함수의 극한과 연속 — 기본 개념 잡기

기본 개념 37개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결

수학Ⅱ(공통)

이 개념이 왜 생겼나 — '한없이 가까워진다'를 계산할 수 있는 개념으로 만들기 위해서다. 17세기에 뉴턴과 라이프니츠는 순간속도와 접선을 구하는 미적분을 만들었지만, 그 바탕에 있는 '0에 한없이 가까운 양'이 정확히 무엇인지는 설명하지 못했다. 이 빈틈은 19세기에 코시와 바이어슈트라스가 극한을 엄밀하게 정의하면서 메워졌고, 그래프가 끊어지지 않는다는 직관인 연속도 극한의 언어로 다시 적혔다. 이 단원은 미분과 적분 전체를 떠받치는 논리적 기초다.

지금 어디에 쓰이나 — 근사가 필요한 모든 계산의 밑바탕이다. 컴퓨터는 곡선의 길이도 방정식의 해도 '점점 가까워지는 값'의 나열로 계산하는데, 그 값이 목표에 수렴함을 보증하는 것이 극한이다. 연속함수의 성질인 사잇값 정리는 '양 끝에서 부호가 다르면 그 사이에 근이 있다'는 판정이 되어, 해를 절반씩 좁혀 가는 수치 계산(이분법)의 원리로 쓰인다.

수능은 무엇을 묻나 — 그래프에서 좌극한·우극한을 읽는 문제, $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한의 계산과 미정계수의 결정, 구간별로 정의된 함수가 이어질 조건, 사잇값 정리를 이용한 실근의 존재다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.

함수의 극한

함수의 극한의 뜻

기출 6회

$x$ 가 $a$ 가 아니면서 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 의 값이 일정한 값 $L$ 에 한없이 가까워지면, $f(x)$ 는 $L$ 에 수렴한다고 하고 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 로 나타낸다. 극한값은 $x=a$ 에서의 함숫값 $f(a)$ 와는 무관하다 — $f(a)$ 가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다.

예시$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ 은 $x=1$ 에서 정의되지 않지만 $\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=2$

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좌극한과 우극한

기출 16회

$x$ 가 $a$ 보다 작은 쪽에서 다가갈 때의 극한이 좌극한 $\lim_{x\to a-}f(x)$, 큰 쪽에서 다가갈 때의 극한이 우극한 $\lim_{x\to a+}f(x)$ 이다. 절댓값 함수나 구간별로 정의된 함수는 경계에서 두 값이 다를 수 있으므로 반드시 나눠서 본다.

예시$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 이면 $\lim_{x\to 0-}f(x)=-1$, $\lim_{x\to 0+}f(x)=1$

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함수의 극한의 존재 조건

기출 5회

$x=a$ 에서 극한값이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같다는 것이다. 그래프가 주어진 극한 문제는 이 조건 하나로 판정한다.

$\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L \iff \lim_{x\to a}f(x)=L$

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함수의 극한의 성질

기출 1회

수렴하는 두 함수의 합·차·곱·몫의 극한은 극한값의 합·차·곱·몫과 같다. 몫은 분모의 극한이 0이 아닐 때만 성립한다. 복잡한 극한을 이미 아는 극한들로 쪼개는 근거다.

$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\ \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ 일 때 $\lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha\pm\beta$, $\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$, $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ $(\beta\neq 0)$

예시$\lim_{x\to 1}(x^{2}+2x)=\lim_{x\to 1}x^{2}+\lim_{x\to 1}2x=1+2=3$

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2025 6월 모평 11번

함수의 극한의 대소 관계

최근 5개년 직접 출제 없음

$a$ 근처에서 $f(x)\le h(x)\le g(x)$ 이고 $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L$ 이면 $\lim_{x\to a}h(x)=L$ 이다. 식을 직접 알 수 없는 함수를 양쪽에서 조여 극한을 확정할 때 쓴다.

예시$x=1$ 근처에서 $2x-1\le h(x)\le x^{2}$ 이면 $\lim_{x\to 1}h(x)=1$

함수의 극한값의 계산

극한값의 계산

기출 3회

다항함수처럼 연속인 함수는 $x=a$ 를 대입해 극한값을 구한다. 대입했을 때 $\dfrac{0}{0}$ 이나 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 같은 꼴이 되면 인수분해·유리화·최고차항 정리로 식을 고친 뒤 대입한다. 그래프가 주어지면 좌우에서 다가가는 값을 그래프에서 직접 읽는다.

예시$\lim_{x\to 2}(x^{2}+1)=2^{2}+1=5$

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2023 수능 2번 2024 9월 모평 4번 2026 9월 모평 13번

0/0 꼴의 극한

기출 4회

분자와 분모가 모두 0으로 가는 극한. 다항식이면 인수분해해 공통인수 $x-a$ 를 약분하고, 근호가 있으면 유리화한 뒤 약분한다. 미분계수의 정의를 비롯해 이 단원 계산 문제의 대부분이 이 꼴로 귀결된다.

예시$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2023 6월 모평 22번 2023 9월 모평 12번 2024 9월 모평 2번 2027 6월 모평 11번

∞/∞ 꼴의 극한

기출 1회

분자와 분모가 모두 한없이 커지는 극한. 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나눈다. 분자의 차수가 분모보다 낮으면 0, 같으면 최고차항의 계수의 비, 높으면 발산한다.

예시$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^{2}+x}{x^{2}+3}=2$ (분자·분모를 $x^{2}$ 으로 나눔)

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2023 수능 2번

미정계수의 결정

기출 2회

극한값이 존재한다는 조건으로 식 속의 미지수를 정하는 유형. $x\to a$ 일 때 극한값이 존재하는데 분모가 0으로 가면 분자도 0으로 가야 한다 — 이 필요조건으로 미지수 하나를 먼저 지우고, 인수분해해 남은 극한값으로 나머지를 정한다.

예시$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-1}=3$ 이면 분자 $\to 0$ 에서 $1+a+b=0$, 인수분해 후 극한 $2+a=3$ → $a=1,\ b=-2$

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2022 9월 모평 8번 2022 수능 12번

함수의 연속

함수의 연속의 뜻

기출 20회

함수 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이라는 것은 $f(a)$ 가 정의되고, $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하며, 두 값이 같다는 것이다. 셋 중 하나라도 무너지면 그 점에서 불연속이다.

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

구간

최근 5개년 직접 출제 없음

두 실수 $a,\ b\ (a\lt b)$ 에 대하여 $a\le x\le b$ 인 실수 전체의 집합을 닫힌구간 $[a,\ b]$, $a\lt x\lt b$ 인 집합을 열린구간 $(a,\ b)$ 라 한다. 최대·최소 정리와 사잇값 정리는 '닫힌구간에서 연속'이라는 조건 위에서 성립한다.

구간별로 정의된 함수의 연속

기출 3회

식이 구간마다 다르게 주어진 함수는 식이 바뀌는 경계점에서만 연속이 문제 된다. 경계점에서 좌극한·우극한·함숫값이 모두 같은지 확인한다. 미지수가 든 연속 조건 문제의 표준 꼴이다.

예시$x\lt 1$ 에서 $f(x)=x+k$, $x\ge 1$ 에서 $f(x)=x^{2}$ 인 함수가 $x=1$ 에서 연속이려면 $1+k=1^{2}$, 즉 $k=0$

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2023 6월 모평 6번 2024 수능 4번 2025 6월 모평 9번

함수의 불연속

기출 1회

연속의 세 조건 중 하나라도 만족시키지 못하는 점에서 함수는 불연속이다. 곡선과 직선의 교점의 개수처럼 조건에 따라 값이 갑자기 바뀌는 함수를 새로 정의하고 그 불연속점을 찾게 하는 유형이 출제된다.

예시$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 는 $x=0$ 에서 좌극한 $-1$, 우극한 $1$ 로 달라 불연속

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2024 수능 14번

연속함수의 성질

기출 3회

두 함수 $f,\ g$ 가 연속이면 $cf,\ f\pm g,\ fg$ 도 연속이고, $g(x)\neq 0$ 인 범위에서 $\dfrac{f}{g}$ 도 연속이다. 다항함수는 실수 전체에서 연속이고, 유리함수는 분모가 0이 되지 않는 범위에서 연속이다.

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2022 6월 모평 8번 2024 6월 모평 미적분 28번 2025 수능 4번

최대·최소 정리

기출 1회

닫힌구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 구간이 열려 있거나 함수가 불연속이면 성립하지 않을 수 있다.

예시$[0,\ 2]$ 에서 연속인 $f(x)=x^{2}$ 은 최댓값 $4$, 최솟값 $0$ 을 가진다

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2023 수능 14번

사잇값 정리

기출 3회

닫힌구간 $[a,\ b]$ 에서 연속인 함수 $f$ 는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 임의의 값 $k$ 에 대하여 $f(c)=k$ 인 $c$ 를 $(a,\ b)$ 에서 적어도 하나 가진다. 특히 $f(a)f(b)\lt 0$ 이면 방정식 $f(x)=0$ 은 $(a,\ b)$ 에서 적어도 하나의 실근을 가진다 — 실근의 존재·개수 판정의 핵심 도구다.

예시$f(x)=x^{3}+x-1$ 은 $f(0)=-1\lt 0,\ f(1)=1\gt 0$ 이므로 $(0,\ 1)$ 에 실근이 있다

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2023 6월 모평 14번 2024 6월 모평 미적분 28번 2026 6월 모평 미적분 28번

함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념

일차함수의 성질

기출 1회

$y=ax+b$ 의 그래프는 기울기 $a$, $y$절편 $b$ 인 직선이다. $a\gt 0$ 이면 증가, $a\lt 0$ 이면 감소한다.

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2027 6월 모평 11번

함수의 그래프

기출 1회

함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 점 $(x,\ f(x))$ 전체의 집합이다. 극한과 연속은 그래프의 개형을 그려 좌우에서 다가가는 값을 눈으로 확인하는 것이 판단의 기본이다.

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2026 수능 21번

역함수의 성질

기출 1회

$f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$ 이고, $y=f(x)$ 와 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다. 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 한다.

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2026 수능 미적분 30번

삼각형의 넓이

기출 1회

삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times$밑변$\times$높이. 그래프 위의 점으로 만든 삼각형의 넓이를 식으로 세워 극한을 구하는 문제에서 쓴다.

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2022 6월 모평 미적분 28번

인수정리

기출 3회

다항식 $f(x)$ 에 대하여 $f(a)=0$ 이면 $f(x)$ 는 $x-a$ 를 인수로 가진다. $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한에서 분자·분모를 인수분해하는 근거다.

예시$f(1)=0$ 인 다항식은 $x-1$ 로 나누어떨어진다

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2022 9월 모평 8번 2024 9월 모평 15번 2026 6월 모평 21번

이차방정식의 판별식

기출 2회

$ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근 개수는 판별식 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호로 판정한다 — $D\gt 0$ 서로 다른 두 실근, $D=0$ 중근, $D\lt 0$ 실근 없음.

이 개념이 쓰인 기출 — 눌러서 해설 보기2025 수능 21번 2026 9월 모평 13번

이차방정식의 근과 계수의 관계