미분법 — 기본 개념 잡기
기본 개념 51개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 자연 현상의 변화율을 정확히 적기 위해서다. 1683년 야코프 베르누이는 이자를 무한히 잘게 나누어 붙이는 복리 문제를 궁리하다가 $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ 이 $n$ 을 아무리 키워도 어떤 한 값을 넘지 못하고 그 값에 다가간다는 것을 발견했고, 오일러가 이 수에 $e$ 라는 이름을 붙였다($e=2.718\cdots$). $e$ 를 밑으로 하면 지수함수는 미분해도 자기 자신이 된다 — 변화 속도가 현재 크기에 비례하는 현상을 적는 데 가장 자연스러운 밑이다. 한편 각을 라디안으로 재면 $(\sin x)'=\cos x$ 라는 깨끗한 공식이 성립해, 진동하고 회전하는 현상의 변화율까지 미분으로 다룰 수 있게 되었다.
지금 어디에 쓰이나 — 인구의 증가, 방사성 물질의 붕괴, 뜨거운 물체의 냉각, 전염병의 확산처럼 '크기에 비례해 변하는' 현상이 $e^{x}$ 와 $\ln x$ 로 모형화되고, 소리·전파·교류 전기처럼 주기적으로 진동하는 현상은 삼각함수의 미분으로 기술된다. 비용을 최소로, 효율을 최대로 만드는 최적화 문제, 움직이는 물체의 속도와 가속도 계산도 모두 이 단원의 도함수 위에서 이루어진다.
수능은 무엇을 묻나 — 두 축이다. 하나는 여러 가지 미분법(합성함수·몫·매개변수·음함수·역함수)을 정확하게 계산하는 능력이고, 다른 하나는 도함수와 이계도함수로 함수의 증감·극값·오목볼록·변곡점을 읽어 그래프의 개형을 그리고, 방정식의 실근 개수와 최대·최소, 평면 운동의 속도·가속도로 연결하는 능력이다. 미적분 과목의 고난도 문항이 집중되는 단원이므로, 아래 개념들을 순서대로 읽으며 계산 규칙과 그래프 해석을 함께 갖추어야 한다.
지수함수와 로그함수의 미분
지수함수와 로그함수의 극한
기출 8회
$a\gt 1$ 일 때 $\lim\limits_{x\to\infty}a^{x}=\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}a^{x}=0$ 이고 $0\lt a\lt 1$ 이면 반대다. 로그함수는 $a\gt 1$ 일 때 $\lim\limits_{x\to\infty}\log_{a}x=\infty$, $\lim\limits_{x\to 0+}\log_{a}x=-\infty$ — 그래프의 개형이 곧 극한이다. $x\to 0$ 에서의 미정 꼴은 $e$ 의 정의에서 나오는 기본 극한으로 처리한다.
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\log_{a}(1+x)}{x}=\dfrac{1}{\ln a}$, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a$
예시$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times 2=2$
e와 자연로그
최근 5개년 직접 출제 없음
$x\to 0$ 일 때 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 은 일정한 값에 수렴하는데, 이 극한값을 $e$ 로 나타낸다. $e=2.71828\cdots$ 인 무리수다. $e$ 를 밑으로 하는 로그 $\log_{e}x$ 를 자연로그라 하고 $\ln x$ 로 쓴다.
$e=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$, $\ \ln x=\log_{e}x$
예시$\lim\limits_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}\left\{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right\}^{2}=e^{2}$
지수함수의 미분
기출 7회
$y=e^{x}$ 는 미분해도 자기 자신이다 — 모든 점에서 접선의 기울기가 그 점의 함숫값과 같다. 밑이 일반적인 $a$ 이면 $\ln a$ 가 곱해진다.
$(e^{x})'=e^{x}$, $\ (a^{x})'=a^{x}\ln a$ $(a\gt 0,\ a\neq 1)$
예시$y=3e^{x}$ 의 $x=0$ 에서의 미분계수는 $3e^{0}=3$
로그함수의 미분
기출 1회
$y=\ln x$ 의 도함수는 $\dfrac{1}{x}$ 이다. 밑이 $a$ 인 로그는 $\ln a$ 로 나눈다.
