적분법 — 기본 개념 잡기
기본 개념 32개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구하기 위해서다. 아르키메데스는 포물선 조각의 넓이를 무수히 많은 삼각형으로 쪼개어 구했지만, 곡선마다 새로운 방법을 발명해야 했다. 17세기 뉴턴과 라이프니츠가 '넓이 구하기는 미분의 역산'이라는 미적분의 기본 정리를 세우자 이 문제는 부정적분 하나를 찾는 일로 바뀌었고, 여기에 치환적분과 부분적분이라는 두 기법이 더해지면서 지수·로그·삼각함수가 만드는 곡선의 넓이까지 같은 틀 안에서 계산할 수 있게 되었다.
지금 어디에 쓰이나 — 잘게 쌓아 전체를 구하는 모든 계산의 언어다. 속도를 적분하면 이동 거리가 되고, 단면의 넓이를 적분하면 입체의 부피가 되며, 통계에서 정규분포 곡선 아래의 넓이는 확률 그 자체다. 다리의 케이블 길이, 댐이 받는 수압, 로켓이 소모하는 연료량처럼 '조금씩 변하는 양의 누적'을 구하는 공학 계산이 모두 정적분으로 적힌다.
수능은 무엇을 묻나 — 치환적분·부분적분으로 초월함수의 정적분을 계산하는 힘, 정적분으로 정의된 함수를 미분해 원래 함수의 정보를 캐내는 추론, 그리고 넓이·부피·곡선의 길이로 대표되는 활용이다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
여러 가지 적분법
여러 가지 함수의 부정적분
기출 2회
미분하여 $f(x)$ 가 되는 함수를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 로 나타낸다. 실수 지수 $n$ 에 대한 $x^{n}$ 의 적분에서 $n=-1$ 인 경우만 로그가 되는 것에 주의한다.
$\int x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ $(n\neq -1)$, $\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
예시$\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{\frac{1}{2}}\,dx=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$
유리함수의 부정적분
기출 2회
분수식은 그대로 적분하지 않고, 분자를 분모로 나누거나 부분분수로 분해해 $x^{n}$ 꼴과 $\dfrac{1}{x}$ 꼴의 합으로 고친 뒤 항별로 적분한다.
$\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
예시$\int \dfrac{x^{2}+1}{x}\,dx=\int \left(x+\dfrac{1}{x}\right)dx=\dfrac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C$
지수함수와 로그함수의 부정적분
기출 2회
$e^{x}$ 는 미분해도 자기 자신이므로 적분해도 자기 자신이다. 밑이 $a$ 인 지수함수는 $\ln a$ 로 나누어 보정하고, $\ln x$ 자체의 적분은 부분적분으로 구한다.
$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, $\int a^{x}\,dx=\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$ $(a\gt 0,\ a\neq 1)$, $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$
예시$\int 2^{x}\,dx=\dfrac{2^{x}}{\ln 2}+C$
삼각함수의 부정적분
최근 5개년 직접 출제 없음
삼각함수의 미분 공식을 거꾸로 읽은 것이다. $\sin x$ 를 적분하면 부호가 바뀌어 $-\cos x$ 가 되는 것에 주의하고, $\tan x$·$\sec x$ 계열은 $\sec^{2}x$, $\sec x\tan x$ 의 적분으로 기억한다.
$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int \cos x\,dx=\sin x+C$, $\int \sec^{2}x\,dx=\tan x+C$, $\int \csc^{2}x\,dx=-\cot x+C$, $\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C$, $\int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C$
예시$\int (\cos x-\sin x)\,dx=\sin x+\cos x+C$
치환적분법
기출 15회
적분하려는 식 안에서 '어떤 함수와 그 도함수'가 함께 보이면, 그 함수를 새 변수 $t$ 로 치환해 간단한 적분으로 바꾼다. 합성함수의 미분법을 거꾸로 쓰는 것이다.
$t=g(x)$ 로 놓으면 $\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt$
예시$\int 2xe^{x^{2}}\,dx$ 에서 $t=x^{2}$ 으로 치환하면 $\int e^{t}\,dt=e^{t}+C=e^{x^{2}}+C$
부분적분법
기출 10회
두 함수의 곱을 적분하는 방법으로, 곱의 미분법을 거꾸로 쓴 것이다. 미분하면 간단해지는 쪽(로그·다항)을 $f$, 적분하기 쉬운 쪽(지수·삼각)을 $g'$ 으로 잡는다.
$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$
예시$\int xe^{x}\,dx=xe^{x}-\int e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C$
정적분
정적분과 미적분의 기본 정리
기출 2회
닫힌 구간에서 연속인 함수 $f(x)$ 의 정적분은 부정적분 $F(x)$ 의 양 끝값의 차로 계산된다. 넓이 구하기(적분)와 순간변화율 구하기(미분)가 서로 역산이라는, 미적분 전체를 떠받치는 정리다.
$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, $\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt=f(x)$
예시$\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,dx=\ln e-\ln 1=1$
여러 가지 함수의 정적분
기출 4회
지수·로그·삼각함수의 부정적분 공식을 그대로 써서 정적분 값을 구한다. 구간 안에서 함수의 부호가 바뀌는지, 절댓값이 붙어 있는지를 먼저 확인하고 구간을 나눈다.
예시$\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}=1-(-1)=2$
치환적분법과 부분적분법을 이용한 정적분
기출 3회
치환적분으로 정적분을 계산할 때는 변수와 함께 적분 구간도 새 변수의 구간으로 바꾼다 — 원래 변수로 되돌아올 필요가 없다. 부분적분은 부정적분과 같은 꼴에 양 끝값을 대입하는 항이 더해진다.
$t=g(x)$ 일 때 $\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt$, $\int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,dx=\Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,dx$
예시$\int_{0}^{1} xe^{x^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{t}\,dt=\dfrac{e-1}{2}$, $\ \int_{1}^{e} \ln x\,dx=\Big[x\ln x-x\Big]_{1}^{e}=1$
정적분으로 정의된 함수
기출 4회
$F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ 처럼 적분 구간에 변수가 들어간 함수. 양변을 $x$ 로 미분하면 $F'(x)=f(x)$ 가 되고, $x=a$ 를 대입하면 $F(a)=0$ — '미분한다, 끝점을 대입한다' 두 가지가 이 유형을 푸는 열쇠다.
예시$F(x)=\int_{0}^{x} te^{t}\,dt$ 이면 $F'(x)=xe^{x}$, $F(0)=0$
정적분의 활용
정적분과 급수의 합 사이의 관계
기출 2회
구간을 $n$ 등분해 직사각형 넓이를 더한 합의 극한이 정적분이다. $\dfrac{k}{n}$ 과 $\dfrac{1}{n}$ 이 보이는 급수의 극한은 이 공식으로 정적분으로 바꿔 계산한다.
$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} f\!\left(a+\dfrac{b-a}{n}k\right)\dfrac{b-a}{n}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx$
예시$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^{2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\cdot\dfrac{1}{n}=\int_{0}^{1} x\,dx=\dfrac{1}{2}$
곡선과 좌표축 사이의 넓이
최근 5개년 직접 출제 없음
곡선 $y=f(x)$ 와 $x$축 사이의 넓이는 $|f(x)|$ 의 정적분이다. 곡선이 축 아래로 내려가는 구간에서는 부호를 바꿔 더해야 하므로, 먼저 축과의 교점을 찾아 구간을 나눈다. $y$축과의 넓이는 $x=g(y)$ 로 보고 $y$ 에 대해 적분한다.
$S=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx$
예시곡선 $y=e^{x}$ 와 $x$축 및 두 직선 $x=0,\ x=1$ 로 둘러싸인 넓이는 $\int_{0}^{1} e^{x}\,dx=e-1$
두 곡선 사이의 넓이
기출 1회
두 곡선 사이의 넓이는 (위 곡선)$-$(아래 곡선)의 정적분이다. 먼저 두 곡선의 교점을 구해 적분 구간을 정하고, 구간 안에서 위아래가 바뀌면 구간을 나눈다.
$S=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|\,dx$
예시$0\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ 에서 $y=\cos x$ 와 $y=\sin x$ 사이의 넓이는 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)\,dx=\Big[\sin x+\cos x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-1$
입체도형의 부피
기출 7회
입체를 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$ 일 때, 부피는 단면 넓이를 쌓아 올린 정적분이다. 단면의 모양(정사각형·반원·정삼각형 등)에서 $S(x)$ 를 식으로 세우는 것이 관건이다.
$V=\int_{a}^{b} S(x)\,dx$
예시$0\le x\le 3$ 에서 단면의 넓이가 $S(x)=x^{2}$ 인 입체의 부피는 $\int_{0}^{3} x^{2}\,dx=9$
속도와 거리
기출 1회
속도 $v(t)$ 를 적분하면 위치의 변화량이 되고, $|v(t)|$ 를 적분하면 실제로 움직인 거리가 된다 — 방향이 바뀌면 두 값이 달라진다. 좌표평면 위를 움직이는 점의 거리는 속도 성분의 제곱합의 제곱근을 적분한다.
