지수와 로그 — 기본 개념 잡기
기본 개념 38개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
수학Ⅰ(공통)
이 개념이 왜 생겼나 — 큰 수의 곱셈을 덧셈으로 바꾸기 위해서다. 17세기 천문학자들은 행성의 궤도를 구하려고 일곱 자리 수의 곱셈을 종일 손으로 했다. 1614년 존 네이피어가 로그를 발표하자 그 곱셈은 로그표에서 두 수를 찾아 더하는 일로 줄었고, 케플러의 행성 법칙 계산도 이 도구 위에서 이루어졌다. 로그는 '계산을 줄이는 발명품'으로 태어났고, 지수는 같은 관계 — 몇 번 곱했는가 — 를 반대 방향에서 적은 표기다.
지금 어디에 쓰이나 — 같은 비율로 불어나거나 줄어드는 모든 현상의 언어다. 예금의 복리, 세균의 증식, 방사성 물질의 반감기가 지수로 적히고, 지진의 규모(리히터), 소리의 크기(데시벨), 용액의 산성도(pH)는 로그 눈금이다. 숫자가 수천 배씩 차이 나는 현상을 사람이 읽을 수 있는 크기로 접어 주는 것이 로그다.
수능은 무엇을 묻나 — 표기를 다루는 규칙(지수법칙·로그의 성질)과 함수의 그래프(증가·감소, 점근선, 두 함수의 대칭)다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
거듭제곱근과 지수
거듭제곱근의 뜻과 성질
기출 11회
실수 $a$ 와 2 이상의 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 제곱하여 $a$ 가 되는 수 — 즉 $x^{n}=a$ 를 만족시키는 $x$ 를 $a$ 의 $n$제곱근이라 한다. 그중 실수인 것의 개수는 $n$ 의 홀짝과 $a$ 의 부호에 따라 정해지고, $a\gt 0$ 일 때 양의 $n$제곱근을 $\sqrt[n]{a}$ 로 나타낸다.
$a\gt 0,\ b\gt 0$ 일 때 $\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$, $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$, $(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$, $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
예시$\sqrt[3]{8}=2$ (∵ $2^{3}=8$), $\sqrt[4]{16}=2$
지수의 확장(정수·유리수·실수)
기출 9회
$a\neq 0$ 일 때 $a^{0}=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ 으로 지수를 정수 전체로 넓히고, $a\gt 0$ 일 때 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ 으로 유리수까지, 나아가 실수 지수까지 확장한다. 근호가 있는 식은 분수 지수로 바꾸면 지수법칙 하나로 계산된다.
예시$8^{\frac{2}{3}}=(2^{3})^{\frac{2}{3}}=2^{2}=4$, $\ 2^{-3}=\dfrac{1}{8}$
지수법칙
기출 23회
밑이 같은 거듭제곱의 곱셈·나눗셈·거듭제곱을 지수의 덧셈·뺄셈·곱셈으로 바꾸는 법칙. 지수·로그 단원 전체 계산의 뼈대다.
$a\gt 0,\ b\gt 0$, $x,\ y$ 가 실수일 때 $a^{x}a^{y}=a^{x+y}$, $a^{x}\div a^{y}=a^{x-y}$, $(a^{x})^{y}=a^{xy}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
예시$2^{\frac{1}{2}}\times 2^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=2^{2}=4$
로그의 뜻과 성질
로그의 뜻
기출 5회
$a\gt 0,\ a\neq 1,\ N\gt 0$ 일 때 $a^{x}=N$ 을 만족시키는 $x$ 를 $\log_{a}N$ 으로 나타낸다. 즉 로그는 '몇 제곱인가'라는 물음의 답이고, $a^{x}=N \iff x=\log_{a}N$ — 지수와 로그는 같은 관계를 두 방향에서 적은 것이다.
예시$\log_{2}8=3$ (∵ $2^{3}=8$)
로그의 밑과 진수 조건
기출 9회
$\log_{a}N$ 이 정의되려면 밑은 $a\gt 0,\ a\neq 1$, 진수는 $N\gt 0$ 이어야 한다. 로그가 들어간 방정식·부등식에서는 답을 구하기 전에 이 조건부터 확인한다 — 조건을 빠뜨리면 없는 해를 답으로 적게 된다.
예시$\log_{x-1}(4-x)$ 가 정의되려면 $x-1\gt 0,\ x-1\neq 1,\ 4-x\gt 0$, 즉 $1\lt x\lt 4,\ x\neq 2$
로그의 성질
기출 20회
곱은 로그의 합으로, 나눗셈은 차로, 거듭제곱은 계수로 바뀐다. 복잡한 로그식을 정리하는 기본 도구다.
$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$, $\log_{a}\dfrac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$, $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$
예시$\log_{2}12=\log_{2}(4\times 3)=2+\log_{2}3$
로그의 밑 변환
기출 8회
밑이 다른 로그를 한 밑으로 통일하는 공식. 밑이 섞인 식은 통일부터 한다.
$\log_{a}b=\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ $(c\gt 0,\ c\neq 1)$ · 따름공식 $\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}$, $\log_{a^{m}}b^{n}=\dfrac{n}{m}\log_{a}b$
예시$\log_{4}8=\dfrac{\log_{2}8}{\log_{2}4}=\dfrac{3}{2}$
상용로그
최근 5개년 직접 출제 없음
밑이 10인 로그 $\log N$. 큰 수의 자릿수, 소수의 위치를 다룰 때 쓴다. 최근 5개년 공통 문항에 직접 출제되지는 않았지만 로그 계산의 기준 표기로 쓰인다.
예시$\log 1000=3$, $\log 0.01=-2$
지수함수와 그 그래프
지수함수의 뜻
최근 5개년 직접 출제 없음
$a\gt 0,\ a\neq 1$ 일 때 $y=a^{x}$ 을 지수함수라 한다. 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수 전체 — 함숫값이 절대 0이나 음수가 되지 않는다는 것이 문제에서 자주 쓰이는 성질이다.
지수함수의 그래프와 성질
기출 10회
$y=a^{x}$ 의 그래프는 $a\gt 1$ 이면 증가, $0\lt a\lt 1$ 이면 감소한다. 항상 점 $(0,\,1)$ 을 지나고 $x$축($y=0$)이 점근선이다. 평행이동 $y=a^{x-m}+n$ 이면 점근선은 $y=n$ 으로 함께 이동한다 — 평행이동된 그래프 문제는 점근선과 지나는 점부터 확정한다.
예시$y=2^{x-1}+3$ 의 점근선은 $y=3$, 지나는 점은 $(1,\,4)$
지수함수의 최대·최소
최근 5개년 직접 출제 없음
지수함수는 단조(계속 증가하거나 계속 감소)라서 닫힌 구간에서의 최대·최소는 구간의 양 끝에서 생긴다. $a^{x}=t\ (t\gt 0)$ 로 치환하면 이차함수의 최대·최소 문제로 바뀌는 꼴이 자주 출제된다.
예시$0\le x\le 2$ 에서 $y=2^{x}$ 의 최댓값은 $2^{2}=4$, 최솟값은 $2^{0}=1$
로그함수와 그 그래프
로그함수의 뜻
최근 5개년 직접 출제 없음
$a\gt 0,\ a\neq 1$ 일 때 $y=\log_{a}x$ 를 로그함수라 한다. 정의역은 $x\gt 0$ — 진수 조건이 곧 정의역이다.
로그함수의 그래프와 성질
기출 6회
$y=\log_{a}x$ 의 그래프는 $a\gt 1$ 이면 증가, $0\lt a\lt 1$ 이면 감소한다. 항상 점 $(1,\,0)$ 을 지나고 $y$축($x=0$)이 점근선이다. 평행이동 $y=\log_{a}(x-m)+n$ 이면 점근선은 $x=m$ 이 된다.
