방정식의 체계 — 기본 개념 잡기
기본 개념 11개 · 교과 전체를 아우르는 안내도 · 유도 과정 포함
큰 지도 · 2번째 · 방정식과 부등식 · 전 단원의 방정식 풀이
왜 이 지도가 필요한가 — 수학의 절반은 모르는 수를 찾는 일이다. 모르는 수에 문자라는 이름을 붙이고, 그것이 만족하는 조건을 등식으로 적고, 등식을 변형해 이름 뒤에 숨은 수를 드러낸다 — 이 기술이 대수(代數)이고, '대수(algebra)'라는 말 자체가 9세기 알콰리즈미의 책에 나오는 이항 조작 '알자브르(al-jabr)'에서 왔다. 고1 방정식과 부등식 단원이 본진이지만, 지수방정식·삼각방정식·미분의 활용까지 수능 전 범위에서 이 기술이 반복된다.
확장의 사슬 — 차수의 사다리를 오르는 이야기다. 일차방정식은 이항만으로 풀리고, 이차방정식은 근의 공식이 있으며(이때 수의 체계가 복소수를 내놓는다), 삼차·사차에도 공식이 있다(16세기 이탈리아). 그런데 오차 이상은 근의 공식이 존재하지 않음이 증명되었다(아벨, 1824). 공식의 사다리가 끊긴 것이다 — 그래서 수학은 방향을 바꾼다: 공식으로 풀지 말고, 인수분해로 쪼개거나 그래프로 읽어라. 고교 과정이 인수정리와 '실근 = 그래프와 $x$축의 교점'을 그토록 강조하는 이유가 이 역사적 전환이다.
수능은 무엇을 묻나 — 공식을 쓰는 문제는 이차까지고, 그 뒤는 전부 두 기술이다: 인수분해(인수정리·조립제법)로 차수를 낮추거나, 함수의 그래프(함수의 체계)로 실근의 개수·위치를 읽거나. 방정식 지도의 끝이 함수 지도로 이어지는 셈이다. 아래를 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
미지수 — 모르는 수에 이름을 붙인다
수에서 문자로 — 대수의 탄생
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
아직 모르는 수를 $x$ 라는 문자로 부르는 순간, 산수가 대수가 된다. 문자를 수처럼 계산할 수 있는 근거는 수의 체계에서 확인한 기본 법칙(교환·결합·분배)이 어떤 수에든 성립한다는 사실이다 — 값을 몰라도 법칙은 아니까 계산할 수 있다. 다항식 단원 전체가 이 문자 계산의 연습이다.
예시'어떤 수에 3을 더했더니 두 배가 됐다' → $x+3=2x$ — 말이 식이 되면 풀 수 있는 대상이 된다
등식의 성질 — 이항이라는 무기
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
등식의 양변에 같은 수를 더하고 빼고 곱하고 나눠도(0으로 나누기만 빼고) 등식은 유지된다. 이 성질로 항을 반대편으로 옮기는 것이 이항 — 방정식 풀이의 기본 무기이며, 대수(algebra)라는 이름의 어원이 된 조작이다.
유도$x+3=2x$ 의 양변에서 $x$ 를 빼면 $3=x$. '이항하면 부호가 바뀐다'는 규칙은 외울 것이 아니라, 양변에 같은 것을 더하고 뺀 결과일 뿐이다.
예시$2x-5=1$ → 양변에 5를 더해 $2x=6$ → 양변을 2로 나눠 $x=3$
항등식과 방정식 — 늘 참인 식, 조건이 되는 식
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ 처럼 모든 $x$ 에서 참인 등식이 항등식, 특정한 $x$ 에서만 참인 등식이 방정식이다. 항등식은 계산 규칙(곱셈 공식)이 되고, 방정식은 미지수를 잡는 그물이 된다 — 미정계수법은 '항등식이라면 계수까지 같아야 한다'는 성질로 미지수를 찾는, 두 세계에 걸친 기술이다.
예시$x^{2}+ax+b=(x+1)(x+2)$ 가 항등식이면 $a=3,\ b=2$ — 계수 비교
차수의 사다리 — 공식이 자라고, 끊긴다
일차방정식 — 이항만으로 풀린다
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
$ax+b=0\ (a\neq 0)$ 은 이항과 나눗셈만으로 언제나 풀린다: $x=-\dfrac{b}{a}$. 해가 유리수 범위를 벗어나지 않는 유일한 층이기도 하다 — 수의 체계에서 유리수가 사칙연산에 닫혀 있다는 사실의 방정식판이다.
예시$3x+6=0$ → $x=-2$
이차방정식 — 근의 공식과 판별식
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
$ax^{2}+bx+c=0$ 에는 완전제곱식 변형으로 유도되는 근의 공식이 있고, 공식 속 $\sqrt{\ }$ 안의 값 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호가 근의 개수를 판정한다(판별식). $D\lt 0$ 일 때 실수 범위에서 해가 없다는 사실이 수의 체계를 복소수까지 밀어붙인 바로 그 지점이다.
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
유도$ax^{2}+bx+c=0$ 의 양변을 $a$ 로 나누고 완전제곱식으로 몰면 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ — 제곱근을 풀면 근의 공식이 나온다. 공식은 암기 대상이기 전에, 이항과 완전제곱이라는 두 기술의 합작품이다.
삼차·사차방정식 — 공식의 끝
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
삼차·사차방정식에도 근의 공식이 존재한다 — 16세기 이탈리아에서 카르다노·페라리가 찾아냈다. 그러나 너무 복잡해 고교에서는 쓰지 않고, 인수정리로 일차·이차의 곱으로 쪼개는 길을 택한다. 공식의 사다리는 여기까지 자란다.
예시$x^{3}-6x^{2}+11x-6=0$ — 공식 대신 $x=1$ 대입 확인 후 $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ 으로 쪼갠다
오차의 벽 — 공식이 존재하지 않는다
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
오차 이상의 방정식에는 사칙연산과 거듭제곱근만으로 된 근의 공식이 존재할 수 없음이 증명되었다(아벨 1824, 이후 갈루아가 이유를 해명). '아직 못 찾은 것'이 아니라 '없음이 증명된 것' — 수학은 불가능도 증명한다. 이 벽 때문에 고교 수학의 무게중심이 공식에서 인수분해와 그래프로 옮겨 간다.
예시$x^{5}-x+1=0$ 의 해는 존재하지만(그래프는 $x$축과 만난다), 그 해를 적을 공식은 없다
공식 너머의 기술 — 고교 수학의 주력
인수분해 — 곱이 0이면 하나는 0이다
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
실수의 성질 '$AB=0$ 이면 $A=0$ 또는 $B=0$' 덕분에, 방정식을 곱의 꼴로 쪼개면 낮은 차수의 방정식 여러 개로 갈라진다. 인수정리($f(a)=0 \iff (x-a)$ 가 인수)와 조립제법이 쪼개는 도구이고, 고차방정식을 다루는 고교의 제1 기술이다.
예시$x^{2}-5x+6=0$ → $(x-2)(x-3)=0$ → $x=2$ 또는 $x=3$
그래프로 읽기 — 실근은 교점이다
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
방정식 $f(x)=0$ 의 실근은 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표다. 이 한 문장이 방정식 지도와 함수 지도를 잇는다 — 풀 수 없는 방정식도 그래프로는 실근의 개수와 위치를 읽을 수 있고, 수학Ⅱ 미분의 활용(방정식의 실근)과 수능 고난도 문항이 전부 이 관점 위에 있다.
예시$x^{3}-3x-k=0$ 의 실근 개수 — 공식 없이, $y=x^{3}-3x$ 의 그래프와 가로선 $y=k$ 의 교점 개수로 읽는다
연립 — 조건 여러 개의 공통해
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
미지수가 여럿이면 조건(식)도 여럿 필요하다. 연립방정식의 해는 모든 조건을 동시에 만족하는 수의 조합 — 그래프로는 여러 곡선의 교점이다. 소거와 대입은 조건 여러 개를 하나로 줄이는 기술이다.
예시$x+y=5,\ x-y=1$ → 두 직선의 교점 $(3,\ 2)$
부등식 — 범위를 찾는 형제
큰 지도 · 모르는 수를 찾는다
등호를 부등호로 바꾸면 답이 '수 하나'에서 '범위'로 바뀐다. 풀이 기술은 방정식과 같지만 한 가지가 다르다 — 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 뒤집힌다. 대소 관계는 실수까지만 있으므로(수의 체계), 부등식은 언제나 실수 위의 이야기다.
예시$-2x\lt 6$ → 양변을 $-2$ 로 나누며 방향 반전 → $x\gt -3$