다항함수의 미분 — 기본 개념 잡기
기본 개념 47개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 순간속도와 접선 문제를 풀기 위해서다. 떨어지는 물체의 '지금 이 순간'의 속도를 구하려면 (이동 거리)÷(걸린 시간)에서 시간 간격을 0으로 보내야 하는데, 그대로 계산하면 $\dfrac{0}{0}$ 이 된다. 17세기에 뉴턴은 물체의 운동을 설명하려고, 라이프니츠는 곡선의 접선을 구하려고 각자 이 문제와 씨름했고, 두 사람이 독립적으로 찾은 답 — 평균변화율의 극한 — 이 미분이다.
지금 어디에 쓰이나 — 변화율이 있는 모든 곳이다. 물리에서 속도와 가속도는 위치를 시간으로 미분한 것이고, 경제학의 한계비용은 생산량 한 단위를 늘릴 때 비용이 얼마나 변하는지를 미분으로 잰 것이다. AI 학습의 핵심인 경사하강법은 오차 함수를 미분해 기울기가 낮아지는 방향으로 조금씩 이동하는 방법 — 도함수의 부호로 함수의 증가·감소를 읽는 이 단원의 원리가 그대로 쓰인다.
수능은 무엇을 묻나 — 미분계수의 정의를 이용한 극한 계산, 접선의 방정식, 도함수의 부호로 그린 그래프의 개형(증가·감소, 극대·극소)과 이를 이용한 최대·최소, 방정식의 실근의 개수, 그리고 속도와 가속도다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
평균변화율과 미분계수
평균변화율
기출 2회
$x$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 변할 때 함수 $y=f(x)$ 의 평균변화율은 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이다. 그래프에서는 두 점 $(a,\ f(a)),\ (b,\ f(b))$ 를 잇는 직선의 기울기와 같다.
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
예시$f(x)=x^{2}$ 에서 $x$ 가 $1$ 에서 $3$ 까지 변할 때 평균변화율은 $\dfrac{9-1}{3-1}=4$
미분계수의 뜻
기출 28회
$x=a$ 에서의 미분계수 $f'(a)$ 는 평균변화율의 극한 — 즉 $x=a$ 에서의 순간변화율이다. 극한이 존재할 때에만 정의되고, 정의식의 두 표현을 자유롭게 오가는 것이 계산 문제의 기본기다.
$f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
예시$f(x)=x^{2}$ 이면 $f'(1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{(1+h)^{2}-1}{h}=\lim_{h\to 0}(2+h)=2$
미분계수의 기하학적 의미
기출 4회
$f'(a)$ 는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\ f(a))$ 에서의 접선의 기울기다. 두 점을 잇는 직선(평균변화율)에서 한 점을 다른 점으로 한없이 가까이 보내면 그 직선이 접선으로 다가간다.
예시$y=x^{2}$ 위의 점 $(1,\ 1)$ 에서의 접선의 기울기는 $f'(1)=2$
미분가능성과 연속성
기출 8회
함수가 $x=a$ 에서 미분가능하면 그 점에서 연속이다. 그러나 역은 성립하지 않는다 — $y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 좌우의 미분계수가 $-1$ 과 $1$ 로 달라 미분가능하지 않다. 그래프가 꺾인 점에서는 연속이어도 미분이 깨진다.
예시$y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않다
도함수
도함수의 뜻
기출 3회
미분가능한 각 점 $x$ 에 그 점의 미분계수를 대응시켜 만든 새로운 함수를 도함수 $f'(x)$ 라 한다. 함수를 미분한다는 것은 이 도함수를 구하는 것이다.
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
다항함수의 도함수
기출 17회
$y=x^{n}$ ($n$ 은 양의 정수)의 도함수는 $y'=nx^{n-1}$ 이고, 상수함수의 도함수는 $0$ 이다. 지수를 계수로 내리고 지수를 하나 줄인다.
