삼각함수 — 기본 개념 잡기
기본 개념 43개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
수학Ⅰ(공통)
이 개념이 왜 생겼나 — 별의 위치를 재기 위해서다. 기원전 2세기 천문학자 히파르코스는 천체 관측을 위해 원의 중심각에 대응하는 현의 길이 표를 만들었고, 이것이 삼각함수 표의 시초다. 땅에서는 직접 갈 수 없는 거리 — 강의 폭, 산의 높이 — 를 각도만 재서 계산하는 삼각측량의 도구이기도 했다. 각과 길이를 잇는 다리로 태어난 것이 삼각함수이고, 고교 과정은 각을 회전(일반각)으로 확장해 삼각함수를 '되풀이되는 현상'의 함수로 다시 정의한다.
지금 어디에 쓰이나 — 주기적으로 반복되는 모든 현상의 언어다. 소리와 빛의 파동, 교류 전기, 계절에 따라 변하는 낮의 길이가 사인 곡선으로 적히고, GPS·측량·건축의 거리 계산은 사인법칙과 코사인법칙 위에 서 있다. 반복되는 현상을 식으로 옮길 때 가장 먼저 꺼내는 도구가 $\sin$ 과 $\cos$ 이다.
수능은 무엇을 묻나 — 크게 둘이다. 그래프(주기·대칭·최대최소)를 읽고 삼각방정식·부등식의 해를 다루는 문제, 그리고 사인법칙·코사인법칙으로 도형의 길이·각·넓이를 계산하는 문제다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
일반각과 호도법
일반각
최근 5개년 직접 출제 없음
시초선에서 동경이 회전한 양으로 각을 재면 $360^{\circ}$ 보다 큰 각과 음의 각(시계 방향)도 나타낼 수 있다. 동경의 위치가 같은 각을 통틀어 $360^{\circ}\times n+\alpha$ ($n$ 은 정수) 꼴로 적은 것이 일반각이다.
$360^{\circ}\times n+\alpha$ (호도법으로는 $2n\pi+\theta$, $n$ 은 정수)
예시$390^{\circ}=360^{\circ}+30^{\circ}$ — $390^{\circ}$ 와 $30^{\circ}$ 는 동경이 같다
호도법
최근 5개년 직접 출제 없음
호의 길이가 반지름과 같아지는 중심각을 $1$라디안으로 하는 각의 단위법이다. $\pi$ 라디안 $=180^{\circ}$ 이고, 호도법을 쓰면 호의 길이·부채꼴 넓이 공식이 단순해져 이 단원 전체가 호도법으로 진행된다.
$\pi=180^{\circ}$, $\ 1\text{rad}=\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$
예시$60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$, $\ \dfrac{3\pi}{2}=270^{\circ}$
부채꼴의 호의 길이와 넓이
기출 1회
반지름 $r$, 중심각 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식. 둘레·넓이가 주어졌을 때 반지름과 중심각을 역으로 결정하는 문제로 출제된다.
$l=r\theta$, $\ S=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta=\dfrac{1}{2}rl$
예시$r=3,\ \theta=\dfrac{2\pi}{3}$ → $l=2\pi$, $S=\dfrac{1}{2}\times 9\times\dfrac{2\pi}{3}=3\pi$
삼각함수의 뜻
삼각함수의 정의
최근 5개년 직접 출제 없음
각 $\theta$ 의 동경과 원점 중심·반지름 $r$ 인 원의 교점을 $P(x,\,y)$ 라 할 때 $\sin\theta=\dfrac{y}{r}$, $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$, $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ 로 정의한다. 직각삼각형에서만 통하던 삼각비를 음각·둔각을 포함한 모든 각으로 넓힌 것이다.
$\sin\theta=\dfrac{y}{r}$, $\ \cos\theta=\dfrac{x}{r}$, $\ \tan\theta=\dfrac{y}{x}\ (x\neq 0)$
예시동경이 점 $P(3,\,4)$ 를 지나면 $r=5$ 이고 $\sin\theta=\dfrac{4}{5}$, $\cos\theta=\dfrac{3}{5}$, $\tan\theta=\dfrac{4}{3}$
사분면에 따른 삼각함수의 부호
기출 11회
동경이 놓인 사분면에 따라 세 삼각함수의 부호가 정해진다. 제1사분면은 모두 양수, 제2사분면은 $\sin$ 만, 제3사분면은 $\tan$ 만, 제4사분면은 $\cos$ 만 양수다. 부호 조건으로 사분면을 확정한 뒤 값을 구하는 문제의 첫 단추다.
