다항함수의 적분 — 기본 개념 잡기
기본 개념 36개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 곡선으로 둘러싸인 넓이와 부피를 재기 위해서다. 기원전 3세기 아르키메데스는 포물선 조각의 넓이를 무수히 많은 삼각형으로 잘게 채워 그 합으로 구했다. 그러나 이 방법은 도형마다 새로 고안해야 하는 개별 기술이었고, 2000년 가까이 그 상태로 남았다. 17세기 뉴턴과 라이프니츠가 '넓이를 구하는 일은 미분의 역과정'임을 밝히면서(미적분학의 기본 정리) 사정이 바뀌었다 — 도형마다 따로 쌓아 더하던 계산이, 미분해서 원래 함수가 되는 함수 하나를 찾는 일로 통일된 것이다.
지금 어디에 쓰이나 — 잘게 쌓아 전체를 구하는 모든 곳의 언어다. 속도를 쌓으면 이동 거리가 되고, 흘러드는 유량을 쌓으면 저수량이, 전력을 쌓으면 전력 사용량이 된다. 곡선 지붕의 넓이, 댐이 받는 수압, 로켓이 얻는 속도처럼 '순간의 값이 계속 변하는 양의 총합'은 전부 적분으로 계산된다. 미분이 변화의 순간을 읽는 도구라면, 적분은 그 순간들을 다시 모아 전체를 복원하는 도구다.
수능은 무엇을 묻나 — 부정적분·정적분의 계산, 정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선이 만드는 넓이, 그리고 속도를 적분해 위치와 거리를 구하는 문제다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
부정적분
부정적분의 뜻
기출 22회
미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수 — 즉 $F'(x)=f(x)$ 인 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 $\int f(x)\,dx$ 로 나타낸다. 미분과 방향이 반대인 연산이다.
$F'(x)=f(x)$ 일 때 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ ($C$ 는 적분상수)
예시$(x^{2})'=2x$ 이므로 $\int 2x\,dx=x^{2}+C$
적분상수
기출 16회
상수는 미분하면 사라지므로, 미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수는 하나가 아니라 상수 차이만큼 무수히 많다. 이 임의의 상수를 적분상수 $C$ 라 하며, 부정적분에는 반드시 붙여 적는다. 함숫값 하나가 주어지면 $C$ 가 확정된다.
예시$(x^{2}+1)'=(x^{2}-3)'=2x$ — $x^{2}+1$ 과 $x^{2}-3$ 은 모두 $2x$ 의 부정적분이다
다항함수의 부정적분
기출 1회
각 항을 따로 적분한다. $x^{n}$ 의 부정적분은 지수를 하나 올리고 올린 지수로 나눈 것 — 미분에서 지수를 내리고 곱하던 것의 역이다.
$\int x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ ($n$ 은 음이 아닌 정수), $\int k\,dx=kx+C$, $\int \{f(x)\pm g(x)\}\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
예시$\int (3x^{2}-2x+1)\,dx=x^{3}-x^{2}+x+C$
부정적분과 미분의 관계
최근 5개년 직접 출제 없음
적분한 뒤 미분하면 원래 함수 그대로 돌아오지만, 미분한 뒤 적분하면 적분상수가 남는다. 두 순서의 결과가 다르다는 것이 이 관계의 핵심이다.
$\dfrac{d}{dx}\int f(x)\,dx=f(x)$, $\ \int f'(x)\,dx=f(x)+C$
예시$\dfrac{d}{dx}\int 2x\,dx=2x$ 이지만 $\int (x^{2})'\,dx=x^{2}+C$
정적분
정적분의 뜻
기출 2회
닫힌 구간 $[a,\,b]$ 에서 연속인 함수 $f(x)$ 의 한 부정적분을 $F(x)$ 라 할 때, $F(b)-F(a)$ 를 $f(x)$ 의 $a$ 에서 $b$ 까지의 정적분이라 하고 $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ 로 나타낸다. 부정적분이 함수인 것과 달리 정적분은 하나의 값이다.
$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
정적분의 계산
기출 5회
부정적분을 구한 뒤 위끝 값에서 아래끝 값을 뺀다. 적분상수 $C$ 는 빼는 과정에서 사라지므로 정적분 계산에서는 붙이지 않는다.