위치의 변화량 $\int_{a}^{b} v(t)\,dt$, 움직인 거리 $\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt$, 평면 위에서는 $\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt$
예시$v(t)=\cos t$ 로 움직이는 점이 $t=0$ 부터 $t=\pi$ 까지 움직인 거리는 $\int_{0}^{\pi} |\cos t|\,dt=2$ (위치의 변화량은 $0$)
곡선의 길이
기출 1회
곡선을 아주 짧은 선분들로 쪼개어 그 길이를 쌓은 것이 곡선의 길이다. $y=f(x)$ 꼴이면 $\sqrt{1+(f'(x))^{2}}$ 를, 매개변수 꼴이면 속도의 크기를 적분한다.
$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}\,dx$, 매개변수 곡선은 $L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt$
예시$y=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ $(0\le x\le 3)$ 의 길이는 $\int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\,dx=\left[\dfrac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{3}=\dfrac{14}{3}$
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
접선의 방정식
기출 4회
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\,f(a))$ 에서의 접선은 기울기가 $f'(a)$ 인 직선이다.
$y-f(a)=f'(a)(x-a)$
여러 가지 미분법
기출 3회
몫·합성함수·매개변수·음함수의 미분법. 적분은 미분의 역산이므로, 어떤 함수를 미분해 피적분함수가 나오는지 읽어 내는 데 이 공식들이 쓰인다.
$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}$, $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)$
지수함수와 삼각함수의 극한
기출 2회
$e$ 의 정의에서 나오는 기본 극한들. 정적분과 급수 문제나 정적분으로 정의된 함수의 극한 계산에서 쓰인다.
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
함수의 증가·감소와 극대·극소
기출 3회
$f'(x)\gt 0$ 인 구간에서 증가, $f'(x)\lt 0$ 인 구간에서 감소하고, $f'(x)$ 의 부호가 바뀌는 점에서 극값을 가진다. 정적분으로 정의된 함수의 그래프 개형을 그릴 때 쓰인다.
함수의 그래프와 방정식의 실근
기출 2회
방정식 $f(x)=k$ 의 실근의 개수는 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=k$ 의 교점의 개수와 같다. 그래프의 개형(극값·점근선)을 그려 판단한다.
미분가능성
기출 2회
$x=a$ 에서 미분계수가 존재하면 그 점에서 미분가능하다. 미분가능하면 연속이지만 역은 성립하지 않는다 — 이어져 있어도 꺾인 점에서는 미분가능하지 않다.
도함수
기출 1회
각 점에서의 순간변화율을 대응시킨 함수. 부정적분은 이 연산의 역이다.
$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
곱의 미분법
기출 1회
두 함수의 곱을 미분하는 법칙. 이것을 거꾸로 쓴 것이 부분적분법이다.
$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
함수의 연속
기출 1회
$x=a$ 에서 극한값과 함숫값이 존재하고 서로 같으면 연속이다. 닫힌 구간에서 연속인 함수만 정적분을 정의할 수 있다.
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
삼각함수의 성질과 항등식
기출 2회
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 과 배각·반각공식. 특히 $\sin^{2}x,\ \cos^{2}x$ 는 반각공식으로 차수를 낮춰야 적분할 수 있다.
$\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$
지수와 로그
기출 1회
지수법칙과 로그의 성질. $e^{x}$·$\ln x$ 가 들어간 식을 적분 가능한 꼴로 정리하는 데 쓰인다.
$e^{\ln a}=a$, $\ln ab=\ln a+\ln b$, $\ln a^{k}=k\ln a$
이차방정식의 근과 계수의 관계
기출 1회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근 $\alpha,\ \beta$ 에 대하여 두 근의 합과 곱을 계수로 나타낼 수 있다.
$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
역함수의 성질
기출 1회
$y=f(x)$ 와 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이고, $f(a)=b$ 이면 $f^{-1}(b)=a$ 다. 원함수와 역함수의 그래프 사이의 넓이가 이 대칭으로 계산된다.
$f(a)=b$ 이고 $f'(a)\neq 0$ 이면 $(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$
삼각비
기출 1회
직각삼각형에서 한 예각에 대한 변의 길이의 비. 도형이 결합된 적분 문제에서 길이를 각으로 나타낼 때 쓰인다.
$\sin\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos\theta=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$
원주각의 성질
기출 1회
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고 중심각의 절반이다. 특히 반원에 대한 원주각은 $90^{\circ}$ — 지름을 낀 삼각형은 직각삼각형이다.
삼각형의 넓이
기출 1회
두 변과 끼인각으로 삼각형의 넓이를 나타낼 수 있다. 각 $\theta$ 로 매개된 도형의 넓이 $S(\theta)$ 를 세울 때 쓰인다.
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta$