함수의 체계 — 기본 개념 잡기
기본 개념 13개 · 교과 전체를 아우르는 안내도 · 유도 과정 포함
큰 지도 · 3번째 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 · 수열
왜 이 지도가 필요한가 — 수는 멈춰 있는 양이고, 함수는 움직임을 적는 언어다. 갈릴레이가 낙하 시간과 거리의 관계를 적으면서 시작됐고, 오일러가 $f(x)$ 라는 표기를 만들며 언어가 됐다. 고등학교 수학에서 가장 큰 영토 — 수학Ⅰ의 지수·로그·삼각함수, 수학Ⅱ 전체, 미적분 전체, 그리고 수열까지 — 가 전부 함수의 나라인데, 교과서는 이를 네 과목에 나눠 두어 전체 지도를 보여주지 않는다.
두 방향의 확장 — 함수의 나라는 두 축으로 넓어진다. 하나는 대상의 확장: 아는 함수의 종류가 다항함수에서 유리·무리, 지수·로그, 삼각함수로 늘어난다(수학Ⅰ까지의 일). 다른 하나는 도구의 확장: 함수를 다루는 연산이 사칙과 합성에서 극한으로, 미분으로, 적분으로 깊어진다(수학Ⅱ·미적분의 일). 수능의 모든 함수 문제는 이 두 축 위의 한 점이다 — 어떤 함수를(대상), 무엇으로 다루는가(도구).
수능은 무엇을 묻나 — 결국 한 가지다: 주어진 함수의 그래프를 그릴 수 있는가, 그리고 그 그래프에서 조건을 읽어낼 수 있는가. 대상 축은 그래프의 모양을, 도구 축은 그래프를 그리는 방법(증가·감소, 극값, 넓이)을 준다. 아래 지도를 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
함수란 — 관계를 적는 언어
함수 — 한 양이 다른 양을 정한다
큰 지도 · 변화를 적는다
한 집합의 각 원소에 다른 집합의 원소가 하나씩 대응하는 관계다. $x$ 를 넣으면 $y$ 가 정해진다 — 이 '정해진다'가 핵심이고, 넣을 수 있는 것의 모임이 정의역, 나오는 것의 모임이 치역이다. 고1 함수 단원의 이 정의 위에 수Ⅰ·수Ⅱ·미적분 전체가 선다.
예시낙하 시간 $t$ 초 → 낙하 거리 $4.9t^{2}$ m — 시간이 거리를 정한다
그래프 — 함수가 좌표를 만난다
큰 지도 · 변화를 적는다
함수의 순서쌍 $(x,\ f(x))$ 를 좌표평면에 찍은 것이 그래프다 — 함수의 지도와 도형의 지도(도형의 체계)가 만나는 지점이며, 함수의 성질(증가·감소·대칭·주기)이 눈에 보이는 모양이 된다. 수능 함수 문제의 절반은 식을 그래프로, 나머지 절반은 그래프를 식으로 오가는 일이다.
예시$f(x)=x^{2}$ 의 '짝수 차수' 성질 → 그래프의 $y$축 대칭이라는 모양
수열 — 정의역이 자연수인 함수
큰 지도 · 변화를 적는다
수열 $a_{n}$ 은 자연수 $n$ 에 수를 대응시키는 함수다 — 연속된 곡선 대신 점점이 찍히는 함수. 이렇게 보면 수열의 극한(미적분)은 함수의 극한의 형제이고, 등차·등비수열은 일차함수·지수함수의 자연수판임이 보인다.
예시등차수열 $a_{n}=2n+1$ ↔ 일차함수 $y=2x+1$ 의 자연수 지점들
대상의 확장 — 아는 함수가 늘어난다
다항함수 — 덧셈과 곱셈으로 만든 함수
큰 지도 · 변화를 적는다
$x$ 에 덧셈·뺄셈·곱셈만을 유한 번 적용해 만든 함수 — $y=x^{3}-3x$ 같은 꼴. 사칙 중 가장 온순한 연산만 썼기에 어디서나 정의되고 어디서나 매끄럽다. 수학Ⅱ가 미분·적분을 다항함수에서 먼저 연습시키는 이유다.
예시$y=x^{3}-3x$ — 모든 실수에서 정의되고, 끊김도 꺾임도 없다
유리함수와 무리함수 — 나눗셈과 근호가 만든 함수
큰 지도 · 변화를 적는다
나눗셈을 허용하면 유리함수($y=\dfrac{1}{x}$), 근호를 허용하면 무리함수($y=\sqrt{x}$)가 된다. 새 연산이 들어오는 순간 제한사항도 함께 들어온다 — 분모는 0이 될 수 없고 근호 안은 음수가 될 수 없다(수의 체계가 남긴 조항들). 정의역이 처음으로 '조건'이 되는 지점이다.
예시$y=\dfrac{1}{x-2}$ 는 $x=2$ 에서 정의되지 않는다 — 그 자리가 점근선이 된다
지수함수와 로그함수 — 곱의 세계
큰 지도 · 변화를 적는다
일정한 비율로 변하는 현상(복리·증식·감쇠)의 언어다. $x$ 가 1 늘 때마다 일정량이 더해지는 게 다항의 세계라면, 일정 배율이 곱해지는 것이 지수의 세계다. 수의 체계에서 확장한 실수 지수가 이 함수의 정의역을 만들어 준다.
