도형의 체계 — 기본 개념 잡기
기본 개념 8개 · 교과 전체를 아우르는 안내도 · 유도 과정 포함
큰 지도 · 4번째 · 도형의 방정식 · 기하
왜 이 지도가 필요한가 — 수에 확장의 역사가 있듯 기하에도 있다. 다만 방향이 다르다. 수는 범위가 넓어졌고, 기하는 도형을 다루는 언어가 세 번 바뀌었다: 점·선·면과 공리로 증명하는 논증기하(중학), 점을 수의 쌍으로 적는 좌표기하(고1 도형의 방정식), 방향을 가진 양을 직접 연산하는 벡터기하(기하 과목). 교과서는 이 셋을 다른 학년에 나눠 두었을 뿐, 한 이야기라는 것을 말해 주지 않는다.
확장의 원리 — 수의 체계와 똑같다. 새 언어의 규칙은 옛 언어의 정리를 보존하도록 정해진다. 두 점 사이의 거리 공식은 피타고라스 정리를 좌표로 옮겨 적은 것이고, 벡터 내적의 정의는 코사인법칙이 그대로 성립하도록 정한 것이다. 그리고 각 언어는 평면에서 공간으로 — 수 두 개에서 세 개로 — 한 번 더 확장된다.
언어는 대체가 아니라 공존이다 — 새 언어가 옛 언어를 폐기하지 않는다. 공간에서 위치 관계를 따질 때는 논증기하(삼수선·정사영)로 돌아가고, 길이 계산은 좌표로, 각과 수직은 내적으로 처리한다. 수능 기하 문제의 첫 수순이 '어느 언어로 읽을 것인가'의 선택인 이유가 여기에 있다.
기하의 세 가지 언어 — 같은 도형, 다른 문법
논증기하 — 점·선·면과 공리
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
점·선·면은 정의하지 않고 받아들이는 무정의 용어이고, 자명한 공리 몇 개에서 나머지 전부를 증명으로 쌓아 올린다 — 유클리드 『원론』의 방법이며 중학교 도형 단원 전체가 이 언어다. 힘은 '증명'이라는 방법 자체를 만들었다는 것이고, 한계는 문제마다 보조선 같은 개별 아이디어가 필요해 기계적 절차가 없다는 것이다.
예시삼각형 내각의 합 180° — 한 꼭짓점을 지나는 평행선 하나(보조선)를 그으면 엇각으로 증명된다. 이 '보조선을 떠올리는 일'에는 공식이 없다
좌표기하 — 점은 수의 쌍이 된다
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
1637년 데카르트가 평면의 점을 수의 쌍 $(x,\ y)$ 로 적으면서 도형이 방정식이 되었다. 기하 문제가 계산 문제로 바뀌어 아이디어 대신 절차가 생겼다 — 고1 도형의 방정식 단원이 이 언어의 입문이고, 수능에서 그래프 위 도형 문제(책의 좌표 확정 첫 수순)가 전부 이 언어를 쓴다.
유도새 언어의 공식은 발명이 아니라 보존이다. 두 점 사이의 거리 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ 는 가로 차·세로 차를 두 변으로 하는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적은 것 — 논증기하의 정리가 좌표 언어의 공식으로 옮겨진 것이다.
예시원의 정의 "한 점에서 거리가 같은 점들" → 방정식 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ — 말이 식이 된다
벡터기하 — 방향을 가진 양의 연산
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
힘·속도처럼 크기와 방향을 함께 갖는 양을 직접 연산의 대상으로 삼는다(19세기 해밀턴·기브스). 좌표 없이도 도형을 계산할 수 있고, 내적 하나로 길이·각·수직이 통일된다 — 기하 과목의 평면벡터 단원이 이 언어다.
유도내적의 정의 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 도 보존의 결과다. 성분으로 계산한 내적 $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$ 와 이 정의가 일치한다는 사실이 바로 코사인법칙이다 — 옛 언어(논증기하)의 정리가 새 언어의 정의를 결정했다.
예시수직 조건이 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ 한 줄 — 논증기하의 '직각 확인', 좌표기하의 '기울기 곱 $-1$'이 식 하나로 통일된다
차원의 확장 — 평면에서 공간으로
공간좌표 — 수 세 개로 여는 3차원
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
수 두 개가 평면이라면 세 개는 공간이다 — 점 $(x,\ y,\ z)$. 확장 원리는 수의 체계 때와 같다: 평면의 공식들이 그대로 보존되도록 $z$ 항을 더한다. 기하 과목의 공간좌표 단원이며, 중점·내분점·거리 공식이 전부 평면 공식에 좌표 하나를 늘린 꼴이다.
유도공간의 두 점 사이 거리 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$ 는 피타고라스를 두 번 쓴 것이다 — 바닥의 대각선 $\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}$ 을 한 변으로, 높이 $\Delta z$ 를 다른 변으로 한 직각삼각형에 다시 피타고라스. 평면 공식이 공간 공식 안에 그대로 들어 있다.
예시$(1,2,2)$ 와 원점의 거리 $=\sqrt{1+4+4}=3$
공간의 논증기하 — 삼수선과 정사영
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
공간에서는 좌표의 식이 급격히 커지므로, 직선과 평면의 위치 관계(평행·수직·이면각)는 논증기하의 언어로 되돌아가 다룬다. 삼수선의 정리와 정사영이 공간판 보조선 노릇을 한다 — 새 언어가 옛 언어를 폐기하지 않는다는 증거이며, 기하 과목 공간도형 단원이 여기다.
예시이면각의 크기 — 식을 세우는 대신, 교선에 수직인 두 반직선을 그어(논증) 그 사잇각을 잰다
구 — 같은 정의, 한 차원 위
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
원의 정의 "한 점에서 거리가 같은 점들"을 공간에 그대로 옮기면 구가 된다. 정의는 한 글자도 바뀌지 않고, 좌표 언어의 방정식에 $z$ 항 하나가 늘어날 뿐이다 — 차원 확장이 얼마나 보존적인지 보여주는 가장 깨끗한 예다.
원 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ → 구 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$
수의 체계와 만나는 곳 · 남는 선택
좌표의 근거는 실수다
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
좌표가 성립하는 바탕은 직선 위의 모든 점이 실수 하나와 빠짐없이 대응한다는 사실이다. 수의 체계 지도에서 유리수의 빈틈($\sqrt{2}$)을 메워 실수를 만든 것이, 바로 이 대응을 가능하게 했다 — 수의 지도와 도형의 지도는 여기서 하나로 만난다.
예시단위원 $x^{2}+y^{2}=1$ 과 직선 $y=x$ 의 교점은 $\left(\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — 좌표에 유리수만 있다면 이 교점은 '존재하지 않는 점'이 된다
좌표축 선택은 자유다 — 좌표 잡기가 첫 수순이 되는 이유
큰 지도 · 도형의 언어를 고른다
좌표는 도형에 원래 붙어 있는 것이 아니라 우리가 씌우는 것이다. 어디에 씌우느냐에 따라 같은 문제의 계산량이 몇 배씩 달라진다 — 대칭축을 좌표축에, 고정점을 원점에 맞추는 것이 원칙이다. 도형 문제에서 '좌표를 어떻게 잡을 것인가'가 풀이의 첫 수순이 되는 이유가 이것이고, 수능 기하·지수로그 그래프 문항의 출발 자세다.
예시정삼각형 문제 — 한 변을 $x$축에, 그 중점을 원점에 놓으면 꼭짓점이 $(\pm a,\ 0),\ (0,\ \sqrt{3}a)$ 로 정리되어 대칭이 계산을 대신한다