$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$, $\ (\log_{a}x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ $(x\gt 0)$
예시$y=\ln x$ 의 $x=2$ 에서의 미분계수는 $\dfrac{1}{2}$
삼각함수의 미분
여러 가지 삼각함수(코시컨트·시컨트·코탄젠트)
최근 5개년 직접 출제 없음
$\sin,\ \cos,\ \tan$ 의 역수로 정의되는 세 삼각함수다. $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$, $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$, $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$.
$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$, $\ 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$
예시$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ 일 때 $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{3}}=2$
삼각함수의 덧셈정리
기출 5회
두 각의 합·차의 삼각함수를 각각의 삼각함수로 나타내는 공식. 두 직선이 이루는 각, 도형에서 각을 쪼개고 합치는 계산의 중심 도구다.
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$, $\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
예시$\sin 75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
삼각함수의 극한
기출 8회
각의 단위가 라디안일 때 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 이 성립한다. 삼각함수가 들어간 $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한은 이 극한이 나오도록 식을 변형하는 것이 기본이고, 사인·코사인함수 미분 공식의 근거이기도 하다.
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, $\ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$, $\ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}$
예시$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$
사인함수와 코사인함수의 미분
기출 7회
사인을 미분하면 코사인, 코사인을 미분하면 사인에 음의 부호가 붙는다. 네 번 미분하면 자기 자신으로 돌아온다.
$(\sin x)'=\cos x$, $\ (\cos x)'=-\sin x$
예시$y=\sin x$ 의 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 에서의 미분계수는 $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$
여러 가지 미분법
함수의 몫의 미분법
기출 1회
분수 꼴 함수의 도함수는 '분자 미분 곱하기 분모, 빼기 분자 곱하기 분모 미분'을 분모의 제곱으로 나눈다. $\tan,\ \sec,\ \csc,\ \cot$ 의 미분 공식이 모두 여기서 나온다.
$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}$, $\ \left\{\dfrac{1}{g(x)}\right\}'=-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}$ · 따름공식 $(\tan x)'=\sec^{2}x$, $(\sec x)'=\sec x\tan x$, $(\csc x)'=-\csc x\cot x$, $(\cot x)'=-\csc^{2}x$
예시$\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$
합성함수의 미분법
기출 18회
겉함수를 미분한 값에 속함수를 미분한 값을 곱한다. $y=f(u),\ u=g(x)$ 로 쪼개면 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — 이 단원 계산 전체에서 가장 자주 쓰이는 규칙이다.
$\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)$
예시$(e^{2x})'=e^{2x}\times 2=2e^{2x}$, $\ \{\sin(x^{2})\}'=2x\cos(x^{2})$
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
기출 7회
$x=f(t),\ y=g(t)$ 로 주어진 곡선에서 $\dfrac{dy}{dx}$ 는 $t$ 에 대한 두 미분의 비로 구한다.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$ $(f'(t)\neq 0)$
예시$x=t^{2},\ y=t^{3}$ 이면 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$ $(t\neq 0)$
음함수의 미분법
기출 9회
$x^{2}+y^{2}=1$ 처럼 $y$ 가 $x$ 로 풀려 있지 않은 식에서는, $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 양변을 $x$ 에 대하여 미분한다. $y$ 가 들어간 항을 미분할 때 $\dfrac{dy}{dx}$ 가 곱해진다.
예시$x^{2}+y^{2}=1$ 의 양변을 미분하면 $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$, 즉 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ $(y\neq 0)$
역함수의 미분법
기출 8회
역함수의 미분계수는 원래 함수의 미분계수의 역수다. $b=f(a)$ 일 때 $(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$ — 역함수의 식을 직접 구하지 않아도 미분계수를 계산할 수 있다.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$ $\left(\dfrac{dx}{dy}\neq 0\right)$
예시$f(x)=x^{3}+x$ 는 $f(1)=2$ 이므로 $(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4}$
이계도함수
기출 1회
도함수 $f'(x)$ 를 한 번 더 미분한 함수 $f''(x)$. 곡선의 오목·볼록과 변곡점을 판정하고, 운동에서는 가속도를 나타낸다.
