8}={}_{10}\mathrm{C}_{2}=45 $, $\ {}_{5}\mathrm{C}_{3}={}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{3}=6+4=10 $
뽑은 뒤 나열하기
고1 과정
뽑는 단계와 나열하는 단계를 나누어, 조합으로 뽑은 뒤 순열로 배열하고 곱의 법칙으로 잇는다. 복잡한 세기 문제를 단계의 곱으로 분해하는 이 틀이 확률과 통계 세기 문항의 표준 풀이 구조다.
예시남학생 $4$명, 여학생 $3$명에서 남학생 $2$명과 여학생 $1$명을 뽑아 일렬로 세우는 경우: $ {}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}\times 3!=6\times 3\times 6=108 $가지
직선과 다각형의 개수
고1 과정
어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 $n$ 개의 점에서, 두 점을 택하면 직선 하나, 세 점을 택하면 삼각형 하나가 정해지므로 직선은 $ {}_{n}\mathrm{C}_{2} $ 개, 삼각형은 $ {}_{n}\mathrm{C}_{3} $ 개다. 도형을 '점의 선택'으로 바꿔 세는 조합의 대표 활용으로, 확률과 통계의 도형 세기 문제로 이어진다.
예시어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 $5$ 개의 점 → 직선 $ {}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 $ 개, 삼각형 $ {}_{5}\mathrm{C}_{3}=10 $ 개