공간도형과 공간좌표 — 기본 개념 잡기
기본 개념 33개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 평면의 점을 수 두 개로 적은 데카르트의 좌표를 세 개로 늘리면 공간의 점이 된다. 유클리드의 『원론』이 다루던 입체도형이 좌표를 얻는 순간, 눈으로 상상하던 공간의 길이·각·위치가 계산으로 확인할 수 있는 대상이 되었다. 공간도형은 직선과 평면이 공간에서 맺는 관계의 규칙을, 공간좌표는 그 관계를 수로 다루는 방법을 정리한 것이다.
지금 어디에 쓰이나 — 게임과 영화의 3차원 그래픽스는 공간의 장면을 화면이라는 평면에 옮기는 작업이고, 그 핵심이 정사영 계산이다. 드론은 자기 위치를 $(x,\,y,\,z)$ 세 수로 파악해 비행하고, GPS는 위성 여러 대까지의 거리로 구를 그려 그 교점에서 수신기의 위치를 알아낸다. 공간을 수로 다루는 모든 기술의 바닥에 이 단원이 있다.
수능은 무엇을 묻나 — 삼수선의 정리·이면각·정사영으로 공간의 각과 길이를 평면 계산으로 끌어내리는 능력, 그리고 공간좌표에서의 거리·내분점과 구의 방정식이다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
직선과 평면의 위치 관계
평면의 결정 조건
최근 5개년 직접 출제 없음
한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점, 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점, 만나는 두 직선, 평행한 두 직선 — 이 네 가지는 각각 평면을 단 하나로 결정한다. 점 두 개나 직선 하나만으로는 평면이 정해지지 않는다.
두 직선의 위치 관계
최근 5개년 직접 출제 없음
공간에서 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 꼬인 위치에 있다. 꼬인 위치란 만나지도 평행하지도 않아 한 평면 위에 놓을 수 없는 관계로, 공간에서만 생긴다. 꼬인 위치의 두 직선이 이루는 각은 한 직선을 평행이동해 만나게 한 뒤 잰다.
예시정육면체 $ABCD$-$EFGH$ 에서 모서리 $AB$ 와 모서리 $CG$ 는 꼬인 위치
직선과 평면의 위치 관계
최근 5개년 직접 출제 없음
공간에서 직선과 평면은 직선이 평면에 포함되거나, 한 점에서 만나거나, 평행하다. 직선이 평면과 만나지 않으면 평행하다고 한다.
두 평면의 위치 관계
최근 5개년 직접 출제 없음
공간에서 두 평면은 만나거나 평행하다. 두 평면이 만나면 그 교집합은 한 직선이며, 이를 교선이라 한다. 공간도형 문제에서 각을 잴 때 기준이 되는 것이 이 교선이다.
직선과 평면의 수직
기출 1회
직선 $l$ 이 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선과 수직일 때 $l$ 과 $\alpha$ 는 수직이라 하고 $l\perp\alpha$ 로 나타낸다. 판정은 전부 확인할 필요 없이, 평면 위의 만나는 두 직선과 수직임을 보이면 충분하다.
예시$l\perp m$, $l\perp n$ 이고 $m,\ n$ 이 $\alpha$ 위에서 만나는 두 직선이면 $l\perp\alpha$
공간도형의 단면
기출 1회
입체도형을 한 평면으로 자를 때 생기는 도형이 단면이다. 공간 문제는 필요한 점·선을 포함하는 단면을 잡아 평면도형 문제로 바꾸는 것이 기본 전략이다.
예시구를 평면으로 자른 단면은 항상 원이고, 중심을 지나면 반지름이 최대인 원이 된다
삼수선의 정리와 이면각
삼수선의 정리
기출 8회
평면 밖의 점 $P$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $O$, $\alpha$ 위의 직선 $l$ 에 관련된 수선의 발을 $H$ 라 할 때, 세 수직 관계 중 두 개가 성립하면 나머지 하나가 성립한다는 정리. 공간의 수직을 평면의 수직으로 끌어내리는, 이 단원 계산의 중심 도구다.
① $\overline{PO}\perp\alpha$, $\overline{OH}\perp l$ 이면 $\overline{PH}\perp l$ ② $\overline{PO}\perp\alpha$, $\overline{PH}\perp l$ 이면 $\overline{OH}\perp l$ ③ $\overline{PH}\perp l$, $\overline{OH}\perp l$, $\overline{PO}\perp\overline{OH}$ 이면 $\overline{PO}\perp\alpha$
예시$\overline{PO}=3$, $\overline{OH}=4$ 이고 $\overline{PO}\perp\alpha$, $\overline{OH}\perp l$ 이면 $\overline{PH}\perp l$ 이고 $\overline{PH}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
직선과 평면이 이루는 각
기출 1회
평면과 만나는 직선이 평면과 이루는 각은, 그 직선과 직선의 정사영이 이루는 각으로 정의한다. 직선 위의 한 점에서 평면에 수선을 내려 직각삼각형을 만들면 이 각이 계산된다.
예시직선 위의 점 $P$ 에서 평면에 내린 수선의 발이 $O$, 직선과 평면의 교점이 $A$ 이면 구하는 각은 $\angle PAO$
이면각
기출 7회
한 직선을 공유하는 두 반평면이 이루는 도형을 이면각이라 한다. 그 크기는 교선 위의 한 점에서 각 반평면에 교선과 수직이 되도록 그은 두 반직선이 이루는 각으로 잰다. 수직을 놓치고 아무 두 선분의 각을 재면 틀린다 — 교선에 수직인지부터 확인한다.
정사영
정사영의 뜻
기출 4회
점 $P$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발 $P'$ 을 점 $P$ 의 정사영이라 하고, 도형의 각 점의 정사영 전체가 이루는 도형을 그 도형의 정사영이라 한다. 공간의 도형을 평면에 수직으로 내려 비춘 그림자에 해당한다.
정사영의 길이
기출 1회
선분 $AB$ 가 평면과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때, 정사영 $A'B'$ 의 길이는 원래 길이에 $\cos\theta$ 를 곱한 것이다.
$\overline{A'B'}=\overline{AB}\cos\theta$ $(0^{\circ}\le\theta\le 90^{\circ})$
예시길이 $4$ 인 선분이 평면과 $60^{\circ}$ 를 이루면 정사영의 길이는 $4\cos 60^{\circ}=2$
정사영의 넓이
기출 4회
도형이 놓인 평면과 정사영을 받는 평면이 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때, 정사영의 넓이는 원래 넓이에 $\cos\theta$ 를 곱한 것이다. 거꾸로 두 넓이의 비에서 이면각의 코사인을 읽어 내는 문제로 자주 나온다.
$S'=S\cos\theta$ $(0^{\circ}\le\theta\le 90^{\circ})$
예시넓이 $10$ 인 도형이 평면과 $30^{\circ}$ 를 이루면 정사영의 넓이는 $10\cos 30^{\circ}=5\sqrt{3}$
공간좌표
공간에서 점의 좌표
기출 5회
한 점 $O$ 에서 서로 수직인 세 좌표축($x$축·$y$축·$z$축)을 세우면 공간의 각 점은 세 실수의 순서쌍 $P(x,\,y,\,z)$ 로 나타난다. 두 축씩 정하는 세 평면을 좌표평면($xy$평면·$yz$평면·$zx$평면)이라 한다.
예시점 $(2,\,3,\,4)$ 에서 $xy$평면에 내린 수선의 발은 $(2,\,3,\,0)$
두 점 사이의 거리
기출 7회
공간의 두 점 사이의 거리는 평면에서의 거리 공식에 $z$좌표 항을 하나 더한 꼴이다. 직육면체의 대각선 길이를 구하는 것과 같은 원리다.
$\overline{AB}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$
예시$A(1,\,2,\,3)$, $B(3,\,4,\,4)$ 이면 $\overline{AB}=\sqrt{4+4+1}=3$
선분의 내분점과 외분점
기출 4회
공간에서도 내분점·외분점 공식은 평면과 같은 모양이고, 좌표가 하나 더 붙을 뿐이다.
$m:n$ 내분점 $\left(\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\ \dfrac{my_{2}+ny_{1}}{m+n},\ \dfrac{mz_{2}+nz_{1}}{m+n}\right)$, 외분점은 $n$ 대신 $-n$ $(m\neq n)$
예시$A(1,\,2,\,3)$, $B(4,\,5,\,6)$ 을 $1:2$ 로 내분하는 점은 $(2,\,3,\,4)$
좌표평면·좌표축에 대한 대칭이동과 회전
기출 7회
좌표평면에 대한 대칭이동은 그 평면에 들어 있지 않은 좌표 하나의 부호만 바꾸고, 좌표축에 대한 대칭이동은 그 축의 좌표만 남기고 나머지 둘의 부호를 바꾼다. 한 축의 둘레로 회전할 때는 축 방향 좌표와 축까지의 거리가 유지되므로 자취는 원이 된다.
예시$P(1,\,2,\,3)$ 의 $xy$평면 대칭은 $(1,\,2,\,-3)$, $x$축 대칭은 $(1,\,-2,\,-3)$, 원점 대칭은 $(-1,\,-2,\,-3)$
구의 방정식
구의 방정식
기출 2회
중심에서 거리가 일정한 점 전체가 구이므로, 구의 방정식은 원의 방정식에 $z$ 항을 더한 꼴이다. 일반형이 주어지면 완전제곱으로 고쳐 중심과 반지름을 읽는다.