$(x^{n})'=nx^{n-1}$, $(c)'=0$
예시$y=x^{3}$ → $y'=3x^{2}$
함수의 실수배·합·차·곱의 미분법
기출 17회
실수배·합·차는 각각 미분한 것을 그대로 배·합·차하면 되고, 곱은 앞을 미분한 것에 뒤를 곱하고 뒤를 미분한 것에 앞을 곱해 더한다. 이 법칙으로 모든 다항함수를 항별로 미분할 수 있다.
$\{cf(x)\}'=cf'(x)$, $\{f(x)\pm g(x)\}'=f'(x)\pm g'(x)$, $\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
예시$y=(x^{2}+1)(x-1)$ → $y'=2x(x-1)+(x^{2}+1)=3x^{2}-2x+1$
접선의 방정식과 평균값 정리
접선의 방정식
기출 12회
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\ f(a))$ 에서의 접선은 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ 이다. 곡선 밖의 점에서 그은 접선이나 기울기가 주어진 접선은 접점을 $(t,\ f(t))$ 로 놓고 조건식을 세워 $t$ 를 구한다 — 접점 좌표 가정이 이 유형의 출발점이다.
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
예시$y=x^{2}$ 위의 점 $(1,\ 1)$ 에서의 접선은 $y=2(x-1)+1=2x-1$
롤의 정리
최근 5개년 직접 출제 없음
닫힌구간 $[a,\ b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a,\ b)$ 에서 미분가능한 함수가 $f(a)=f(b)$ 를 만족시키면, $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 $(a,\ b)$ 에 적어도 하나 존재한다. 양 끝 높이가 같으면 그 사이 어딘가에 접선이 수평인 점이 있다는 뜻이다.
평균값 정리
기출 3회
닫힌구간 $[a,\ b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a,\ b)$ 에서 미분가능한 함수에 대하여, 평균변화율과 같은 미분계수를 갖는 점 $c$ 가 $(a,\ b)$ 에 적어도 하나 존재한다. 롤의 정리를 기울어진 상황으로 일반화한 것이다.
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ 인 $c$ 가 $(a,\ b)$ 에 존재
예시$f(x)=x^{2}$, $[0,\ 2]$ 에서 평균변화율은 $2$ 이고 $f'(c)=2c=2$ 에서 $c=1$
함수의 증가·감소와 극대·극소
함수의 증가와 감소
기출 7회
어떤 구간에서 $f'(x)\gt 0$ 이면 그 구간에서 증가하고, $f'(x)\lt 0$ 이면 감소한다. 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 조건은 $f'(x)\ge 0$ 이 항상 성립하는 것 — 이차식 $f'$ 의 판별식 $D\le 0$ 으로 옮겨 적는다.
예시$f(x)=x^{3}-3x$ 는 $f'(x)=3(x+1)(x-1)$ 이므로 $x\lt -1,\ x\gt 1$ 에서 증가
함수의 극대와 극소
기출 29회
$f'(x)$ 의 부호가 $+$ 에서 $-$ 로 바뀌는 점에서 극대, $-$ 에서 $+$ 로 바뀌는 점에서 극소가 된다. 미분가능한 함수가 극값을 가지면 그 점에서 $f'(a)=0$ 이지만, 역은 성립하지 않는다 — $y=x^{3}$ 의 $x=0$ 처럼 $f'=0$ 이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다.
예시$f(x)=x^{3}-3x$ 는 $x=-1$ 에서 극댓값 $2$, $x=1$ 에서 극솟값 $-2$
함수의 그래프와 최대·최소
도함수를 이용한 함수의 그래프
기출 7회
$f'(x)=0$ 의 실근을 경계로 $f'$ 의 부호를 조사해 증감표를 만들고, 극값을 찍어 그래프의 개형을 그린다. 미분 단원의 그래프·방정식·최대최소 문제가 모두 이 개형 위에서 풀린다.
