우연의 체계 — 기본 개념 잡기
기본 개념 9개 · 교과 전체를 아우르는 안내도 · 유도 과정 포함
큰 지도 · 5번째 · 확률과 통계
왜 이 지도가 필요한가 — 수학은 원래 확실한 것만 다뤘다. 증명되면 참, 아니면 거짓. 그런 수학이 우연을 다루게 된 것은 1654년, 중단된 도박의 판돈을 어떻게 나눌지를 두고 파스칼과 페르마가 편지를 주고받으면서다. '아직 일어나지 않은 일의 가능성'에 수를 매기는 순간 확률론이 태어났고, 확률과 통계 과목 전체가 그 후손이다.
확장의 사슬 — 우연을 다루는 언어도 단계로 자란다. 먼저 센다(경우의 수 — 일어날 수 있는 모든 것의 목록). 다음 잰다(확률 — 가능성을 0과 1 사이의 수로). 다음 함수를 입힌다(확률변수 — 우연한 결과에 수를 대응시켜, 함수의 도구를 우연에 쓴다). 그러면 우연이 모양을 드러내고(정규분포), 마지막으로 거꾸로 읽는다(추정 — 부분을 보고 전체를 말한다).
수능은 무엇을 묻나 — 앞 단계는 세는 기술(순열·조합·확률 계산)을, 뒤 단계는 분포 읽기(정규분포의 표준화, 표본평균)를 묻는다. 그리고 마지막 단계에서 수학의 방향 자체가 바뀐다는 것을 알아 두자 — 연역(참에서 참으로)에서 귀납(부분에서 전체로)으로. 아래 지도를 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
우연을 센다 — 모든 가능성의 목록
경우의 수 — 빠짐없이, 겹침없이
큰 지도 · 불확실성을 잰다
우연을 다루는 첫걸음은 일어날 수 있는 모든 것을 세는 일이다. 원칙은 두 가지뿐 — 빠뜨리지 않고, 두 번 세지 않는다. 합의 법칙과 곱의 법칙은 이 원칙을 지키며 큰 목록을 작은 목록들로 쪼개는 도구다.
예시주사위 두 개 — 각 6가지가 독립적으로 조합되므로 $6\times 6=36$가지
순열과 조합 — 세는 기술의 두 갈래
큰 지도 · 불확실성을 잰다
목록이 커지면 하나씩 셀 수 없다. 순서를 따지며 뽑으면 순열, 순서를 무시하고 뽑으면 조합 — 세는 기술은 이 한 가지 질문(순서가 의미 있는가)으로 갈라지고, 원순열·중복조합 등 모든 변형이 이 두 갈래의 자손이다.
$_{n}\mathrm{P}_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$, $\quad {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$
예시5명 중 2명 — 회장·부회장이면 $_{5}\mathrm{P}_{2}=20$, 대표 2명이면 $_{5}\mathrm{C}_{2}=10$
우연을 잰다 — 가능성이 수가 된다
확률 — 가능성을 0과 1 사이로
큰 지도 · 불확실성을 잰다
일어날 가능성을 (해당 경우의 수)÷(전체 경우의 수)로 잰 것이 수학적 확률이다. 불가능이 0, 확실이 1 — 모든 가능성이 이 사이의 한 점이 된다.
유도확률이 왜 0과 1 사이인지는 정의에서 강제된다: 해당 경우는 전체 경우의 일부이므로 분자가 분모를 넘을 수 없고($\le 1$), 경우의 수는 음수일 수 없다($\ge 0$). 확률의 기본 성질은 외울 규칙이 아니라 '세기'라는 출신이 남긴 흔적이다.
예시주사위에서 짝수 — $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
조건부확률 — 정보가 확률을 바꾼다
큰 지도 · 불확실성을 잰다
확률은 고정된 값이 아니라 아는 것에 따라 달라진다. 사건 $A$ 가 일어났다는 정보가 주어지면 전체가 $A$ 로 줄어들고, 그 안에서 다시 잰 것이 조건부확률 $\mathrm{P}(B\mid A)$ 다. '정보가 세계를 좁힌다'는 이 관점이 확률 단원 후반부 전체의 열쇠다.