예시$y=\log_{2}(x-3)$ 의 점근선은 $x=3$, 지나는 점은 $(4,\,0)$
지수함수와 로그함수의 역함수 관계
기출 3회
$y=a^{x}$ 와 $y=\log_{a}x$ 는 서로 역함수다. 두 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이고, 한 곡선 위의 점 $(p,\,q)$ 를 뒤집은 $(q,\,p)$ 는 다른 곡선 위에 있다. 두 함수가 한 문제에 같이 나오면 이 대칭부터 의심한다.
예시$(2,\,4)$ 가 $y=2^{x}$ 위의 점 $\iff$ $(4,\,2)$ 는 $y=\log_{2}x$ 위의 점
로그함수의 최대·최소
최근 5개년 직접 출제 없음
로그함수도 단조라서 닫힌 구간에서의 최대·최소는 구간의 양 끝에서 생긴다. $\log_{a}x=t$ 로 치환해 이차함수의 최대·최소로 바꾸는 꼴이 잦다.
예시$1\le x\le 8$ 에서 $y=\log_{2}x$ 의 최댓값은 $3$, 최솟값은 $0$
지수방정식과 지수부등식
지수방정식
기출 8회
지수에 미지수가 있는 방정식. 밑을 통일해 $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$ 로 지수를 비교하거나, $a^{x}=t\ (t\gt 0)$ 로 치환해 $t$ 의 방정식으로 바꾼다. 치환했으면 $t\gt 0$ 조건으로 해를 걸러야 한다.
예시$3^{x-6}=\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x}$ → $3^{x-6}=3^{-2x}$ → $x-6=-2x$ → $x=2$
지수부등식
기출 2회
밑을 통일한 뒤 지수를 비교하되, 밑이 $a\gt 1$ 이면 부등호 방향이 유지되고 $0\lt a\lt 1$ 이면 반대로 뒤집힌다. 이 방향 처리 하나가 이 유형의 전부다.
예시$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\lt \dfrac{1}{8}$ → $x\gt 3$ (밑이 1보다 작아 부등호 반전)
로그방정식과 로그부등식
로그방정식
기출 10회
로그가 들어간 방정식. 먼저 진수·밑 조건으로 미지수의 범위를 잡고, 밑을 통일해 $\log_{a}f(x)=\log_{a}g(x) \iff f(x)=g(x)$ 로 진수를 비교하거나 $\log_{a}x=t$ 로 치환한다. 구한 해는 반드시 진수 조건과 대조한다.
예시$\log_{2}(x-1)=3$ → $x-1=8$ → $x=9$ (진수 조건 $x\gt 1$ 충족)
로그부등식
기출 1회
진수 조건을 먼저 챙긴 뒤 밑을 통일해 진수를 비교한다. 밑이 $a\gt 1$ 이면 부등호 유지, $0\lt a\lt 1$ 이면 반전 — 지수부등식과 같은 원리다. 최종 답은 진수 조건과의 공통 범위다.
예시$\log_{2}x\lt 3$ → $0\lt x\lt 8$ (진수 조건 $x\gt 0$ 과의 공통 범위)
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
소인수분해와 약수의 개수
기출 2회
자연수를 소수의 거듭제곱의 곱으로 나타내는 것. $N=p^{a}q^{b}$ 로 소인수분해되면 양의 약수의 개수는 $(a+1)(b+1)$ 이다.
예시$72=2^{3}\times 3^{2}$ → 약수 $(3+1)(2+1)=12$개
곱셈 공식
기출 2회
식을 전개하거나 거꾸로 묶을 때 쓰는 기본 공식들. 지수 계산에서는 합·차 꼴의 곱을 정리할 때 자주 쓰인다.
$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
예시$(2^{x}+2^{-x})^{2}-(2^{x}-2^{-x})^{2}=4\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}=4$
이차방정식의 실근
기출 3회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근 개수는 판별식 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호로 판정한다($D\gt 0$ 서로 다른 두 실근, $D=0$ 중근, $D\lt 0$ 실근 없음). 두 근 $\alpha,\ \beta$ 에 대해 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$ (근과 계수의 관계).
정수 조건의 부정방정식
기출 1회
미지수 개수보다 식이 적어도, 해가 정수(자연수)라는 조건이 있으면 곱의 꼴로 묶어 약수 조합을 나열해 푼다.
예시자연수 $x,\ y$ 에 대해 $xy=6$ → $(x,\,y)=(1,6),\,(2,3),\,(3,2),\,(6,1)$
이차함수의 최대·최소
기출 2회
$y=ax^{2}+bx+c$ 는 꼭짓점 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 에서 최대 또는 최소. 구간이 제한되면 꼭짓점이 구간 안인지 확인하고 구간 끝 값과 비교한다. 지수·로그를 치환한 뒤의 최대·최소가 이 문제로 귀결되는 경우가 많다.
함수의 최대와 최소
기출 1회
주어진 범위에서 함수가 갖는 가장 큰 값과 가장 작은 값. 그래프의 개형(증가·감소, 꼭짓점, 구간 끝)을 그려서 판단하는 것이 기본이다.
합성함수
기출 1회
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ — 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣는 것. 안쪽 함수부터 계산한다.
예시$f(x)=2^{x},\ g(x)=x+1$ 이면 $(g\circ f)(1)=g(2)=3$
절댓값 함수의 그래프
기출 1회
절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 경계로 식이 갈라진다. 경계 기준으로 구간을 나눠 절댓값을 벗기고 그리면, 그래프가 경계에서 꺾인 모양이 된다.
평행이동과 대칭이동
기출 5회
$y=f(x)$ 를 $x$축 방향 $m$, $y$축 방향 $n$ 만큼 평행이동하면 $y=f(x-m)+n$. $x$축 대칭은 $y=-f(x)$, $y$축 대칭은 $y=f(-x)$, 직선 $y=x$ 대칭은 역함수다. 지수·로그 그래프 문제의 대부분이 이동된 그래프에서 시작한다.
예시$y=2^{x}$ 를 $x$축 방향 $1$, $y$축 방향 $3$ 이동 → $y=2^{x-1}+3$
직선의 방정식과 기울기
기출 4회
두 점 $(x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2})$ 를 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ 이고, 기울기 $m$ 으로 점 $(x_{1},y_{1})$ 을 지나는 직선은 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$. 세 점이 한 직선 위에 있다는 조건은 두 기울기가 같다는 식이 된다.
두 점 사이의 거리
기출 5회
$(x_{1},y_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. 그래프 위 두 점의 거리 조건은 이 식으로 좌표의 방정식이 된다.
예시$(1,\,2)$ 와 $(4,\,6)$ 의 거리는 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
점과 직선 사이의 거리
기출 1회
점 $(x_{1},y_{1})$ 과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
선분의 중점과 내분점
기출 2회
두 점의 중점은 $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$, 선분을 $m:n$ 으로 내분하는 점의 $x$좌표는 $\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$.
도형의 닮음
기출 1회
닮음비가 $k$ 이면 대응하는 길이는 $k$배, 넓이는 $k^{2}$배. 좌표평면에서는 평행선이 만드는 닮은 삼각형으로 좌표의 비를 옮길 때 쓴다.
삼각형과 사각형의 넓이
기출 4회
삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times$밑변$\times$높이. 꼭짓점이 좌표로 주어지면 사선(신발끈) 공식으로 한 줄에 계산할 수 있고, 사다리꼴은 $\dfrac{1}{2}(a+b)h$.
정삼각형의 성질
기출 1회
한 변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 높이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$, 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$.
등비수열의 일반항
기출 1회
첫째항 $a$, 공비 $r$ 인 등비수열의 일반항은 $a_{n}=ar^{n-1}$. 지수함수 위의 점들이 등비 관계를 이룰 때 연결된다.
사잇값 정리
기출 1회
닫힌 구간에서 연속인 함수는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 적어도 한 번 가진다. $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 존재한다는 판정으로 쓰인다.
합성함수의 미분법
기출 1회
$\{g(f(x))\}'=g'(f(x))\,f'(x)$ — 겉함수를 미분하고 속함수의 미분을 곱한다(미적분 과목 범위).