평면벡터 — 기본 개념 잡기
기본 개념 34개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
기하(선택)
이 개념이 왜 생겼나 — 힘과 속도는 크기만으로는 정해지지 않는다. 어느 방향으로 얼마나 — 두 정보를 함께 가져야 하나의 양이 된다. 19세기에 해밀턴이 사원수를 연구하며 'vector'라는 이름을 붙였고, 기브스와 헤비사이드가 이를 오늘날의 벡터 연산으로 정리했다. 크기와 방향을 화살표 하나에 담아, 도형의 관계를 문자 계산으로 바꾸는 언어가 벡터다.
지금 어디에 쓰이나 — 게임 그래픽스는 캐릭터의 위치·이동·시선을 전부 벡터로 계산하고, 빛이 면에 닿아 생기는 밝기는 두 벡터의 내적으로 구한다. 드론은 추력과 바람을 벡터로 합성해 자세를 잡고, 내비게이션이 다루는 위치와 속도도 벡터다. 물리학의 힘의 합성부터 인공지능의 데이터 표현까지, 여러 개의 수를 한 덩어리로 다루는 곳에는 모두 벡터가 있다.
수능은 무엇을 묻나 — 벡터의 덧셈·실수배·분해로 도형의 조건을 식으로 옮기는 능력, 내적의 계산, 그리고 점이 원이나 선분 위를 움직일 때 벡터의 크기·내적의 최대와 최소다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
벡터의 뜻과 연산
벡터의 뜻과 크기
기출 6회
크기와 방향을 함께 갖는 양을 벡터라 하고, 점 $A$ 에서 점 $B$ 로 향하는 화살표(유향선분)로 나타내어 $\overrightarrow{AB}$ 로 적는다. 벡터 $\vec{a}$ 의 크기는 화살표의 길이이고 $|\vec{a}|$ 로 나타낸다.
예시$\overrightarrow{AB}$ 는 시점 $A$, 종점 $B$ 인 벡터이고, $A(0,\,0)$, $B(3,\,4)$ 이면 $|\overrightarrow{AB}|=5$
단위벡터와 영벡터
최근 5개년 직접 출제 없음
크기가 1인 벡터를 단위벡터, 시점과 종점이 일치하여 크기가 0인 벡터를 영벡터 $\vec{0}$ 이라 한다. 영벡터가 아닌 $\vec{a}$ 와 방향이 같은 단위벡터는 $\vec{a}$ 를 자기 크기로 나눈 것이다.
$\vec{a}\neq\vec{0}$ 일 때 $\vec{a}$ 방향의 단위벡터는 $\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
예시$\vec{a}=(3,\,4)$ 방향의 단위벡터는 $\left(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{4}{5}\right)$
벡터의 상등
기출 4회
두 벡터는 크기와 방향이 각각 같으면 시점이 달라도 서로 같다고 한다. 즉 벡터는 위치가 아니라 크기와 방향만으로 정해지므로, 평행이동하여 겹쳐지는 화살표는 모두 같은 벡터다.
예시평행사변형 $ABCD$ 에서 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
벡터의 덧셈과 뺄셈
기출 9회
$\vec{a}$ 의 종점에 $\vec{b}$ 의 시점을 이어 붙이면 $\vec{a}+\vec{b}$ 는 처음 시점에서 마지막 종점으로 가는 벡터다(삼각형 법칙). 시점을 같게 놓으면 평행사변형의 대각선이 합이 된다(평행사변형 법칙). 뺄셈은 반대 방향 벡터를 더하는 것으로 정의한다.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, $\ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$, $\ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
예시$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$
벡터의 실수배
기출 3회
실수 $k$ 와 벡터 $\vec{a}$ 에 대하여 $k\vec{a}$ 는 크기가 $|k||\vec{a}|$ 이고, $k\gt 0$ 이면 $\vec{a}$ 와 같은 방향, $k\lt 0$ 이면 반대 방향인 벡터다. $k=0$ 이거나 $\vec{a}=\vec{0}$ 이면 $k\vec{a}=\vec{0}$ 이다.
예시$|\vec{a}|=2$ 이면 $|-3\vec{a}|=6$ 이고, $-3\vec{a}$ 는 $\vec{a}$ 와 반대 방향
벡터의 연산에 대한 성질
기출 8회
벡터의 덧셈은 교환·결합법칙을 만족하고, 실수배는 분배법칙을 만족한다. 그래서 벡터의 식은 문자식처럼 전개하고 정리할 수 있다.