예시$f(x)=\sin x$ 이면 $f''(x)=-\sin x$
도함수의 활용
접선의 방정식
기출 15회
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\ f(a))$ 에서의 접선은 기울기가 $f'(a)$ 인 직선이다. 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 $(t,\ f(t))$ 로 놓고 조건식을 세운다. 매개변수·음함수로 주어진 곡선에서도 기울기만 해당 미분법으로 구하면 같은 틀이다.
$y-f(a)=f'(a)(x-a)$
예시$y=e^{x}$ 의 $x=0$ 에서의 접선은 $y=x+1$
함수의 증가와 감소
기출 1회
어떤 구간에서 $f'(x)\gt 0$ 이면 $f$ 는 그 구간에서 증가하고, $f'(x)\lt 0$ 이면 감소한다. 도함수의 부호를 조사하는 것이 그래프 해석의 출발점이다.
예시$f(x)=xe^{x}$ 은 $f'(x)=(x+1)e^{x}$ 이므로 $x\gt -1$ 에서 증가, $x\lt -1$ 에서 감소
함수의 극대와 극소
기출 11회
$x=a$ 의 좌우에서 $f'(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(a)$ 는 극댓값, 음에서 양으로 바뀌면 극솟값이다. 미분가능한 함수가 $x=a$ 에서 극값을 가지면 $f'(a)=0$ 이지만, 역은 성립하지 않는다. 이계도함수로는 $f'(a)=0,\ f''(a)\lt 0$ 이면 극대, $f''(a)\gt 0$ 이면 극소로 판정한다.
예시$f(x)=xe^{x}$ 은 $x=-1$ 에서 $f'$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 $f(-1)=-\dfrac{1}{e}$
곡선의 오목과 볼록, 변곡점
기출 1회
어떤 구간에서 $f''(x)\gt 0$ 이면 곡선은 아래로 볼록, $f''(x)\lt 0$ 이면 위로 볼록하다. 오목·볼록이 바뀌는 점이 변곡점이며, $x=a$ 가 변곡점이려면 $f''(a)=0$ 이고 그 좌우에서 $f''$ 의 부호가 바뀌어야 한다.
예시$f(x)=x^{3}$ 은 $f''(x)=6x$ 의 부호가 $x=0$ 에서 바뀌므로 변곡점은 $(0,\ 0)$
함수의 그래프
기출 2회
정의역, 대칭성, 점근선, $f'$ 의 부호(증감·극값), $f''$ 의 부호(오목볼록·변곡점)를 차례로 조사해 곡선의 개형을 그린다. $x\to\pm\infty$ 나 정의되지 않는 점 부근의 극한으로 점근선을 확정하는 단계까지가 한 세트다.
예시$y=xe^{-x}$ 는 $x=1$ 에서 극대, $x=2$ 에서 변곡점이고 $\lim\limits_{x\to\infty}xe^{-x}=0$ 이므로 $x$축이 점근선이다
함수의 최대와 최소
최근 5개년 직접 출제 없음
닫힌 구간에서 연속인 함수는 반드시 최댓값과 최솟값을 가지며, 그 후보는 구간 안의 극값과 양 끝에서의 함숫값뿐이다. 이 값들을 모두 구해 비교한다.
예시$f(x)=x-2\ln x$ 는 $[1,\ e]$ 에서 $f(1)=1,\ f(2)=2-2\ln 2,\ f(e)=e-2$ 를 비교하면 최솟값은 $f(2)=2-2\ln 2$
방정식과 부등식에의 활용
기출 5회
방정식 $f(x)=k$ 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=k$ 의 교점의 개수다 — 그래프의 개형(극값·점근선)을 그려 $k$ 의 위치에 따라 센다. 부등식 $f(x)\ge 0$ 이 어떤 범위에서 항상 성립함을 보이려면 그 범위에서 $f$ 의 최솟값이 0 이상임을 보인다.
