수열의 극한 — 기본 개념 잡기
기본 개념 29개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 무한히 계속되는 과정에 값을 매기기 위해서다. 고대 그리스의 제논은 '아킬레우스는 거북을 영원히 따라잡지 못한다'는 역설로 무한히 많은 단계를 더하는 일의 곤란함을 드러냈고, 아르키메데스는 실진법 — 도형을 무한히 잘게 채워 가며 넓이를 좁혀 가는 방법 — 으로 포물선 조각의 넓이를 $1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\cdots=\dfrac{4}{3}$ 이라는 무한한 합으로 구했다. 무한을 '항을 끝없이 따라갈 때 값이 어디로 가까워지는가'라는 물음으로 바꾼 것이 수열의 극한이고, 무한히 많은 항의 합에 값을 매긴 것이 급수다.
지금 어디에 쓰이나 — 무한한 반복이 유한한 값에 도달하는 모든 곳의 언어다. $0.999\cdots=1$ 같은 순환소수는 등비급수의 합이고, 일정한 간격으로 반복 투여하는 약물의 혈중 농도가 어느 수준에 머무는지, 같은 비율로 축소를 반복하는 프랙탈 도형의 전체 넓이가 얼마인지가 모두 등비급수로 계산된다. 컴퓨터의 수치 계산이 반복할수록 참값에 가까워지는지를 판정하는 기준도 수열의 수렴이다.
수능은 무엇을 묻나 — 극한값의 계산($\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴, $\infty-\infty$ 꼴의 처리), 등비수열과 등비급수의 수렴 조건, 그리고 닮은 도형이 일정한 비율로 반복 생성될 때 넓이의 합을 구하는 등비급수 활용 문항이다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
수열의 극한
수열의 수렴과 발산
기출 1회
수열 $\{a_{n}\}$ 에서 $n$ 이 한없이 커질 때 $a_{n}$ 이 일정한 값 $\alpha$ 에 한없이 가까워지면 이 수열은 $\alpha$ 에 수렴한다 하고 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\alpha$ 로 나타낸다. 수렴하지 않는 수열은 발산한다 하며, 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동의 세 경우가 있다.
예시$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$ (수렴), $\ a_{n}=(-1)^{n}$ 은 $-1$ 과 $1$ 을 오가며 진동(발산)
수열의 극한의 기본 성질
기출 5회
수렴하는 두 수열의 합·차·곱·몫의 극한은 각 극한값의 합·차·곱·몫과 같다. 두 수열이 모두 수렴할 때만 성립한다는 전제가 중요하다 — 발산하는 수열에 이 성질을 그대로 쓰면 틀린다.
$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\alpha,\ \lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=\beta$ 일 때 $\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n}\pm b_{n})=\alpha\pm\beta$, $\lim\limits_{n\to\infty}ca_{n}=c\alpha$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta$, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ $(\beta\neq 0)$
수열의 극한값의 계산
기출 8회
$\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴은 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나누고, 근호가 있는 $\infty-\infty$ 꼴은 유리화하여 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴로 바꾼다. 분자·분모의 차수를 비교하면 극한값을 바로 읽을 수 있다 — 차수가 같으면 최고차항의 계수비, 분모의 차수가 높으면 0.
예시$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^{2}+n}{n^{2}+3}=2$, $\ \lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=1$
수열의 극한의 대소 관계
기출 1회
모든 $n$ 에 대하여 $a_{n}\le b_{n}$ 이고 두 수열이 수렴하면 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\le \lim\limits_{n\to\infty}b_{n}$ 이다. 특히 $a_{n}\le c_{n}\le b_{n}$ 이고 양쪽 수열이 같은 값 $\alpha$ 로 수렴하면 가운데 수열도 $\alpha$ 로 수렴한다 — 직접 구하기 어려운 극한을 양쪽에서 죄어 구하는 방법이다.