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, $\ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$, $\ k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$, $\ (k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$
예시$2(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}+3\vec{b}$
벡터의 평행 조건
기출 3회
영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$ 가 평행할 필요충분조건은 $\vec{b}=k\vec{a}$ 인 0이 아닌 실수 $k$ 가 존재하는 것이다. 서로 다른 세 점 $A,\ B,\ C$ 가 한 직선 위에 있다는 조건은 $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ 로 옮겨진다.
$\vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}$ $(k\neq 0)$
예시$\vec{a}=(1,\,2)$ 와 $\vec{b}=(3,\,6)$ 은 $\vec{b}=3\vec{a}$ 이므로 평행
벡터의 분해
기출 3회
영벡터가 아니고 서로 평행하지 않은 두 벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$ 가 있으면, 평면의 임의의 벡터 $\vec{p}$ 는 $\vec{p}=m\vec{a}+n\vec{b}$ 꼴로 단 한 가지로 나타낼 수 있다. 표현이 유일하므로 양변의 계수를 비교할 수 있다 — 벡터 문제에서 미지수를 구하는 기본 통로다.
$m\vec{a}+n\vec{b}=m'\vec{a}+n'\vec{b}$ 이면 $m=m',\ n=n'$ ($\vec{a},\ \vec{b}$ 는 영벡터가 아니고 평행하지 않음)
위치벡터
위치벡터
기출 3회
기준점 $O$ 를 정하면 평면의 각 점 $P$ 는 벡터 $\overrightarrow{OP}$ 와 하나씩 대응한다. 이 $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$ 를 점 $P$ 의 위치벡터라 하며, 점의 문제를 벡터의 계산으로 바꿔 준다.
두 점 $A,\ B$ 의 위치벡터가 $\vec{a},\ \vec{b}$ 일 때 $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
선분의 내분점과 외분점의 위치벡터
기출 4회
선분 $AB$ 를 $m:n$ 으로 내분하는 점과 외분하는 점의 위치벡터는 두 끝점의 위치벡터를 가중치를 붙여 섞은 꼴이다. 좌표의 내분점 공식과 같은 모양이므로 함께 기억한다.
내분점 $\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}$, 외분점 $\dfrac{m\vec{b}-n\vec{a}}{m-n}$ $(m\neq n)$, 중점 $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
예시선분 $AB$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점의 위치벡터는 $\dfrac{2\vec{b}+\vec{a}}{3}$
삼각형의 무게중심의 위치벡터
최근 5개년 직접 출제 없음
삼각형 $ABC$ 의 무게중심 $G$ 의 위치벡터는 세 꼭짓점의 위치벡터의 평균이다.
$\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
예시$G$ 가 삼각형 $ABC$ 의 무게중심 $\iff$ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
평면벡터의 성분
평면벡터의 성분
기출 12회
원점을 시점으로 한 벡터의 종점 좌표 $(a_{1},\,a_{2})$ 를 그 벡터의 성분이라 하고 $\vec{a}=(a_{1},\,a_{2})$ 로 적는다. 크기는 $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$ 이고, 두 점 $A(a_{1},\,a_{2})$, $B(b_{1},\,b_{2})$ 에 대하여 $\overrightarrow{AB}=(b_{1}-a_{1},\ b_{2}-a_{2})$ 이다.
예시$A(1,\,2)$, $B(4,\,6)$ 이면 $\overrightarrow{AB}=(3,\,4)$, $|\overrightarrow{AB}|=5$
성분에 의한 평면벡터의 연산
기출 1회
벡터의 덧셈·뺄셈·실수배는 성분끼리의 계산으로 바뀐다. 그림 없이도 벡터를 수 계산으로 다룰 수 있게 하는 규칙이다.