예시$\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx=\Big[x^{3}\Big]_{1}^{2}=8-1=7$
정적분의 성질
기출 15회
상수배와 합·차는 적분 밖으로 나오고, 이어진 구간은 하나로 합칠 수 있다. 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다. 구간을 쪼개고 합치는 성질이 이후 모든 정적분 문제의 조작 도구다.
$\int_{a}^{b}kf(x)\,dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx$, $\int_{a}^{b}\{f\pm g\}\,dx=\int_{a}^{b}f\,dx\pm\int_{a}^{b}g\,dx$, $\int_{a}^{c}f\,dx+\int_{c}^{b}f\,dx=\int_{a}^{b}f\,dx$, $\int_{a}^{a}f\,dx=0$, $\int_{b}^{a}f\,dx=-\int_{a}^{b}f\,dx$
예시$\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{1}^{2}x^{2}\,dx=\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\dfrac{8}{3}$
구간에 따라 정의된 함수의 정적분
기출 1회
식이 구간마다 다르게 주어진 함수는 식이 바뀌는 경계에서 적분 구간을 쪼개어 각각 계산한 뒤 더한다.
예시$f(x)=\begin{cases}x & (x\le 1)\\ 2-x & (x\gt 1)\end{cases}$ 일 때 $\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}(2-x)\,dx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$
절댓값을 포함한 함수의 정적분
기출 3회
절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 경계로 구간을 나누고, 각 구간에서 부호에 맞게 절댓값을 벗긴 뒤 적분한다. 구간에 따라 정의된 함수의 정적분으로 바꾸는 셈이다.
예시$\int_{0}^{2}|x-1|\,dx=\int_{0}^{1}(1-x)\,dx+\int_{1}^{2}(x-1)\,dx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$
우함수와 기함수의 정적분
기출 3회
$y$축 대칭인 함수(우함수, $f(-x)=f(x)$, 짝수 차수 항)는 대칭 구간에서 절반 구간의 2배가 되고, 원점 대칭인 함수(기함수, $f(-x)=-f(x)$, 홀수 차수 항)는 대칭 구간에서 0이 된다. 다항함수는 항별로 홀짝을 갈라 홀수 차수 항을 지우면 계산이 크게 줄어든다.
$f(-x)=f(x)$ 이면 $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx$, $\ f(-x)=-f(x)$ 이면 $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$
예시$\int_{-1}^{1}(x^{3}+3x^{2})\,dx=0+2\int_{0}^{1}3x^{2}\,dx=2$
주기함수의 정적분
기출 1회
$f(x+p)=f(x)$ 인 함수는 길이 $p$ 인 구간 어디에서 적분해도 값이 같다. 한 주기의 값을 구해 두면 긴 구간의 적분은 그 몇 배로 계산된다.
$f(x+p)=f(x)$ 이면 $\int_{a}^{a+p}f(x)\,dx=\int_{0}^{p}f(x)\,dx$, $\ \int_{a}^{a+np}f(x)\,dx=n\int_{0}^{p}f(x)\,dx$
정적분과 미분의 관계
미적분학의 기본 정리
기출 3회
정적분으로 정의된 함수 $\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ 를 $x$ 로 미분하면 $f(x)$ 가 된다 — 넓이를 재는 일(적분)과 순간변화율을 구하는 일(미분)이 서로 역과정이라는 정리다. 이 정리 덕분에 정적분을 부정적분으로 계산할 수 있다.
$f(x)$ 가 연속일 때 $\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$
정적분으로 정의된 함수
기출 2회
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ 처럼 위끝에 변수가 들어간 정적분은 $x$ 의 함수다. 적분변수 $t$ 는 계산 후 사라지는 문자이고, $x=a$ 를 대입하면 $F(a)=0$ 이 된다 — 이 두 가지가 문제 풀이의 출발점이다.
예시$F(x)=\int_{1}^{x}(3t^{2}-2)\,dt$ 에서 $F(1)=0$
정적분으로 정의된 함수의 미분
기출 11회
위끝에 변수가 있는 정적분은 미분하면 적분 기호가 벗겨진다. 정적분이 들어간 등식은 양변을 미분해 보통의 함수 등식으로 바꾸는 것이 기본 전략이다.