예시$\sin\theta\gt 0,\ \cos\theta\lt 0$ 이면 $\theta$ 는 제2사분면의 각
삼각함수 사이의 관계
기출 17회
세 삼각함수는 독립이 아니다 — 하나의 값과 사분면을 알면 나머지가 결정된다. $\sin\theta+\cos\theta$ 가 주어지고 $\sin\theta\cos\theta$ 를 묻는 곱셈 공식 연계 유형이 잦다.
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
예시$\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ 이고 $\theta$ 가 제2사분면의 각이면 $\cos\theta=-\dfrac{4}{5}$, $\tan\theta=-\dfrac{3}{4}$
삼각함수의 그래프
사인함수와 코사인함수의 그래프
기출 6회
$y=\sin x$ 와 $y=\cos x$ 는 모두 주기 $2\pi$, 치역 $[-1,\,1]$ 인 곡선이다. $y=\sin x$ 는 원점에 대하여 대칭이고 $y=\cos x$ 는 $y$축에 대하여 대칭이며, $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ — 두 그래프는 평행이동으로 겹쳐진다.
예시$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, $\ \cos 0=1$, $\ \cos\pi=-1$
탄젠트함수의 그래프
기출 3회
$y=\tan x$ 는 주기가 $\pi$ 이고 원점에 대하여 대칭이며, $\cos x=0$ 이 되는 $x=n\pi+\dfrac{\pi}{2}$ 에서 점근선을 갖는다. 치역은 실수 전체 — 최댓값·최솟값이 없다는 점이 사인·코사인과 다르다.
점근선: $x=n\pi+\dfrac{\pi}{2}$ ($n$ 은 정수)
예시$\tan\dfrac{\pi}{4}=1$, $\ \tan 0=0$
삼각함수의 주기
기출 6회
$0$ 이 아닌 상수 $p$ 에 대하여 $f(x+p)=f(x)$ 가 모든 $x$ 에서 성립할 때 $f$ 를 주기함수라 하고, 그러한 양수 $p$ 중 최소인 것이 주기다. $x$ 의 계수가 커지면 그래프가 가로로 압축되어 주기가 짧아진다.
$y=a\sin(bx+c)+d$, $\ y=a\cos(bx+c)+d$ 의 주기는 $\dfrac{2\pi}{|b|}$, $\ y=a\tan(bx+c)+d$ 의 주기는 $\dfrac{\pi}{|b|}$
예시$y=\sin 2x$ 의 주기는 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$
삼각함수의 그래프의 대칭성
기출 3회
사인·코사인 곡선은 최댓값·최솟값을 지나는 세로선에 대하여 선대칭이고, $x$축과 만나는 점에 대하여 점대칭이다. 삼각방정식의 여러 해의 합을 물을 때 이 대칭이 계산을 대신한다 — 대칭축을 사이에 둔 두 해의 합은 대칭축 $x$좌표의 2배다.
예시$\sin x=\dfrac{1}{2}$ 의 두 해 $\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$ 의 합은 대칭축 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 의 2배인 $\pi$
삼각함수의 최대·최소
기출 5회
$-1\le\sin\theta\le 1$ 을 이용해 $y=a\sin(bx+c)+d$ 의 최댓값 $|a|+d$, 최솟값 $-|a|+d$ 를 읽는다. $\sin x=t\ (-1\le t\le 1)$ 로 치환하면 이차함수의 최대·최소 문제로 바뀌는 유형이 잦다.
$y=a\sin(bx+c)+d$ 의 최댓값은 $|a|+d$, 최솟값은 $-|a|+d$
예시$y=2\sin x+1$ 의 최댓값은 $3$, 최솟값은 $-1$
여러 가지 각의 삼각함수(각 변환)
기출 14회
$\pi\pm\theta,\ \dfrac{\pi}{2}\pm\theta,\ -\theta$ 의 삼각함수를 $\theta$ 의 삼각함수로 바꾸는 공식들. $\pi\pm\theta$ 는 함수가 그대로, $\dfrac{\pi}{2}\pm\theta$ 는 $\sin$ 과 $\cos$ 이 서로 바뀌며, 부호는 원래 각이 놓인 사분면의 부호를 따른다. 어떤 각이든 예각의 삼각함수로 정리하는 도구다.
$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$, $\ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$, $\ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$, $\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta$, $\ \sin(-\theta)=-\sin\theta$, $\ \cos(-\theta)=\cos\theta$
예시$\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$
삼각방정식과 삼각부등식
삼각방정식
기출 11회
삼각함수가 들어간 방정식. $y=\sin x$ 등의 그래프와 직선 $y=k$ 의 교점의 $x$좌표가 해이므로, 그래프를 그려 주어진 범위 안의 해를 읽는 것이 기본이다. 수능은 해 자체보다 해의 개수나 해의 합을 그래프의 주기·대칭으로 묻는다.
예시$0\le x\lt 2\pi$ 에서 $\sin x=\dfrac{1}{2}$ → $x=\dfrac{\pi}{6}$ 또는 $x=\dfrac{5\pi}{6}$
삼각부등식
기출 2회
그래프가 직선보다 위(또는 아래)에 있는 $x$ 의 범위를 읽는 문제다. 먼저 등호가 성립하는 경계의 각을 구하고, 그래프에서 부등호를 만족시키는 구간을 확인한다.
예시$0\le x\lt 2\pi$ 에서 $\cos x\gt\dfrac{1}{2}$ → $0\le x\lt\dfrac{\pi}{3}$ 또는 $\dfrac{5\pi}{3}\lt x\lt 2\pi$
사인법칙과 코사인법칙
사인법칙
기출 13회
삼각형에서 각 변과 그 대각의 사인의 비는 일정하고, 그 값은 외접원 지름 $2R$ 과 같다. 변과 대각의 사인을 서로 바꾸는 다리이자, 외접원의 반지름이 보이면 반사적으로 꺼내는 공식이다.
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ ($R$ 은 외접원의 반지름)
예시$A=30^{\circ},\ a=4$ 이면 $2R=\dfrac{4}{\sin 30^{\circ}}=8$ → $R=4$
코사인법칙
기출 18회
두 변과 그 끼인각으로 나머지 변을, 또는 세 변으로 각의 코사인을 구하는 법칙. 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 일반화한 것으로, 도형 문제에서 길이 계산의 중심 도구다.
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $\ \cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
예시$b=3,\ c=5,\ A=60^{\circ}$ → $a^{2}=9+25-2\times 15\times\dfrac{1}{2}=19$ → $a=\sqrt{19}$
삼각형의 넓이
기출 8회
두 변과 그 끼인각을 알면 높이를 따로 구하지 않고 넓이를 계산할 수 있다. 사각형은 대각선으로 두 삼각형으로 쪼개어 적용한다.
$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$
예시$b=4,\ c=5,\ A=30^{\circ}$ → $S=\dfrac{1}{2}\times 4\times 5\times\dfrac{1}{2}=5$
삼각함수의 도형에의 활용
기출 1회
원에 내접하는 사각형, 두 삼각형이 붙은 도형 등을 삼각형으로 쪼개 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 이어 쓰는 유형이다. 공통 변이나 공통 각을 두 삼각형이 나눠 갖는 지점이 식을 연결하는 고리이며, 수능 도형 문항의 표준 경로다.
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
피타고라스 정리
기출 2회
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다.
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ($c$ 는 빗변)
예시두 변이 $3,\ 4$ 인 직각삼각형의 빗변은 $\sqrt{9+16}=5$
삼각비
기출 3회
직각삼각형에서 $\sin=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$. $30^{\circ},\ 45^{\circ},\ 60^{\circ}$ 의 값은 도형 계산의 기본값이다.
예시$\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, $\ \tan 45^{\circ}=1$, $\ \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
삼각형의 닮음과 합동
기출 4회
두 쌍의 대응각이 각각 같으면(AA) 두 삼각형은 닮음이고, 대응변의 길이의 비가 모두 같다. 합동 조건은 SSS·SAS·ASA다.
이등변삼각형과 정삼각형의 성질
기출 3회
이등변삼각형은 두 밑각이 같고, 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다. 한 변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 높이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$, 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$.
삼각형의 내각의 이등분선
기출 1회
삼각형 $ABC$ 에서 각 $A$ 의 이등분선이 변 $BC$ 와 만나는 점을 $D$ 라 하면 $AB:AC=BD:DC$.
중선정리
기출 1회
변 $BC$ 의 중점을 $M$ 이라 하면 $AB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2})$. 중선의 길이가 등장하는 도형 문제에서 코사인법칙을 대신하는 지름길이다.
원의 성질
기출 4회
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고, 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 $180^{\circ}$ 다. 내접 사각형 조건은 코사인법칙과 결합해 $\cos$ 값의 부호를 뒤집는 식을 만든다.
원주각과 중심각의 관계
기출 5회
한 호에 대한 원주각은 그 호에 대한 중심각의 절반이고, 같은 호에 대한 원주각은 모두 같다. 반원에 대한 원주각은 $90^{\circ}$ 다.
원주각 $=\dfrac{1}{2}\times$ 중심각
이차방정식의 풀이
기출 1회
인수분해 또는 근의 공식으로 푼다. 코사인법칙을 세우면 변의 길이에 대한 이차방정식이 나오는 경우가 많다.
$ax^{2}+bx+c=0$ → $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
직선의 기울기
기출 2회
직선이 $x$축 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$ 라 하면 기울기는 $\tan\theta$ 다.
예시기울기 $\sqrt{3}$ 인 직선이 $x$축과 이루는 각은 $60^{\circ}$ (∵ $\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$)
집합의 원소의 개수
기출 1회
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$. 삼각방정식의 해의 집합에서 겹치는 해를 정리할 때 쓴다.
방정식의 실근과 그래프의 교점
기출 2회
방정식 $f(x)=g(x)$ 의 실근은 두 그래프의 교점의 $x$좌표이고, 실근의 개수는 교점의 개수와 같다. 삼각방정식의 해의 개수를 세는 문제의 기본 관점이다.
등차수열과 등비수열의 일반항
기출 1회
첫째항 $a$, 공차 $d$ 인 등차수열은 $a_{n}=a+(n-1)d$, 첫째항 $a$, 공비 $r$ 인 등비수열은 $a_{n}=ar^{n-1}$. 삼각함수 값이 수열을 이루는 조건 문제에서 연결된다.
$a_{n}=a+(n-1)d$, $\ a_{n}=ar^{n-1}$
수열의 극한
기출 1회
항의 번호 $n$ 이 한없이 커질 때 $a_{n}$ 이 가까워지는 값(미적분 과목 범위).
예시$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$
등비급수
기출 4회
공비 $|r|\lt 1$ 인 등비수열의 합의 극한은 $\dfrac{a}{1-r}$ 로 수렴한다(미적분 과목 범위). 같은 모양이 일정 비율로 반복되는 도형에 쓰인다.
$|r|\lt 1$ 일 때 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\dfrac{a}{1-r}$
삼각함수의 극한
기출 7회
$x$ 가 라디안일 때 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ — 미소각에서 $\sin x$ 와 $x$ 가 같은 크기로 작아진다는 뜻이다(미적분 과목 범위).
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, $\ \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$
삼각함수의 덧셈정리
기출 4회
두 각의 합·차의 삼각함수를 각각의 삼각함수로 푸는 공식(미적분 과목 범위).
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$, $\ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
삼각함수의 미분법
기출 4회
$(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$ (미적분 과목 범위).
$(\sin x)'=\cos x$, $\ (\cos x)'=-\sin x$
합성함수와 음함수의 미분법
기출 3회
합성함수는 $\{g(f(x))\}'=g'(f(x))\,f'(x)$, 음함수 $f(x,\,y)=0$ 은 $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 양변을 $x$ 로 미분한다(미적분 과목 범위).
$\{g(f(x))\}'=g'(f(x))\,f'(x)$
도함수의 활용
기출 5회
도함수의 부호로 함수의 증가·감소와 극대·극소를 판정하고, $f'(a)$ 는 $x=a$ 에서의 접선의 기울기다. 삼각함수가 들어간 함수의 최대·최소를 찾을 때 이 도구가 이어진다.
주기함수의 연속과 정적분
기출 1회
주기 $p$ 인 함수의 한 주기 구간의 정적분은 구간을 옮겨도 값이 같다 — $\displaystyle\int_{a}^{a+p}f(x)\,dx=\int_{0}^{p}f(x)\,dx$. 구간별로 정의된 함수가 주기함수이면서 연속이려면 이음새에서 함숫값이 일치해야 한다.
삼각함수의 정적분
기출 1회
$\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (미적분 과목 범위).
예시$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}=1-(-1)=2$
부분적분법
기출 2회
곱의 미분법을 거꾸로 쓴 적분법(미적분 과목 범위). 미분해서 간단해지는 쪽을 $f$ 로 고른다.
$\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$
쌍곡선의 정의와 점근선
기출 2회
두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점의 자취(기하 과목 범위). $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 의 점근선은 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ 다.
점근선: $y=\pm\dfrac{b}{a}x$
타원의 정의
기출 1회
두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 자취(기하 과목 범위). 그 합은 장축의 길이 $2a$ 와 같다.