$\vec{a}\pm\vec{b}=(a_{1}\pm b_{1},\ a_{2}\pm b_{2})$, $\ k\vec{a}=(ka_{1},\ ka_{2})$
예시$\vec{a}=(1,\,2)$, $\vec{b}=(3,\,-1)$ 이면 $2\vec{a}+\vec{b}=(5,\,3)$
평면벡터의 내적
벡터의 내적의 뜻
기출 17회
영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$ 가 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때, $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 를 두 벡터의 내적이라 한다. 결과는 벡터가 아니라 실수이며, 성분으로는 대응하는 성분끼리 곱해 더한 값이다.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$
예시$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, $\theta=60^{\circ}$ 이면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times 3\times\dfrac{1}{2}=3$
벡터의 내적의 성질
기출 3회
내적은 교환법칙과 분배법칙을 만족하고, 자기 자신과의 내적은 크기의 제곱이다. 특히 $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}$ 은 크기 조건을 내적 계산으로 바꾸는 다리로, 크기의 제곱을 전개하는 데 계속 쓰인다.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$, $\ \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$, $\ (k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$, $\ \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}$
예시$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^{2}$
두 평면벡터가 이루는 각
기출 1회
내적의 정의를 거꾸로 쓰면 두 벡터가 이루는 각의 코사인을 내적과 크기로 구할 수 있다.
$\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ $(0^{\circ}\le\theta\le 180^{\circ})$
예시$\vec{a}=(1,\,0)$, $\vec{b}=(1,\,1)$ 이면 $\cos\theta=\dfrac{1}{1\times\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\ \theta=45^{\circ}$
두 평면벡터의 수직 조건
기출 4회
영벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 필요충분조건은 내적이 0인 것이다. $\cos 90^{\circ}=0$ 에서 바로 나오며, 도형의 수직 조건을 식 하나로 바꿔 주는 핵심 도구다.
$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0 \iff a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=0$
예시$\vec{a}=(2,\,1)$, $\vec{b}=(1,\,-2)$ 이면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2-2=0$ 이므로 $\vec{a}\perp\vec{b}$
벡터의 크기·내적의 최대와 최소
기출 7회
점이 원이나 선분 위를 움직일 때 벡터의 크기와 내적은 범위를 가진다. 내적은 $\cos\theta$ 가 $-1$ 에서 $1$ 사이이므로 $-|\vec{a}||\vec{b}|\le\vec{a}\cdot\vec{b}\le|\vec{a}||\vec{b}|$ 이고, 크기의 최대·최소는 고정점과 자취 사이 거리 문제로 바꿔 푼다. 움직이는 점의 자취(원의 중심과 반지름, 선분의 양 끝)를 먼저 확정하는 것이 순서다.
예시점 $P$ 가 중심 $C$, 반지름 $r$ 인 원 위를 움직이고 $A$ 가 원 밖의 고정점이면 $|\overrightarrow{AP}|$ 의 최댓값은 $\overline{AC}+r$, 최솟값은 $\overline{AC}-r$
직선과 원의 벡터방정식
방향벡터를 이용한 직선의 방정식
기출 6회
점 $A$(위치벡터 $\vec{a}$)를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{u}$ 에 평행한 직선 위의 점 $P$(위치벡터 $\vec{p}$)는 $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$ ($t$ 는 실수)로 나타난다. 이때 $\vec{u}$ 를 그 직선의 방향벡터라 한다.
점 $(x_{1},\,y_{1})$ 을 지나고 방향벡터가 $\vec{u}=(u_{1},\,u_{2})$ 인 직선: $\dfrac{x-x_{1}}{u_{1}}=\dfrac{y-y_{1}}{u_{2}}$ $(u_{1}u_{2}\neq 0)$
예시점 $(1,\,2)$ 를 지나고 방향벡터가 $(3,\,4)$ 인 직선은 $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{4}$
법선벡터를 이용한 직선의 방정식
기출 1회
점 $A$ 를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{n}$ 에 수직인 직선 위의 점 $P$ 는 $\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$ 을 만족한다. 이때 $\vec{n}$ 을 법선벡터라 하며, 직선 $ax+by+c=0$ 의 법선벡터는 $(a,\,b)$ 다.
점 $(x_{1},\,y_{1})$ 을 지나고 법선벡터가 $\vec{n}=(a,\,b)$ 인 직선: $a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0$
예시직선 $2x+3y+1=0$ 의 법선벡터는 $(2,\,3)$, 방향벡터는 $(3,\,-2)$
두 직선이 이루는 각의 크기
기출 1회
두 직선이 이루는 각은 방향벡터가 이루는 각으로 구한다. 직선이 이루는 각은 예각 쪽으로 재므로 내적에 절댓값을 씌운다. 두 직선의 수직은 방향벡터의 내적이 0, 평행은 방향벡터가 실수배 관계다.