삼차함수의 그래프
기출 9회
삼차함수는 도함수(이차함수)가 서로 다른 두 실근을 가지면 극대·극소를 하나씩 갖고, 중근이거나 실근이 없으면 극값 없이 단조롭다. 그래프는 한 점에 대하여 점대칭이고, 극값을 갖는 점과 근 사이의 간격에 일정한 비율 관계가 있어 계산 지름길로 쓰인다.
예시$y=x^{3}-3x^{2}$ 은 $y'=3x(x-2)$ 이므로 $x=0$ 에서 극대, $x=2$ 에서 극소
사차함수의 그래프
기출 2회
최고차항의 계수가 양수인 사차함수는 그래프의 양 끝이 모두 위로 향한다. 도함수는 삼차식이므로 $f'(x)=0$ 의 실근에 따라 극값을 1개 또는 3개 가지며, 극값이 1개면 그 극솟값이 곧 최솟값이다.
예시$y=x^{4}-2x^{2}$ 은 $y'=4x(x^{2}-1)$ 이므로 $x=\pm 1$ 에서 극솟값 $-1$, $x=0$ 에서 극댓값 $0$
다항함수의 결정
기출 5회
차수·최고차항의 계수·근·극값·접선 같은 조건으로 다항함수의 식을 정하는 유형. 근이 주어지면 인수정리로 곱의 꼴을 세우고, 극값·미분 조건이 주어지면 $f'$ 에 대한 식으로 옮긴 뒤 나머지 조건을 대입해 미지수를 정한다.
예시최고차항의 계수가 1인 삼차함수가 $f(1)=f(2)=f(3)=0$ 이면 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$
함수의 최대와 최소
기출 5회
닫힌구간에서 연속인 함수의 최댓값·최솟값은 구간 안의 극값과 구간 양 끝의 함숫값을 비교해 구한다. 극값이 항상 최대·최소인 것은 아니다 — 끝 값이 더 클 수 있다.
예시$[0,\ 3]$ 에서 $f(x)=x^{3}-3x$ 는 $f(0)=0,\ f(1)=-2,\ f(3)=18$ 을 비교해 최댓값 $18$, 최솟값 $-2$
방정식과 부등식에의 활용
방정식의 실근과 함수의 그래프
기출 12회
방정식 $f(x)=k$ 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=k$ 의 교점의 개수와 같다. 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 (극댓값)$\times$(극솟값)$\lt 0$ 이다.
예시$x^{3}-3x=k$ 가 서로 다른 세 실근을 가지려면 $-2\lt k\lt 2$
도함수를 이용한 부등식의 증명
기출 1회
어떤 범위에서 부등식 $f(x)\ge 0$ 이 항상 성립함을 보이려면, 그 범위에서 $f$ 의 최솟값을 구해 최솟값이 $0$ 이상임을 확인한다. 두 식의 대소 비교는 차를 새 함수로 놓고 같은 방법을 쓴다.
예시$x\ge 0$ 에서 $x^{3}+2\ge 3x$ — $f(x)=x^{3}-3x+2$ 의 최솟값이 $f(1)=0\ge 0$
속도와 가속도
속도와 가속도
기출 4회
수직선 위를 움직이는 점의 위치가 $x(t)$ 일 때, 위치를 시각으로 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도다. 미분을 두 번 겹쳐 쓰는 대표적인 활용이다.
$v(t)=x'(t)$, $a(t)=v'(t)$
예시$x(t)=t^{3}$ → $v(t)=3t^{2}$, $a(t)=6t$
위치와 속도의 관계
기출 7회
위치 $x(t)$ 의 순간변화율이 속도 $v(t)$ 다. 속도의 부호는 움직이는 방향을, 속도의 절댓값 $|v(t)|$ 는 속력을 나타낸다.
예시$x(t)=t^{2}-4t$ 이면 $v(t)=2t-4$, $t=1$ 에서 속도 $-2$, 속력 $2$
운동 방향과 속도
기출 6회
$v(t)\gt 0$ 이면 양의 방향, $v(t)\lt 0$ 이면 음의 방향으로 움직인다. $v(t)=0$ 이고 그 앞뒤에서 속도의 부호가 바뀌면 그 순간 운동 방향이 바뀐다 — 부호가 바뀌지 않으면 방향 전환이 아니다.