예시$\dfrac{n}{n+1}\lt a_{n}\lt \dfrac{n+1}{n}$ 이면 양쪽 모두 $1$ 로 수렴하므로 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=1$
등비수열의 극한
등비수열의 극한
기출 7회
$\{r^{n}\}$ 의 극한은 공비 $r$ 의 범위에 따라 정해진다. $r\gt 1$ 이면 양의 무한대로 발산, $r=1$ 이면 $1$ 에 수렴, $-1\lt r\lt 1$ 이면 $0$ 에 수렴, $r\le -1$ 이면 진동하며 발산한다. $r^{n}$ 이 섞인 식은 절댓값이 가장 큰 밑의 거듭제곱으로 분자·분모를 나눈다.
예시$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3^{n}+2^{n}}{3^{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left\{1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right\}=1$
등비수열의 수렴 조건
최근 5개년 직접 출제 없음
$\{r^{n}\}$ 이 수렴할 조건은 $-1\lt r\le 1$ 이다. 첫째항이 곱해진 $\{ar^{n-1}\}$ 은 $a=0$ 이거나 $-1\lt r\le 1$ 일 때 수렴한다 — 공비에 미지수가 들어 있으면 이 부등식을 풀어 범위를 구한다.
예시$\{(2x-1)^{n}\}$ 이 수렴하려면 $-1\lt 2x-1\le 1$, 즉 $0\lt x\le 1$
급수
급수의 수렴과 발산
기출 1회
수열 $\{a_{n}\}$ 의 항을 차례로 더한 식 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ 을 급수라 한다. 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S_{n}$(부분합)의 수열이 일정한 값 $S$ 에 수렴하면 급수는 $S$ 에 수렴한다 하고 $S$ 를 급수의 합이라 한다. 부분합의 수열이 발산하면 급수는 발산한다.
급수와 수열의 극한 사이의 관계
기출 3회
급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 이 수렴하면 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=0$ 이다. 대우로 쓰면 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\neq 0$ 이면 급수는 발산한다 — 발산 판정에 쓰인다. 역은 성립하지 않는다. 일반항이 0에 수렴해도 급수가 발산할 수 있다.
예시$a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 은 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=0$ 이지만 $S_{n}=\sqrt{n+1}-1$ 이 발산하므로 급수는 발산한다
급수의 성질
최근 5개년 직접 출제 없음
수렴하는 두 급수의 합·차와 상수배는 각 급수의 합의 합·차와 상수배가 된다. 극한의 기본 성질과 마찬가지로 두 급수가 모두 수렴할 때만 성립한다.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=S,\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}=T$ 일 때 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}\pm b_{n})=S\pm T$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ca_{n}=cS$
급수의 합
기출 7회
급수의 합은 부분합 $S_{n}$ 을 구한 뒤 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$ 을 계산하는 것이 원칙이다. 일반항이 분수 꼴이면 부분분수로 분해해 이웃한 항이 지워지게 만든 뒤 남는 항의 극한을 취한다.
예시$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$
등비급수
등비급수의 수렴과 발산
기출 6회
첫째항 $a\ (a\neq 0)$, 공비 $r$ 인 등비급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ 은 $-1\lt r\lt 1$ 일 때만 수렴하고, $r\le -1$ 또는 $r\ge 1$ 이면 발산한다. 등비수열의 수렴 조건($r=1$ 포함)과 범위가 다르다는 점에 주의한다.
등비급수의 합
기출 9회
$-1\lt r\lt 1$ 일 때 등비급수의 합은 첫째항을 $1-{}$공비로 나눈 값이다. 부분합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 이 공식으로 바로 구한다.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\dfrac{a}{1-r}$ $(-1\lt r\lt 1)$
예시$1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{1}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$
등비급수의 활용
기출 1회
같은 규칙으로 닮은 도형이 반복 생성될 때 길이·넓이의 총합은 등비급수다. 첫 단계의 값(첫째항)과 이웃한 두 단계 사이의 비(공비)만 구하면 $\dfrac{a}{1-r}$ 로 끝난다. 닮음비가 $k$ 이면 길이의 공비는 $k$, 넓이의 공비는 $k^{2}$ 이다.
예시첫 도형의 넓이가 $3$ 이고 매 단계 넓이가 $\dfrac{1}{4}$ 배로 반복되면 총합은 $\dfrac{3}{1-\frac{1}{4}}=4$
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
피타고라스 정리
기출 1회
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다. 등비급수 도형 문제에서 변의 길이를 구하는 기본 도구다.