예시매년 2배 — $y=2^{x}$. 10년 뒤는 $+20$ 이 아니라 $\times 1024$
삼각함수 — 도는 세계
큰 지도 · 변화를 적는다
직선 위를 달리는 함수들과 달리, 원 위를 도는 점의 그림자를 적은 함수다. 돌기 때문에 같은 값이 반복된다 — 주기성. 파동·진동·계절처럼 되풀이되는 모든 현상의 언어이고, 그래프 문제에서는 주기와 대칭이 곧 풀이 도구가 된다.
예시$y=\sin x$ 는 $2\pi$ 마다 같은 모양 — 오늘의 파형이 내일의 파형이다
도구의 확장 — 함수를 다루는 연산이 깊어진다
합성과 역함수 — 함수를 잇고 뒤집는다
큰 지도 · 변화를 적는다
함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣으면 합성 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, 대응을 거꾸로 읽으면 역함수 $f^{-1}$ 이다. 함수 자체를 재료로 새 함수를 만드는 첫 연산들 — 지수와 로그가 서로 역함수라는 사실이 이 도구의 대표 작품이다.
예시$y=2^{x}$ 를 뒤집으면 $y=\log_{2}x$ — 그래프는 $y=x$ 대칭
극한 — 다가감을 재는 도구
큰 지도 · 변화를 적는다
값이 아니라 다가가는 목표를 재는 새 연산이다. $x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 어디로 가는가 — 도착하지 않아도 목표는 잴 수 있다. 이 도구가 없으면 '순간'을 잴 수 없어 미분이 태어나지 못한다. 목표 지점이 반드시 존재한다는 보증은 실수의 완비성(수의 체계)이 선다.
유도$x=1$ 에서 값이 없는 $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ 도, $x\to 1$ 의 목표는 잴 수 있다: $x\neq 1$ 에서 $f(x)=x+1$ 이므로 목표는 $2$ — 값이 없는 곳의 목표를 재는 것, 이것이 극한이 하는 일의 전부다.
예시$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=2$
미분 — 순간의 변화율
큰 지도 · 변화를 적는다
구간의 평균변화율에 극한을 적용해 한 순간의 변화율을 얻는 연산이다. 그래프에서는 접선의 기울기가 되고, 물리에서는 순간속도가 된다. 함수 전체의 증가·감소·극값이 이 한 수치의 부호로 읽히므로, 그래프 그리기의 주력 도구다.
유도두 점을 잇는 직선의 기울기 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 에서 두 점 사이를 좁혀 $h\to 0$ — 두 점이 한 점으로 포개지는 순간의 기울기를 극한이 잡아낸다. '순간의 변화율'이라는 모순 같은 말이 극한 덕분에 정의가 된다.
예시$f(x)=x^{2}$ 의 $x=3$ 에서의 순간 변화율 $f'(3)=6$
적분 — 변화의 누적
큰 지도 · 변화를 적는다
잘게 쪼개 곱하고 더하는 연산이다 — 구간을 잘게 나눠 각 조각의 (함숫값)×(폭)을 전부 더한 극한이 정적분이고, 그래프 아래 넓이·움직인 거리·쌓인 양이 전부 이것이다. 미분이 순간을 재면, 적분은 순간들을 다시 모은다.
예시속도 그래프 아래 넓이 = 움직인 거리 — 순간 속도들의 누적
미적분의 기본정리 — 두 도구가 하나로
큰 지도 · 변화를 적는다
넓이를 재는 적분과 기울기를 재는 미분이 서로 역연산이라는 발견이다(뉴턴·라이프니츠). 이 정리 덕분에 넓이를 조각내 더하는 대신 부정적분 $F$ 하나로 $F(b)-F(a)$ 를 계산한다 — 함수의 나라에서 가장 큰 통일이며, 수학Ⅱ 적분 단원의 심장이다.
유도넓이를 $x$ 까지 잰 함수 $S(x)$ 를 생각하면, $x$ 가 조금 늘 때 넓이의 증가분은 (높이 $f(x)$)×(폭)과 거의 같다 — 그래서 $S'(x)=f(x)$. 넓이 함수의 순간 변화율이 원래 함수라는 이 한 줄이 미분과 적분을 잇는다.
예시$\int_{0}^{2}2x\,dx=\left[x^{2}\right]_{0}^{2}=4$ — 조각내 더하는 대신 역연산 한 번
남는 조건들 — 함수판 '단, ~'
연속과 미분가능 — 도구를 쓸 자격 조건
큰 지도 · 변화를 적는다
도구에는 자격 조건이 붙는다. 극한이 존재해야 연속을 말할 수 있고, 연속이어야 미분을 물을 수 있으며, 연속이면 적분은 가능하다 — 극한 존재 → 연속 → 미분가능의 사다리. 수능의 '단, $f(x)$ 는 미분가능' 류 조건과 절댓값 꺾인 점, 구간별 함수의 이음새 문제가 전부 이 사다리 위에 있다.
예시$y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 꺾여 있어 미분가능하지 않다 — 사다리의 두 칸은 다른 칸이다