예시$x(t)=t^{2}-4t$ 는 $t=2$ 에서 $v=0$ 이고 부호가 $-$ 에서 $+$ 로 바뀌어 운동 방향을 바꾼다
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
인수정리
기출 2회
다항식 $f(x)$ 에 대하여 $f(a)=0$ 이면 $f(x)$ 는 $x-a$ 를 인수로 가진다. 근이 주어진 다항함수의 식을 곱의 꼴로 세우는 근거다.
예시$f(2)=0$ 인 삼차식은 $f(x)=(x-2)(ax^{2}+bx+c)$ 꼴로 쓸 수 있다
방정식의 풀이
기출 2회
다항방정식은 인수분해해 각 인수가 0이 되는 값을 찾는다. 삼차 이상은 인수정리로 근을 하나 찾아 $x-a$ 로 나눈 뒤 차수를 낮춘다.
예시$x^{3}-x=0$ → $x(x-1)(x+1)=0$ → $x=0,\ \pm 1$
이차방정식의 판별식
기출 1회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근 개수는 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호로 판정한다 — $D\gt 0$ 서로 다른 두 실근, $D=0$ 중근, $D\lt 0$ 실근 없음. 삼차함수가 극값을 가질 조건이 $f'(x)=0$ 의 판별식 문제로 귀결된다.
이차방정식의 근과 계수의 관계
기출 2회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근 $\alpha,\ \beta$ 에 대하여 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. $f'(x)=0$ 의 두 근(극값을 갖는 $x$)의 합과 곱을 근을 직접 구하지 않고 다룰 때 쓴다.
예시$3x^{2}-6x+1=0$ 의 두 근의 합은 $2$, 곱은 $\dfrac{1}{3}$
이차부등식이 항상 성립할 조건
기출 1회
모든 실수 $x$ 에 대하여 $ax^{2}+bx+c\ge 0$ 이 성립할 조건은 $a\gt 0$ 이고 $D\le 0$ 이다. 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 조건($f'(x)\ge 0$ 항상 성립)이 이 문제로 바뀐다.
$a\gt 0,\ D=b^{2}-4ac\le 0$
이차함수의 대칭성
기출 2회
$y=ax^{2}+bx+c$ 의 그래프는 축 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 에 대하여 대칭이다. $f(p)=f(q)$ 이면 축은 $x=\dfrac{p+q}{2}$ 이다.
이차함수의 최대·최소
기출 2회
이차함수는 꼭짓점에서 최대 또는 최소가 된다. 구간이 제한되면 꼭짓점이 구간 안에 있는지 확인하고 구간 끝 값과 비교한다.
거듭제곱근
기출 1회
$x^{n}=a$ 를 만족시키는 $x$ 를 $a$ 의 $n$제곱근이라 하고, $a\gt 0$ 일 때 양의 $n$제곱근을 $\sqrt[n]{a}$ 로 나타낸다.
예시$\sqrt[3]{27}=3$
평행이동과 대칭이동
기출 2회
$y=f(x)$ 를 $x$축 방향 $m$, $y$축 방향 $n$ 만큼 평행이동하면 $y=f(x-m)+n$. $x$축 대칭은 $y=-f(x)$, $y$축 대칭은 $y=f(-x)$. 평행이동해도 그래프의 개형과 극값의 개수는 변하지 않는다.
절댓값을 포함한 함수의 그래프
기출 2회
절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 경계로 구간을 나눠 절댓값을 벗기고 그린다. $y=|f(x)|$ 는 $y=f(x)$ 의 $x$축 아랫부분을 위로 접어 올린 것으로, 접힌 점에서 미분가능성이 깨질 수 있다.