빗변이 $c$ 일 때 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
예시두 변이 $3,\ 4$ 인 직각삼각형의 빗변은 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
삼각비
기출 2회
직각삼각형에서 한 예각 $\theta$ 에 대하여 $\sin\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos\theta=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$. 도형에서 각이 주어지면 변의 길이를 삼각비로 옮긴다.
예시$\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 45^{\circ}=1$
삼각형의 내각의 이등분선
기출 1회
삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에서 각 $\mathrm{A}$ 의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하면 $\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}$ — 이등분선은 대변을 이웃한 두 변의 길이의 비로 나눈다.
원에 내접하는 사각형의 성질
기출 1회
원에 내접하는 사각형은 마주 보는 두 내각의 합이 $180^{\circ}$ 이다. 한 외각은 그 내대각과 크기가 같다.
도형의 닮음
기출 2회
닮음비가 $k$ 이면 대응하는 길이는 $k$배, 넓이는 $k^{2}$배. 등비급수 도형 문제에서 단계 사이의 닮음비가 곧 공비의 근원이 된다.
지수법칙
기출 3회
밑이 같은 거듭제곱의 곱셈·나눗셈·거듭제곱을 지수의 덧셈·뺄셈·곱셈으로 바꾸는 법칙. $r^{n}$ 이 섞인 극한 계산에서 밑을 정리할 때 쓴다.
$a^{x}a^{y}=a^{x+y}$, $a^{x}\div a^{y}=a^{x-y}$, $(a^{x})^{y}=a^{xy}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
분모·분자의 유리화
기출 4회
근호의 차는 켤레를 곱해 유리화한다. $\infty-\infty$ 꼴 극한을 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴로 바꾸는 기본 도구다.
$\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$
예시$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
등차수열과 등비수열의 일반항
기출 8회
첫째항 $a$, 공차 $d$ 인 등차수열은 $a_{n}=a+(n-1)d$, 첫째항 $a$, 공비 $r$ 인 등비수열은 $a_{n}=ar^{n-1}$.
등비중항
기출 2회
0이 아닌 세 수 $a,\ b,\ c$ 가 이 순서로 등비수열을 이루면 $b^{2}=ac$ — $b$ 를 $a$ 와 $c$ 의 등비중항이라 한다.
수열의 합과 일반항 사이의 관계
기출 1회
첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합이 $S_{n}$ 일 때 $a_{1}=S_{1}$ 이고 $n\ge 2$ 이면 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$. 합이 주어진 수열의 극한·급수 문제에서 일반항을 복원할 때 쓴다.
수열의 주기성
기출 1회
항이 일정한 개수마다 같은 값을 반복하는 수열. 급수나 부분합을 계산할 때는 한 주기의 합을 묶음으로 처리한다.
예시$a_{n}=\sin\dfrac{n\pi}{2}$ 는 $1,\ 0,\ -1,\ 0$ 이 주기 $4$ 로 반복된다
지수부등식
기출 1회
밑을 통일해 지수를 비교하되, 밑이 $a\gt 1$ 이면 부등호가 유지되고 $0\lt a\lt 1$ 이면 반대로 뒤집힌다. $r^{n}$ 의 크기 비교나 수렴 범위를 다룰 때 쓴다.
예시$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\lt \dfrac{1}{100}$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 은 $2^{n}\gt 100$, 즉 $n\ge 7$
부채꼴의 호의 길이와 넓이
기출 1회
반지름 $r$, 중심각 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 $l=r\theta$, 넓이는 $S=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta=\dfrac{1}{2}rl$.
삼각함수의 그래프와 성질
기출 3회
$y=\sin x$, $y=\cos x$ 는 주기 $2\pi$, 치역 $-1\le y\le 1$ 이고, $y=\tan x$ 는 주기 $\pi$ 다. $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 이 값 사이의 기본 관계다.
사인법칙과 코사인법칙
기출 3회
삼각형의 변과 각, 외접원 반지름을 잇는 두 법칙. 도형 극한 문제에서 변의 길이를 각의 식으로 옮길 때 쓴다.
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$, $\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$
삼각함수의 극한
기출 3회
각의 단위가 라디안일 때 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$. 각이 0에 가까워지는 도형 극한 문제의 핵심 도구다.
예시$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{3x}\times 3=3$