$\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$, $\ \dfrac{d}{dx}\int_{x}^{x+a}f(t)\,dt=f(x+a)-f(x)$
예시$F(x)=\int_{1}^{x}(3t^{2}-2)\,dt$ 이면 $F'(x)=3x^{2}-2$
다항함수의 결정
기출 3회
정적분이 들어간 등식에서 미지의 다항함수를 찾을 때는 두 가지를 함께 쓴다 — 양변을 $x$ 로 미분해 적분 기호를 벗기는 것과, 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 대입해 $0$ 을 만드는 것. 미분으로 함수의 꼴을, 대입으로 상수를 결정한다.
예시$\int_{1}^{x}f(t)\,dt=x^{3}-1$ → 양변 미분으로 $f(x)=3x^{2}$, $x=1$ 대입으로 $0=1-1$ 성립 확인
정적분과 넓이
곡선과 x축 사이의 넓이
기출 9회
곡선 $y=f(x)$ 와 $x$축 사이의 넓이는 $|f(x)|$ 의 정적분이다. 곡선이 $x$축 아래에 있는 구간에서는 정적분 값이 음수가 되므로, $f(x)=0$ 인 지점에서 구간을 나눠 부호를 처리해야 한다.
$S=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx$
예시$y=x^{2}-1$ 과 $x$축 사이의 넓이는 $\int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx=\dfrac{4}{3}$
두 곡선 사이의 넓이
기출 9회
두 곡선 사이의 넓이는 (위쪽 함수)$-$(아래쪽 함수)의 정적분이다. 먼저 두 곡선의 교점을 구해 적분 구간을 정하고, 구간 안에서 어느 쪽이 위인지 확인한다. 위아래가 바뀌면 그 지점에서 구간을 나눈다.
$S=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx$ (구간에서 $f(x)\ge g(x)$ 일 때)
예시$y=x$ 와 $y=x^{2}$ 사이의 넓이는 $\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
속도와 거리
속도와 가속도
기출 2회
수직선 위를 움직이는 점의 위치 $x(t)$ 를 미분하면 속도 $v(t)$, 속도를 미분하면 가속도 $a(t)$ 다. 거꾸로 가속도를 적분하면 속도, 속도를 적분하면 위치로 돌아온다 — 적분 단원에서는 이 역방향이 주로 출제된다.
$v(t)=x'(t)$, $a(t)=v'(t)$ · 역으로 $v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(s)\,ds$
위치의 변화량
기출 11회
시각 $a$ 에서 $b$ 까지 속도를 그대로 적분한 값 $\int_{a}^{b}v(t)\,dt$ 가 위치의 변화량이다. 움직인 방향까지 반영된 값이라 음수가 될 수 있으며, 출발점으로 되돌아오면 0이다.
위치의 변화량 $=\int_{a}^{b}v(t)\,dt=x(b)-x(a)$
예시$v(t)=2t-4$ 일 때 $t=0$ 에서 $t=3$ 까지 위치의 변화량은 $\int_{0}^{3}(2t-4)\,dt=9-12=-3$
움직인 거리
기출 8회
실제로 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분한 값이다. 속도의 부호가 바뀌는 시각 — 운동 방향이 바뀌는 시각 — 에서 구간을 나눠 계산한다. 위치의 변화량과 다른 값이 될 수 있다는 것이 출제 포인트다.
움직인 거리 $=\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt$
예시$v(t)=2t-4$ 일 때 $t=0$ 에서 $t=3$ 까지 움직인 거리는 $\int_{0}^{2}(4-2t)\,dt+\int_{2}^{3}(2t-4)\,dt=4+1=5$
운동 방향과 속도
기출 4회
속도의 부호가 곧 운동 방향이다 — $v(t)\gt 0$ 이면 양의 방향, $v(t)\lt 0$ 이면 음의 방향으로 움직인다. 운동 방향이 바뀌는 순간은 $v(t)=0$ 이면서 그 앞뒤로 $v$ 의 부호가 바뀌는 시각이다.
예시$v(t)=2t-4$ 는 $t=2$ 에서 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $t=2$ 에서 운동 방향이 바뀐다
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
인수정리
기출 2회
다항식 $f(x)$ 에 대해 $f(a)=0$ 이면 $f(x)$ 는 $x-a$ 를 인수로 갖는다. 삼차 이상의 방정식을 인수분해할 때 근 하나를 대입으로 찾는 출발점이다.