예시$xe^{-x}=k$ 의 실근 개수는 $y=xe^{-x}$ 의 극댓값이 $\dfrac{1}{e}$ 이므로 $0\lt k\lt \dfrac{1}{e}$ 일 때 2개
속도와 가속도(평면 운동)
기출 1회
좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$ 의 시각 $t$ 에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)$, 가속도는 $\left(\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}},\ \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)$ 이다. 속력은 속도의 크기다.
속력 $=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}$, 가속도의 크기 $=\sqrt{\left(\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)^{2}+\left(\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}}$
예시$x=t^{2},\ y=t^{3}$ 이면 $t=1$ 에서 속도는 $(2,\ 3)$, 속력은 $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
함수의 극한
기출 4회
$x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 일정한 값 $L$ 에 가까워지면 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ 로 나타낸다. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.
함수의 연속
기출 5회
$f(a)$ 가 정의되고, $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 가 존재하며, 두 값이 같을 때 $f$ 는 $x=a$ 에서 연속이다. 미분가능성·최대최소 정리의 전제 조건으로 쓰인다.
사잇값 정리
기출 2회
닫힌 구간에서 연속인 함수는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 적어도 한 번 가진다. $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 존재한다는 판정으로 쓰인다.
미분계수와 미분가능성
기출 7회
$f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 가 존재하면 $f$ 는 $x=a$ 에서 미분가능하다 하고, 이 값이 그 점에서의 접선의 기울기다. 미분가능하면 연속이지만 역은 성립하지 않는다.
도함수
기출 1회
각 점 $x$ 에 미분계수를 대응시킨 함수 $f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. 함수의 변화율을 한꺼번에 담은 함수다.
곱의 미분법
기출 2회
두 함수의 곱의 도함수는 앞을 미분한 것에 뒤를 곱하고, 앞에 뒤를 미분한 것을 곱해 더한다.
$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
예시$(xe^{x})'=e^{x}+xe^{x}=(x+1)e^{x}$
삼차함수의 그래프
기출 3회
삼차함수의 도함수는 이차함수이므로 극값을 2개 갖거나 갖지 않으며, 그래프는 변곡점에 대하여 점대칭이다.
삼차방정식의 실근의 개수
기출 1회
삼차함수가 극값을 가질 때 (극댓값)$\times$(극솟값)$\lt 0$ 이면 서로 다른 세 실근, $=0$ 이면 중근을 포함한 두 실근, $\gt 0$ 이거나 극값이 없으면 실근 1개다.
우함수와 기함수
기출 1회
$f(-x)=f(x)$ 인 함수(우함수)의 그래프는 $y$축 대칭, $f(-x)=-f(x)$ 인 함수(기함수)는 원점 대칭이다. 정적분에서 $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx$ 는 우함수면 $2\int_{0}^{a}f(x)\,dx$, 기함수면 $0$ 이다.
여러 가지 적분법
기출 8회
미분 공식을 거꾸로 읽은 부정적분 공식들. 도함수의 활용 문제에서 원래 함수를 복원할 때 쓴다.
$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, $\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$, $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int \cos x\,dx=\sin x+C$
정적분으로 정의된 함수
기출 4회
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ 로 정의된 함수는 미분하면 적분이 벗겨져 $F'(x)=f(x)$ 가 된다. 적분식으로 주어진 함수의 극값·증감은 이 미분으로 조사한다.
역함수의 정적분
기출 1회
역함수의 정적분은 식을 직접 구하지 않고 그래프의 $y=x$ 대칭을 이용해 넓이로 계산한다. 증가함수 $f$ 에 대하여 $\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\,dx=bf(b)-af(a)$ 가 성립한다.
주기함수의 정적분
기출 1회
주기가 $p$ 인 함수는 어느 위치에서 시작하든 한 주기의 정적분이 같다. $\int_{a}^{a+p}f(x)\,dx=\int_{0}^{p}f(x)\,dx$, $\int_{a+p}^{b+p}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$.
수열의 극한
기출 1회
$n$ 이 한없이 커질 때 수열 $a_{n}$ 이 가까워지는 값 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}$. 도함수나 그래프에서 얻은 값을 항으로 갖는 수열의 극한을 묻는 문항에서 연결된다.
