수열 — 기본 개념 잡기
기본 개념 33개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
수학Ⅰ(공통)
이 개념이 왜 생겼나 — 규칙적으로 변하는 수를 한 번에 다루기 위해서다. 고대 이집트의 린드 파피루스에는 이미 등비수열의 합을 구하는 문제가 실려 있고, 바빌로니아의 서기들은 곡물 분배와 이자 계산에서 일정하게 늘어나는 수의 규칙을 다뤘다. 복리로 불어나는 예금과 빚은 등비수열 그 자체다. 항을 하나하나 세는 대신 $n$번째 항과 전체 합을 식 하나로 적는 것 — 일반항과 합 공식 — 이 이 단원의 발명품이다.
지금 어디에 쓰이나 — 복리 이자와 대출 상환금 계산이 등비수열의 합이고, 인구와 감염의 증가 모델, 컴퓨터 알고리즘의 반복 구조가 모두 수열의 언어로 적힌다. 특히 '지금 항에서 다음 항을 만드는 규칙'을 적는 수열의 귀납적 정의는 단계적으로 변하는 양을 기술하는 방법이다.
수능은 무엇을 묻나 — 등차·등비수열의 일반항과 합, $\sum$ 계산, 그리고 귀납적으로 정의된 수열의 항 추적이다. 특히 조건에 따라 관계식이 갈라질 때 항을 차례로 구하거나 거꾸로 거슬러 올라가는 문제가 출제된다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
등차수열
수열의 뜻과 일반항
최근 5개년 직접 출제 없음
차례로 나열한 수의 열을 수열이라 하고, $n$번째 항 $a_{n}$ 을 $n$ 의 식으로 나타낸 것을 일반항이라 한다. 일반항을 알면 어떤 항이든 대입 한 번으로 구할 수 있다.
예시$a_{n}=2n$ 인 수열은 $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \dots$
등차수열의 일반항
기출 17회
이웃한 두 항의 차(공차 $d$)가 일정한 수열. 첫째항 $a$ 에서 출발해 $d$ 를 $n-1$ 번 더한 것이 $n$번째 항이다. 일반항이 $n$ 의 일차식이라는 점 — 기울기가 공차 — 이 계산의 지름길로 자주 쓰인다.
$a_{n}=a+(n-1)d$
예시첫째항 $3$, 공차 $2$ 이면 $a_{5}=3+4\times 2=11$
등차중항
기출 2회
세 수 $a,\ b,\ c$ 가 이 순서로 등차수열을 이루면 $b$ 를 등차중항이라 하고 $2b=a+c$ 가 성립한다. 가운데 항이 양 끝 항의 평균이라는 뜻이다.
$2b=a+c$
예시$3,\ x,\ 11$ 이 등차수열이면 $2x=14$ → $x=7$
등차수열의 합
기출 4회
첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합은 (첫째항$+$끝항)$\times$항수$\div 2$ 다. 첫째항이 음수이고 공차가 양수이면 음수인 항까지만 더했을 때 합이 최소가 된다 — 합의 최솟값은 항의 부호가 바뀌는 지점을 찾는 문제다.
$S_{n}=\dfrac{n(a+l)}{2}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ ($l$ 은 제 $n$ 항)
예시$1+2+\cdots+10=\dfrac{10\times 11}{2}=55$
등비수열
등비수열의 일반항
기출 16회
이웃한 두 항의 비(공비 $r$)가 일정한 수열. 첫째항 $a$ 에 $r$ 를 $n-1$ 번 곱한 것이 $n$번째 항이다. 항의 비를 만들면 공비의 거듭제곱만 남는다는 성질이 조건식 정리의 핵심이다.
$a_{n}=ar^{n-1}$
예시$2,\ 6,\ 18,\ \dots$ 은 공비 $3$ → $a_{4}=2\times 3^{3}=54$
등비중항
기출 2회
$0$ 이 아닌 세 수 $a,\ b,\ c$ 가 이 순서로 등비수열을 이루면 $b$ 를 등비중항이라 하고 $b^{2}=ac$ 가 성립한다. 제곱 꼴이라 $b$ 의 부호가 두 가지일 수 있다는 점에 주의한다.
$b^{2}=ac$
예시$2,\ x,\ 8$ 이 등비수열이면 $x^{2}=16$ → $x=4$ 또는 $x=-4$
등비수열의 합
기출 2회
공비 $r\neq 1$ 일 때 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 공식. $r=1$ 이면 $S_{n}=na$ 로 따로 처리한다. 원리금이 쌓이는 복리 문제가 이 공식으로 계산된다.