중심 $(a,\,b,\,c)$, 반지름 $r$: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$
예시$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z+5=0$ → $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=9$, 중심 $(1,\,2,\,3)$, 반지름 $3$
구와 평면의 위치 관계
기출 5회
구의 중심과 평면 사이의 거리 $d$ 를 반지름 $r$ 와 비교한다. $d\lt r$ 이면 단면은 원이고, 그 반지름은 피타고라스 정리로 구한다.
$d\lt r$ 이면 단면인 원의 반지름은 $\sqrt{r^{2}-d^{2}}$, $d=r$ 접함, $d\gt r$ 만나지 않음
예시반지름 $5$ 인 구를 중심에서 거리 $3$ 인 평면으로 자르면 단면은 반지름 $\sqrt{25-9}=4$ 인 원
구와 직선의 위치 관계
최근 5개년 직접 출제 없음
구의 중심과 직선 사이의 거리 $d$ 를 반지름 $r$ 와 비교하여 두 점에서 만남($d\lt r$)·접함($d=r$)·만나지 않음($d\gt r$)을 판정한다. 두 점에서 만나면 잘린 현의 길이도 피타고라스 정리로 나온다.
$d\lt r$ 일 때 현의 길이는 $2\sqrt{r^{2}-d^{2}}$
예시반지름 $5$ 인 구와 중심에서 거리 $3$ 인 직선이 만나서 생기는 현의 길이는 $2\sqrt{25-9}=8$
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
피타고라스 정리
기출 5회
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 직각변의 제곱의 합이다. 공간의 길이 계산은 결국 알맞은 직각삼각형을 찾아 이 정리를 쓰는 일로 귀결된다.
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ($c$ 는 빗변)
직각삼각형의 삼각비
기출 2회
직각삼각형에서 한 예각 $\theta$ 에 대하여 변의 비를 삼각비라 한다.
$\sin\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos\theta=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$
코사인법칙
기출 2회
삼각형에서 두 변과 끼인각으로 나머지 변을, 또는 세 변으로 각을 구하는 법칙. 이면각·꼬인 위치의 각 계산에서 세 변이 확보되면 이 식으로 코사인을 읽는다.
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$, $\ \cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$
예시$a=2$, $b=3$, $C=60^{\circ}$ 이면 $c^{2}=4+9-2\times 2\times 3\times\dfrac{1}{2}=7$, $\ c=\sqrt{7}$
삼각형과 사다리꼴의 넓이
기출 3회
삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times$밑변$\times$높이 또는 $\dfrac{1}{2}ab\sin C$, 사다리꼴의 넓이는 $\dfrac{1}{2}(a+b)h$.
삼각형의 내접원
기출 1회
삼각형의 세 변에 모두 접하는 원. 반지름 $r$ 는 넓이와 둘레의 관계식에서 구한다.
$S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$
예시세 변이 $3,\ 4,\ 5$ 인 직각삼각형은 $S=6$ 이므로 $r=\dfrac{2\times 6}{12}=1$
삼각형의 무게중심
기출 1회
세 중선의 교점으로, 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 $2:1$ 로 나눈다. 좌표는 세 꼭짓점 좌표의 평균이다.
$G\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},\ \dfrac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)$
정사면체의 성질
기출 1회
네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 한 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발은 밑면의 무게중심이다.
한 모서리가 $a$ 일 때 높이 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$, 부피 $\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$
원의 성질
기출 1회
중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하고, 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다. 구의 단면 계산에서 그대로 쓰인다.
원과 직선의 위치 관계
기출 1회
원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$ 를 반지름 $r$ 와 비교한다.
$d\lt r$ 두 점에서 만남, $d=r$ 접함, $d\gt r$ 만나지 않음
점과 직선 사이의 거리
기출 3회
점 $(x_{1},\,y_{1})$ 과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 공식.
$d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
도형에서의 최대·최소
기출 1회
움직이는 점이 만드는 길이·넓이의 범위는 그 점의 자취(원·선분 등)를 먼저 확정한 뒤 경계에서 판단한다. 구 위의 점과 고정점 사이의 거리는 중심까지의 거리에 반지름을 더하고 뺀 값 사이에 있다.
고정점 $A$ 가 구(중심 $C$, 반지름 $r$) 밖에 있으면 $\overline{AC}-r\le\overline{AP}\le\overline{AC}+r$
타원의 정의
기출 1회
두 초점 $F,\ F'$ 에서의 거리의 합이 일정한 점들의 자취.
$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$ $(2a\gt\overline{FF'})$
벡터의 내적
기출 1회
두 벡터가 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$. 공간에서는 성분이 셋이 되어 대응 성분의 곱을 모두 더한다.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$, $\ \vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
벡터의 내분점
기출 1회
선분 $AB$ 를 $m:n$ 으로 내분하는 점의 위치벡터는 두 끝점의 위치벡터를 가중치로 섞은 것이다.
$\vec{p}=\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$