이차함수와 이차방정식
기출 4회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근 개수는 판별식 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호로 판정하고, 두 근 $\alpha,\ \beta$ 에 대해 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. 이차함수 그래프의 꼭짓점은 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 에 있다.
역함수의 성질
기출 2회
$f(f^{-1}(x))=x$, $f^{-1}(f(x))=x$ 이고, 점 $(a,\ b)$ 가 $y=f(x)$ 위에 있으면 $(b,\ a)$ 는 $y=f^{-1}(x)$ 위에 있다. 두 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다.
두 점 사이의 거리
기출 1회
$(x_{1},y_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
예시$(1,\,2)$ 와 $(4,\,6)$ 의 거리는 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
두 직선의 평행과 수직
기출 2회
두 직선은 기울기가 같으면 평행하고, 기울기의 곱이 $-1$ 이면 수직이다. 접선과 법선의 관계를 다룰 때 쓴다.
평행: $m_{1}=m_{2}$, 수직: $m_{1}m_{2}=-1$
로그의 성질
기출 2회
곱은 로그의 합으로, 나눗셈은 차로, 거듭제곱은 계수로 바뀐다. $\ln$ 이 들어간 식의 정리와 미분 전 식 변형에 쓴다.
$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$, $\log_{a}\dfrac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$, $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$
지수방정식
기출 1회
밑을 통일해 $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$ 로 지수를 비교하거나, $a^{x}=t\ (t\gt 0)$ 로 치환한다. $e^{x}$ 가 들어간 방정식에서 $e^{x}=t$ 치환으로 그대로 쓰인다.
예시$e^{2x}-3e^{x}+2=0$ 은 $e^{x}=t$ 로 치환하면 $(t-1)(t-2)=0$, 즉 $x=0$ 또는 $x=\ln 2$
삼각함수의 뜻과 그래프
기출 2회
일반각 $\theta$ 에 대하여 단위원 위의 점의 좌표로 $\sin\theta,\ \cos\theta$ 를 정의한다. $y=\sin x,\ y=\cos x$ 는 주기 $2\pi$, 치역 $-1\le y\le 1$ 이고 $y=\tan x$ 는 주기 $\pi$ 다.
삼각방정식
기출 2회
삼각함수가 포함된 방정식. 그래프와 직선의 교점 또는 단위원에서 각을 읽어 해를 구하고, 주기를 더해 범위 안의 해를 모두 나열한다.
예시$0\le x\lt 2\pi$ 에서 $\sin x=\dfrac{1}{2}$ 의 해는 $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$
사인법칙
기출 1회
삼각형에서 변의 길이는 대각의 사인에 비례하고 그 비는 외접원의 지름이다.
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ ($R$ 는 외접원의 반지름)
삼각형의 넓이
기출 1회
두 변과 그 끼인각을 알면 넓이는 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$.
예시$a=4,\ b=3,\ C=30^{\circ}$ 이면 $S=\dfrac{1}{2}\times 4\times 3\times\dfrac{1}{2}=3$
삼각비
기출 1회
직각삼각형에서 한 예각 $\theta$ 에 대하여 $\sin\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos\theta=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$. 도형 극한 문제에서 각을 변의 길이로 옮기는 기본 도구다.
이등변삼각형의 성질
기출 1회
두 변의 길이가 같은 삼각형은 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
원주각과 중심각의 관계
기출 2회
한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\dfrac{1}{2}$ 이고, 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다. 지름에 대한 원주각은 $90^{\circ}$ 다.
도형의 닮음
기출 2회
닮음비가 $k$ 이면 대응하는 길이는 $k$배, 넓이는 $k^{2}$배. 평행선이 만드는 닮은 삼각형으로 길이의 비를 옮길 때 쓴다.
분모의 유리화
기출 1회
분모의 근호는 켤레를 곱해 없앤다. $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한에서 근호가 있는 식을 정리하는 기본 도구다.
예시$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-1}=\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{x}$ $(x\neq 0)$