$S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ $(r\neq 1)$
예시$1+2+4+8+16=\dfrac{2^{5}-1}{2-1}=31$
수열의 합
합의 기호 ∑의 뜻과 성질
기출 19회
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ 는 $a_{1}$ 부터 $a_{n}$ 까지의 합을 나타내는 기호다. 합끼리는 쪼개고 상수배는 밖으로 꺼낼 수 있지만, 곱은 쪼갤 수 없다 — $\sum a_{k}b_{k}\neq\sum a_{k}\sum b_{k}$ 임에 주의한다.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}\pm b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\pm\sum_{k=1}^{n}b_{k}$, $\ \sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$, $\ \sum_{k=1}^{n}c=cn$
예시$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}2=2\times 5=10$
자연수의 거듭제곱의 합
기출 4회
$1$ 부터 $n$ 까지의 자연수·제곱·세제곱의 합 공식. $\sum$ 계산의 마지막 단계는 대부분 이 세 공식으로 끝난다.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, $\ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\ \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}$
예시$\displaystyle\sum_{k=1}^{4}k^{2}=1+4+9+16=\dfrac{4\times 5\times 9}{6}=30$
여러 가지 수열의 합
기출 13회
일반항이 분수 꼴이면 부분분수로 쪼개 이웃 항끼리 소거시키고(망원합), 근호가 있으면 유리화로 같은 꼴을 만들고, 절댓값이 있으면 부호가 바뀌는 항을 경계로 구간을 나눠 더한다. 일반항의 모양을 보고 변형법을 고르는 것이 이 유형의 전부다.
$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$
예시$\displaystyle\sum_{k=1}^{9}\dfrac{1}{k(k+1)}=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$
수열의 합과 일반항 사이의 관계
기출 10회
합 $S_{n}$ 이 주어지면 일반항은 $a_{1}=S_{1}$, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ $(n\ge 2)$ 로 복원한다. $n\ge 2$ 에서 구한 식이 $n=1$ 에서도 성립하는지 반드시 따로 확인한다 — 성립하지 않는 경우가 출제 포인트다.
$a_{1}=S_{1}$, $\ a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ $(n\ge 2)$
예시$S_{n}=n^{2}$ 이면 $a_{n}=n^{2}-(n-1)^{2}=2n-1$ $(n\ge 2)$, $a_{1}=S_{1}=1$ 도 이 식에 맞는다
수학적 귀납법
수열의 귀납적 정의
기출 19회
첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 방법이다. 수능에서는 조건에 따라 식이 갈라지는 관계식에 값을 차례로 대입해 뒤의 항을 구하거나, 거꾸로 앞의 항을 추적한다. 거슬러 올라갈 때는 갈라진 경우마다 가능한 값을 모두 나열해야 한다.
예시$a_{1}=1,\ a_{n+1}=a_{n}+2$ → $a_{2}=3,\ a_{3}=5$
수학적 귀납법
최근 5개년 직접 출제 없음
명제가 $n=1$ 일 때 성립함을 보이고, $n=k$ 일 때 성립한다고 가정하면 $n=k+1$ 일 때도 성립함을 보여, 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하는 방법이다. 수능에서는 증명 과정의 빈칸을 채우는 형태로 출제된다.
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
지수법칙
기출 2회
밑이 같은 거듭제곱의 곱·나눗셈·거듭제곱을 지수의 덧셈·뺄셈·곱셈으로 바꾸는 법칙. 등비수열의 항 계산을 정리하는 기본 도구다.
$a^{x}a^{y}=a^{x+y}$, $\ a^{x}\div a^{y}=a^{x-y}$, $\ (a^{x})^{y}=a^{xy}$
지수부등식
기출 2회
밑을 통일해 지수를 비교한다(밑이 $0\lt a\lt 1$ 이면 부등호 반전). 등비수열의 항이 처음으로 어떤 값을 넘는 $n$ 을 찾을 때 쓴다.
예시$2^{n}\gt 1000$ 을 만족시키는 최소의 자연수는 $n=10$ (∵ $2^{10}=1024$)
지수함수의 그래프
기출 1회
$y=a^{x}$ 은 $a\gt 1$ 이면 증가, $0\lt a\lt 1$ 이면 감소하고, 항상 점 $(0,\,1)$ 을 지나며 $y=0$ 이 점근선이다. 지수함수 위의 점들이 수열을 이루는 문제로 연결된다.