$\cos\theta=\dfrac{|\vec{u_{1}}\cdot\vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}||\vec{u_{2}}|}$ $(0^{\circ}\le\theta\le 90^{\circ})$
예시방향벡터가 $(1,\,2)$, $(3,\,1)$ 이면 $\cos\theta=\dfrac{|3+2|}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\ \theta=45^{\circ}$
벡터를 이용한 원의 방정식
기출 8회
중심 $C$(위치벡터 $\vec{c}$)에서 거리가 $r$ 로 일정한 점 $P$ 의 자취가 원이므로, 원의 벡터방정식은 $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ 이다. 지름의 양 끝 $A,\ B$ 가 주어지면 원주각이 직각이라는 사실에서 내적 꼴로도 적을 수 있다.
$|\vec{p}-\vec{c}|=r$ 또는 $(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^{2}$ · 지름의 양 끝이 $A,\ B$ 인 원: $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$
예시$|\vec{p}-(1,\,2)|=3$ 은 중심 $(1,\,2)$, 반지름 $3$ 인 원
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
마름모의 성질
기출 1회
네 변의 길이가 모두 같은 사각형. 두 대각선은 서로를 수직이등분하고, 넓이는 두 대각선 길이의 곱의 절반이다.
넓이 $=\dfrac{1}{2}d_{1}d_{2}$ · 이웃한 두 변을 $\vec{a},\ \vec{b}$ 로 잡으면 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=0$
이등변삼각형의 성질
기출 1회
두 변의 길이가 같은 삼각형에서 꼭지각의 꼭짓점에서 밑변의 중점으로 그은 선분은 밑변과 수직이다. 즉 중선·수선·꼭지각의 이등분선이 하나로 겹친다.
삼각형의 넓이
기출 1회
두 변과 그 끼인각으로 넓이를 구하며, 벡터로도 같은 값을 계산할 수 있다.
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}}$
원의 뜻과 성질
기출 1회
한 점(중심)에서 거리가 일정(반지름)한 점들의 자취. 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하고, 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
원의 방정식
기출 2회
중심 $(a,\,b)$, 반지름 $r$ 인 원 위의 점 $(x,\,y)$ 가 만족하는 식.
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
원과 직선의 위치 관계
기출 5회
원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$ 를 반지름 $r$ 와 비교한다.
$d\lt r$ 두 점에서 만남, $d=r$ 접함, $d\gt r$ 만나지 않음
직선의 방정식
기출 2회
기울기 $m$ 으로 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 을 지나는 직선은 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, 일반형은 $ax+by+c=0$.
점의 자취
기출 1회
주어진 조건을 만족하며 움직이는 점 전체가 이루는 도형. 점을 $P(x,\,y)$ 로 두고 조건을 식으로 옮기면 자취의 방정식이 나온다. 벡터 조건 $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ 는 원, $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$ 는 직선이다.
두 점 사이의 거리의 최대·최소
기출 1회
한 점이 원 위를 움직일 때 고정점까지의 거리는 중심을 지나는 직선 위에서 최대·최소가 된다.
고정점 $A$ 가 원(중심 $C$, 반지름 $r$) 밖에 있으면 $\overline{AC}-r\le\overline{AP}\le\overline{AC}+r$
코시-슈바르츠 부등식
기출 1회
두 벡터의 내적의 절댓값은 크기의 곱을 넘지 못한다는 부등식. 성분으로 적으면 곱의 합의 최대·최소를 구하는 도구가 된다.
$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\ge(ax+by)^{2}$ (등호는 $ay=bx$) · 벡터로는 $|\vec{a}\cdot\vec{b}|\le|\vec{a}||\vec{b}|$
쌍곡선의 정의
기출 1회
두 초점 $F,\ F'$ 에서의 거리의 차가 일정한 점들의 자취.
$\left|\overline{PF}-\overline{PF'}\right|=2a$ $(0\lt 2a\lt\overline{FF'})$
구와 평면의 위치 관계
기출 1회
구의 중심과 평면 사이의 거리 $d$ 를 반지름 $r$ 와 비교한다. $d\lt r$ 이면 잘린 단면은 원이다.
$d\lt r$ 이면 단면인 원의 반지름은 $\sqrt{r^{2}-d^{2}}$, $d=r$ 접함, $d\gt r$ 만나지 않음