합성함수 방정식
기출 1회
$f(g(x))=k$ 꼴의 방정식은 $g(x)=t$ 로 치환해 $f(t)=k$ 의 해 $t$ 를 먼저 구하고, 각 $t$ 마다 $g(x)=t$ 의 실근의 개수를 그래프의 교점으로 센다.
두 직선의 위치 관계
기출 2회
기울기가 각각 $m_{1},\ m_{2}$ 인 두 직선은 $m_{1}=m_{2}$ 이면 평행하고($y$절편까지 같으면 일치), $m_{1}m_{2}=-1$ 이면 수직이다. 접선과 수직인 직선(법선)의 기울기를 구할 때 쓴다.
예시기울기가 $2$ 인 접선과 수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$
삼각형의 넓이
기출 1회
삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times$밑변$\times$높이. 곡선 위의 점이 움직일 때 넓이를 함수로 세워 최대·최소를 구하는 활용 문제에서 쓴다.
원주각의 성질
기출 1회
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 그 호에 대한 중심각의 절반이다. 특히 반원에 대한 원주각은 $90^{\circ}$ 이다.
함수의 극한
기출 5회
$x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 일정한 값 $L$ 에 가까워지면 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 이다. 미분계수는 $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한으로 정의되므로, 인수분해로 공통인수를 약분하는 극한 계산이 이 단원의 전제다.
예시$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2$
좌극한과 우극한
기출 2회
$a$ 보다 작은 쪽에서 다가간 극한이 좌극한, 큰 쪽에서 다가간 극한이 우극한이다. 두 값이 모두 존재하고 같을 때에만 극한이 존재한다 — 미분가능성 판정에서 좌우 미분계수 비교로 이어진다.
함수의 극한의 대소 관계
기출 1회
$a$ 근처에서 $f(x)\le h(x)\le g(x)$ 이고 $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L$ 이면 $\lim_{x\to a}h(x)=L$ 이다. 부등식 조건만 주어진 함수의 극한이나 미분계수를 확정할 때 쓴다.
함수의 연속
기출 8회
$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 일 때 $x=a$ 에서 연속이다. 미분가능하면 연속이므로, 미지수가 든 함수의 미분가능 조건 문제는 연속 조건과 미분계수 일치 조건 두 개의 식으로 풀린다.
사잇값 정리
기출 1회
닫힌구간에서 연속인 함수는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 적어도 한 번 가진다. $f(a)f(b)\lt 0$ 이면 $(a,\ b)$ 에 실근이 존재한다는 판정으로, 그래프 개형과 함께 실근의 위치를 좁힐 때 쓴다.
부정적분
기출 3회
미분하면 $f(x)$ 가 되는 함수 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 로 나타낸다. 미분의 역과정이다.
$\int x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ ($n$ 은 음이 아닌 정수)
정적분의 성질
기출 6회
정적분은 구간을 쪼개거나 이어 붙일 수 있고, 실수배·합·차를 적분 밖으로 꺼낼 수 있다. 구간별로 정의된 함수나 절댓값이 든 함수는 구간을 나눠 적분한다.
$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
정적분과 미분의 관계
기출 12회
$\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$ — 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수로 돌아온다. 적분이 든 등식에서 $f$ 를 복원할 때 양변을 미분하는 근거다.
$\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$
정적분과 넓이
기출 4회
곡선 $y=f(x)$ 와 $x$축 사이의 넓이는 $\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx$ 이고, 두 곡선 사이의 넓이는 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 식의 정적분이다.
$S=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx$ $(f(x)\ge g(x))$
움직인 거리
기출 5회
속도 $v(t)$ 로 움직이는 점이 $t=a$ 부터 $t=b$ 까지 실제로 움직인 거리는 속력의 정적분 $\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt$ 이다. 위치의 변화량 $\int_{a}^{b}v(t)\,dt$ 와는 다르다.
$s=\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt$
치환적분법
기출 1회
$t=g(x)$ 로 놓으면 $\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt$ — 합성함수의 미분법을 거꾸로 쓴 적분법이다(미적분 과목 범위).