연립방정식
기출 4회
미지수 개수만큼 식을 세워 소거해 푼다. 두 항의 조건에서 첫째항과 공차(또는 공비)를 결정할 때 쓴다.
부정방정식
기출 1회
식의 개수가 미지수보다 적어도 해가 자연수·정수라는 조건이 있으면, 곱의 꼴로 묶어 약수 조합을 나열해 푼다.
예시자연수 $x,\ y$ 에 대해 $xy=6$ → $(x,\,y)=(1,6),\,(2,3),\,(3,2),\,(6,1)$
절댓값의 성질
기출 1회
$|a|$ 는 $a\ge 0$ 이면 $a$, $a\lt 0$ 이면 $-a$ 다. 절댓값이 든 수열의 합은 안의 부호가 바뀌는 항을 경계로 구간을 나눠 계산한다.
분모의 유리화
기출 1회
분모의 근호를 없애는 변형. 일반항이 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ 꼴이면 유리화로 차의 꼴을 만들어 이웃 항끼리 소거시킨다.
$\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$
예시$\displaystyle\sum_{k=1}^{8}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=2$
집합의 원소의 개수
기출 1회
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$. 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 셀 때 겹침을 정리하는 데 쓴다.
합성함수
기출 1회
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ — 안쪽 함수의 출력을 바깥 함수의 입력으로 넣는다. $f(f(n))$ 꼴의 조건이 붙은 수열 문제에서 안쪽부터 차례로 계산한다.
예시$f(x)=2x,\ g(x)=x+1$ 이면 $(g\circ f)(3)=g(6)=7$
주기함수
기출 2회
$f(x+p)=f(x)$ 가 성립하는 함수. 항이 일정한 묶음으로 반복되는 수열은 $n$ 을 주기로 나눈 나머지로 항의 값을 정한다.
예시주기가 $3$ 인 수열에서 $a_{100}=a_{1}$ (∵ $100=3\times 33+1$)
경우 나누기
기출 3회
조건에 따라 식이 갈라질 때 가능한 경우를 빠짐없이, 겹치지 않게 나눠 각각 처리하는 방법이다. 홀수·짝수에 따라 관계식이 달라지는 문제의 기본기다.
치환
기출 1회
반복해서 나타나는 식 덩어리를 한 문자로 놓아 식을 단순하게 만드는 방법. 치환한 문자가 갖는 값의 범위까지 함께 옮겨야 한다.
피타고라스 정리
기출 1회
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다.
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ($c$ 는 빗변)
닮음비와 넓이비
기출 1회
닮음비가 $k$ 이면 넓이의 비는 $k^{2}$ 이다. 같은 모양이 일정한 비율로 반복되는 도형에서 넓이의 수열이 등비수열이 되는 근거다.
예시닮음비 $1:2$ → 넓이비 $1:4$
삼각함수의 성질
기출 1회
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 과 각 변환($\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ 등). 일반항에 삼각함수 값이 들어간 수열의 합을 계산할 때 항의 규칙성을 드러내는 데 쓴다.
예시$\cos n\pi=(-1)^{n}$ — 홀수 항과 짝수 항의 부호가 번갈아 바뀐다
중복순열
기출 1회
서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허용하여 $r$ 개를 택해 나열하는 경우의 수는 $n^{r}$ (확률과 통계 과목 범위). 조건을 만족시키는 수열의 개수를 셀 때 쓴다.
$_{n}\Pi_{r}=n^{r}$
예시서로 다른 $2$ 개에서 중복을 허용해 $3$ 개를 나열: $2^{3}=8$가지
쌍곡선의 정의
기출 1회
두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점의 자취(기하 과목 범위).
등비수열의 극한
기출 2회
$|r|\lt 1$ 이면 $r^{n}\to 0$, $r\gt 1$ 이면 발산, $r=1$ 이면 $1$ 로 수렴한다(미적분 과목 범위).
예시$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0$
급수의 수렴과 발산
기출 7회
급수의 수렴·발산은 부분합의 수열 $S_{n}$ 의 극한으로 판정한다(미적분 과목 범위). 급수가 수렴하면 일반항은 $0$ 으로 수렴한다 — 그 역은 성립하지 않는다.
등비급수
기출 6회
공비 $|r|\lt 1$ 일 때만 수렴하고 합은 $\dfrac{a}{1-r}$ 이다(미적분 과목 범위). 닮은 도형이 반복되는 문제에서 넓이의 합으로 쓰인다.
$|r|\lt 1$ 일 때 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\dfrac{a}{1-r}$
예시$1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{1}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$