$\mathrm{P}(B\mid A)=\dfrac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
예시두 아이 중 적어도 하나가 딸일 때 둘 다 딸일 확률 — 전체가 4가지에서 3가지로 줄어 $\dfrac{1}{3}$
독립 — 곱해도 되는 조건
큰 지도 · 불확실성을 잰다
한 사건이 일어나든 말든 다른 사건의 확률이 변하지 않을 때 두 사건은 독립이고, 그때만 $\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$ 로 곱할 수 있다. 주의할 것은 독립이 '가정'이라는 점이다 — 문제의 조건으로 주어지거나 검증해야 하는 것이지, 마음대로 곱해도 되는 권리가 아니다.
예시주사위 두 번 — 첫 결과가 둘째 확률을 바꾸지 않으므로 독립, $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}$ 이 정당하다
우연에 함수를 입힌다 — 분포가 모양을 드러낸다
확률변수 — 우연의 함수화
큰 지도 · 불확실성을 잰다
우연한 결과 하나하나에 수를 대응시키면 확률변수가 된다 — 우연에 함수를 입히는 것이다(함수의 체계와 만나는 지점). 이 순간부터 평균·분산 같은 함수의 도구로 우연을 요약할 수 있고, 값과 확률의 대응표가 확률분포다.
예시동전 3번의 앞면 수 $X$ — 결과(HHT 등)라는 우연이 $0,1,2,3$ 이라는 수가 된다
정규분포 — 우연이 수렴하는 모양
큰 지도 · 불확실성을 잰다
독립적인 우연을 많이 쌓으면 분포가 종 모양 곡선 하나로 수렴한다 — 동전 던지기의 이항분포가 횟수를 늘릴수록 정규분포에 다가가는 것이 그 예다. 키·측정 오차·시험 점수가 모두 이 모양인 이유이며, 표준화 $z=\dfrac{X-m}{\sigma}$ 하나로 세상의 모든 정규분포를 표 하나로 읽는다.
유도동전 10번의 앞면 수 분포를 그리면 이미 가운데가 볼록한 산이다. 100번, 1000번으로 늘리면 산은 매끈한 종 모양에 한없이 가까워진다 — 개별 우연은 예측 불가능해도, 우연의 합은 모양을 갖는다. 이것이 통계가 성립하는 근거다.
예시$\mathrm{N}(70,\ 10^{2})$ 에서 80점 이상 — $z=1$ 이상이므로 약 $15.87\%$
거꾸로 읽는다 — 부분에서 전체로
표본과 추정 — 연역에서 귀납으로
큰 지도 · 불확실성을 잰다
여기서 수학의 방향이 뒤집힌다. 지금까지는 전체(모집단)를 알고 부분의 확률을 구했다면, 통계적 추정은 부분(표본)을 보고 전체를 말한다. 그 다리가 표본평균의 분포다 — 표본평균 자체가 확률변수이고, 그 분포가 정규분포에 가까워진다는 사실이 부분에서 전체로 건너가는 유일한 발판이다.
예시국민 전체를 조사하지 않고 1,000명 표본으로 지지율을 말할 수 있는 근거가 이 다리다
신뢰구간 — '95%'의 진짜 의미
큰 지도 · 불확실성을 잰다
신뢰도 95%는 '모평균이 이 구간에 있을 확률이 95%'가 아니라, 같은 방법으로 100번 조사하면 약 95번은 구간이 모평균을 품는다는 방법의 신뢰도다. 모평균은 우연이 아니라 정해진 값이기 때문이다 — 우연의 체계가 마지막에 남기는 가장 미묘한 제한사항이고, 수능 통계 문항의 단골 함정이다.
신뢰도 95% 구간: $\bar{x}-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le \bar{x}+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$