$f(a)=0 \iff f(x)=(x-a)Q(x)$
방정식의 풀이
기출 1회
다항방정식은 우변을 0으로 만들고 인수분해하여 각 인수가 0이 되는 값을 찾는다. 교점·넓이 문제에서 적분 구간을 정하는 데 필요하다.
예시$x^{2}-x=0$ → $x(x-1)=0$ → $x=0$ 또는 $x=1$
이차방정식의 판별식
기출 1회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근 개수는 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호로 판정한다 — $D\gt 0$ 이면 서로 다른 두 실근, $D=0$ 이면 중근, $D\lt 0$ 이면 실근이 없다.
$D=b^{2}-4ac$
인수분해와 항등식
기출 1회
항등식은 문자에 어떤 값을 넣어도 성립하는 등식으로, 양변의 동류항 계수가 모두 같다. 정적분 등식에서 미지의 계수를 결정할 때 계수비교나 수치대입으로 쓴다.
예시$x^{2}+ax+b=(x-1)(x-2)$ 가 항등식이면 $a=-3,\ b=2$
이차함수의 대칭성
기출 1회
이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$ 의 그래프는 축 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 에 대하여 대칭이다. 두 교점의 $x$좌표의 평균이 축이 되므로, 넓이의 대칭 분할 문제에서 자주 쓰인다.
축: $x=-\dfrac{b}{2a}$
수직선 위의 두 점 사이의 거리
기출 1회
수직선 위의 두 점 $a,\ b$ 사이의 거리는 $|b-a|$ 다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 기초가 된다.
$\overline{AB}=|b-a|$
사잇값 정리
기출 1회
닫힌 구간에서 연속인 함수는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 적어도 한 번 가진다. $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 존재한다는 판정으로 쓰인다.
$f$ 가 $[a,\,b]$ 에서 연속이고 $f(a)f(b)\lt 0$ 이면 $f(c)=0$ 인 $c$ 가 $(a,\,b)$ 에 존재
다항함수의 미분법
기출 4회
$x^{n}$ 의 도함수는 $nx^{n-1}$, 두 함수의 곱은 $\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 로 미분한다. 적분 결과를 검산하는 도구이기도 하다.
$(x^{n})'=nx^{n-1}$, $(fg)'=f'g+fg'$
미분가능성과 연속성
기출 4회
미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아니다. 구간별로 정의된 함수가 경계에서 미분가능하려면 함숫값과 미분계수가 모두 이어져야 한다.
예시$y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않다
함수의 증가와 감소
기출 2회
구간에서 $f'(x)\gt 0$ 이면 그 구간에서 증가, $f'(x)\lt 0$ 이면 감소한다. 도함수의 부호로 그래프의 오르내림을 읽는다.
$f'(x)\gt 0$ → 증가, $f'(x)\lt 0$ → 감소
함수의 극대와 극소
기출 5회
$f'(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점에서 극대, 음에서 양으로 바뀌는 점에서 극소가 된다. $f'(a)=0$ 이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다.
예시$f(x)=x^{3}-3x$ 는 $x=-1$ 에서 극대값 $2$, $x=1$ 에서 극소값 $-2$
함수의 최대와 최소
기출 2회
닫힌 구간에서 연속인 함수의 최댓값·최솟값은 극값과 구간 양 끝의 함숫값을 모두 구해 비교하면 찾을 수 있다.
삼차함수의 그래프
기출 1회
삼차함수는 도함수(이차식)의 실근 개수에 따라 극값이 두 개 있거나 없으며, 극값이 없으면 단조롭게 증가 또는 감소한다. 그래프의 개형은 최고차항의 부호와 극값의 유무로 결정된다.
방정식의 실근과 함수의 그래프
기출 2회
방정식 $f(x)=g(x)$ 의 실근은 두 그래프의 교점의 $x$좌표다. 실근의 개수는 교점의 개수로, 근의 위치는 그래프의 위치 관계로 읽는다. 넓이 문제에서 적분 구간은 이 교점으로 정해진다.
예시$x^{2}=x+2$ 의 실근 $x=-1,\ 2$ 는 $y=x^{2}$ 과 $y=x+2$ 의 교점의 $x$좌표
치환적분법
기출 1회
$t=g(x)$ 로 놓아 적분변수를 바꾸는 방법으로, $\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt$ 가 성립한다(미적분 과목 범위).
$t=g(x)$ 일 때 $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt$