이차곡선 — 기본 개념 잡기
기본 개념 36개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
기하(선택)
이 개념이 왜 생겼나 — 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 곡선을 연구하면서다. 기원전 3세기 그리스의 아폴로니오스는 『원뿔곡선론』에서 자르는 각도에 따라 단면이 원·타원·포물선·쌍곡선이 됨을 밝히고 각 곡선의 성질을 체계적으로 정리했다. 당시에는 순수한 기하학적 호기심이었지만, 약 1800년 뒤 케플러가 행성이 태양을 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다는 사실을 밝히면서 이 곡선들은 자연의 운동을 적는 언어가 되었다.
지금 어디에 쓰이나 — 반사와 궤도의 곡선이다. 포물선은 축에 평행하게 들어온 것을 모두 초점에 모으므로 위성 안테나·자동차 전조등·태양열 조리기가 포물면으로 만들어지고, 타원은 한 초점에서 나온 것이 다른 초점에 모이므로 속삭이는 회랑과 결석 파쇄기에 쓰인다. 인공위성과 혜성의 궤도는 속력에 따라 타원·포물선·쌍곡선 중 하나로 결정된다.
수능은 무엇을 묻나 — 세 곡선의 정의 그 자체다. 초점까지의 거리의 합(타원)·차(쌍곡선)·준선까지의 거리와의 같음(포물선)을 이용해 초점과 곡선 위의 점이 만드는 삼각형에서 길이를 계산하는 문제, 그리고 접선의 방정식이 기하 선택자에게 출제된다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
포물선
포물선의 뜻과 방정식
기출 18회
평면 위에서 한 점(초점)과 그 점을 지나지 않는 한 직선(준선)까지의 거리가 같은 점들의 자취를 포물선이라 한다. 초점이 $x$축 위에 있으면 $y^{2}=4px$, $y$축 위에 있으면 $x^{2}=4py$ 꼴이 된다.
초점 $(p,\,0)$, 준선 $x=-p$ 인 포물선은 $y^{2}=4px$, 초점 $(0,\,p)$, 준선 $y=-p$ 인 포물선은 $x^{2}=4py$
예시초점 $(1,\,0)$, 준선 $x=-1$ 인 포물선은 $y^{2}=4x$
포물선의 초점과 준선
기출 4회
포물선 위의 어느 점에서든 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다. 포물선 문제에서 초점까지의 거리가 나오면 준선까지의 거리(좌표로 바로 읽히는 길이)로 바꾸는 것이 기본 수순이다.
$y^{2}=4px$ 위의 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 에서 초점까지의 거리는 $x_{1}+p$ $(p\gt 0)$
예시$y^{2}=8x$ 는 $4p=8$ 에서 $p=2$ — 초점 $(2,\,0)$, 준선 $x=-2$ 이고, 점 $(2,\,4)$ 에서 초점까지의 거리는 $2+2=4$
포물선의 평행이동
기출 4회
포물선 $y^{2}=4px$ 를 $x$축 방향으로 $m$, $y$축 방향으로 $n$ 만큼 평행이동하면 $(y-n)^{2}=4p(x-m)$ 이 되고, 초점과 준선도 함께 이동한다. 이동된 식이 주어지면 꼭짓점 $(m,\,n)$ 부터 확정한다.
예시$(y-1)^{2}=4(x-2)$ 의 꼭짓점은 $(2,\,1)$, 초점은 $(3,\,1)$, 준선은 $x=1$
타원
타원의 뜻과 방정식
기출 16회
평면 위의 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정한 점들의 자취를 타원이라 한다. 두 초점이 $x$축 위에 있고 거리의 합이 $2a$ 이면 표준형은 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 이다.
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a\gt b\gt 0)$, 초점 $(\pm c,\,0)$, $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, 거리의 합은 $2a$
예시$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ 위의 임의의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 $2\times 5=10$
타원의 초점·장축·단축
기출 4회
타원에서 두 초점을 지나는 지름을 장축(길이 $2a$), 그에 수직인 지름을 단축(길이 $2b$)이라 한다. 세 수 $a,\ b,\ c$ 는 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 로 묶여 있어 둘을 알면 나머지 하나가 결정된다.
$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$, 장축의 길이 $2a$, 단축의 길이 $2b$
예시$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ 은 $c=\sqrt{25-9}=4$ — 초점 $(\pm 4,\,0)$, 장축 $10$, 단축 $6$
타원의 대칭성
기출 3회
표준형 타원은 $x$축·$y$축·원점에 대하여 각각 대칭이다. 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 이 타원 위에 있으면 $(x_{1},\,-y_{1})$, $(-x_{1},\,y_{1})$, $(-x_{1},\,-y_{1})$ 도 타원 위에 있다 — 한 초점에 대한 조건을 다른 초점으로 옮길 때 이 대칭이 쓰인다.
타원의 평행이동
최근 5개년 직접 출제 없음
타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 을 평행이동하면 $\dfrac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-n)^{2}}{b^{2}}=1$ — 중심이 $(m,\,n)$ 으로 옮겨지고 초점·축도 함께 이동한다. 장축·단축의 길이와 초점 사이의 거리는 변하지 않는다.
예시$\dfrac{(x-3)^{2}}{25}+\dfrac{(y-1)^{2}}{9}=1$ 의 중심은 $(3,\,1)$, 초점은 $(3\pm 4,\,1)$ 즉 $(7,\,1)$ 과 $(-1,\,1)$
쌍곡선
쌍곡선의 뜻과 방정식
기출 13회
평면 위의 두 점(초점)에서의 거리의 차가 일정한 점들의 자취를 쌍곡선이라 한다. 두 초점이 $x$축 위에 있고 거리의 차가 $2a$ 이면 표준형은 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 이고, 곡선은 좌우 두 가지로 나뉜다.
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 초점 $(\pm c,\,0)$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, 거리의 차는 $2a$
예시$\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$ 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 $2\times 3=6$
쌍곡선의 초점과 주축
기출 5회
쌍곡선이 초점을 잇는 직선과 만나는 두 점을 꼭짓점, 두 꼭짓점을 잇는 선분을 주축(길이 $2a$)이라 한다. 타원과 달리 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 이므로 초점이 꼭짓점보다 항상 바깥에 있다.
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, 주축의 길이 $2a$
예시$\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$ 은 $c=\sqrt{9+16}=5$ — 초점 $(\pm 5,\,0)$, 꼭짓점 $(\pm 3,\,0)$
쌍곡선의 점근선
기출 5회
쌍곡선은 멀리 갈수록 두 직선에 한없이 가까워지는데 이 직선을 점근선이라 한다. 점근선의 기울기 $\pm\dfrac{b}{a}$ 가 조건으로 주어지는 문제가 많아, 표준형을 보면 점근선부터 적어 두는 습관이 필요하다.
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 의 점근선은 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$
예시$\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$ 의 점근선은 $y=\pm\dfrac{4}{3}x$
쌍곡선의 평행이동
최근 5개년 직접 출제 없음
쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 을 평행이동하면 $\dfrac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-n)^{2}}{b^{2}}=1$ — 중심이 $(m,\,n)$ 이 되고 초점·점근선도 함께 이동한다.
이동된 쌍곡선의 점근선은 $y-n=\pm\dfrac{b}{a}(x-m)$
이차곡선과 직선
이차곡선의 뜻과 초점
기출 2회
$x,\ y$ 에 대한 이차방정식으로 나타내어지는 곡선 — 원·포물선·타원·쌍곡선 — 을 통틀어 이차곡선이라 한다. 모두 원뿔의 단면으로 얻어지며, 각 곡선은 초점을 이용한 거리 조건(같다·합이 일정·차가 일정)으로 정의된다는 점이 공통이다.
이차곡선과 직선의 위치 관계
기출 1회
이차곡선과 직선의 방정식을 연립해 얻은 이차방정식의 판별식 $D$ 로 교점의 개수를 판정한다. $D\gt 0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, $D=0$ 이면 접하고, $D\lt 0$ 이면 만나지 않는다.
예시$y^{2}=4x$ 와 $y=x+1$ 을 연립하면 $(x+1)^{2}=4x$, 즉 $x^{2}-2x+1=0$ — $D=0$ 이므로 접한다
포물선의 접선의 방정식
기출 4회
포물선 $y^{2}=4px$ 에 기울기 $m$ 으로 접하는 직선과, 곡선 위의 점에서의 접선은 각각 공식으로 바로 쓸 수 있다.
기울기 $m$ 인 접선은 $y=mx+\dfrac{p}{m}$ $(m\neq 0)$, 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 에서의 접선은 $y_{1}y=2p(x+x_{1})$
예시$y^{2}=4x$ $(p=1)$ 에 기울기 $1$ 로 접하는 직선은 $y=x+1$
타원의 접선의 방정식
기출 8회
타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 에 기울기 $m$ 으로 접하는 직선과, 곡선 위의 점에서의 접선의 공식이다. 점에서의 접선은 $x^{2}\to x_{1}x$, $y^{2}\to y_{1}y$ 로 바꾸어 쓴 꼴이다.
기울기 $m$ 인 접선은 $y=mx\pm\sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$, 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 에서의 접선은 $\dfrac{x_{1}x}{a^{2}}+\dfrac{y_{1}y}{b^{2}}=1$
예시$\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ 위의 점 $(2,\,1)$ 에서의 접선은 $\dfrac{2x}{8}+\dfrac{y}{2}=1$, 즉 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$
쌍곡선의 접선의 방정식
기출 7회
쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 의 접선 공식으로, 타원의 공식에서 부호만 바뀐 꼴이다. 기울기형의 근호 안이 양수인지($a^{2}m^{2}-b^{2}\gt 0$) 확인해야 한다.
기울기 $m$ 인 접선은 $y=mx\pm\sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ $(a^{2}m^{2}-b^{2}\gt 0)$, 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 에서의 접선은 $\dfrac{x_{1}x}{a^{2}}-\dfrac{y_{1}y}{b^{2}}=1$
예시$\dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 에 기울기 $1$ 로 접하는 직선은 $y=x\pm\sqrt{4-1}=x\pm\sqrt{3}$
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
피타고라스 정리
기출 3회
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 직각변의 제곱의 합과 같다. 초점과 곡선 위의 점이 만드는 직각삼각형에서 길이를 잇는 기본 도구다.
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
직각삼각형의 삼각비
기출 1회
직각삼각형에서 한 예각이 정해지면 변의 길이의 비가 정해진다. 초점을 낀 각이 주어진 문제에서 길이를 각으로 나타낼 때 쓴다.
$\sin\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos\theta=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan\theta=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$
코사인법칙
기출 4회
삼각형의 두 변과 끼인각으로 나머지 변을 구하는 법칙. 두 초점과 곡선 위의 한 점이 만드는 삼각형에서 정의(거리의 합·차)와 함께 연립하는 핵심 도구다.
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$
삼각형의 닮음
기출 2회
두 쌍의 대응각이 같으면 두 삼각형은 닮음이고, 닮음비가 $k$ 이면 대응변의 길이의 비도 $k$ 다. 평행선이 만드는 닮은 삼각형으로 길이의 비를 옮긴다.
삼각형의 중점연결정리
기출 2회
삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다. 쌍곡선·타원의 중심이 초점 사이의 중점이라는 사실과 결합해 자주 쓰인다.
$\overline{MN}\parallel \overline{BC}$, $\overline{MN}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}$
이등변삼각형·정삼각형의 성질
기출 2회
이등변삼각형은 두 밑각이 같고 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다. 한 변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 높이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$, 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$.
삼각형과 사각형의 넓이
기출 5회
삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times$밑변$\times$높이 또는 두 변과 끼인각으로 구한다. 초점과 곡선 위의 점이 만드는 삼각형의 넓이 조건이 길이의 방정식으로 바뀐다.
$S=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}ab\sin C$
원의 뜻과 성질
기출 2회
한 점(중심)에서 거리가 일정한 점들의 자취가 원이다. 중심 $(a,\,b)$, 반지름 $r$ 인 원의 방정식은 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ — 이차곡선 문제에서 초점을 중심으로 하는 원이 자주 등장한다.
원과 직선의 위치 관계
기출 1회
원의 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 를 비교한다. $d\lt r$ 이면 두 점에서 만나고, $d=r$ 이면 접하고, $d\gt r$ 이면 만나지 않는다.
두 점 사이의 거리와 선분의 중점
기출 3회
두 점 사이의 거리와 중점의 좌표. 초점까지의 거리 조건을 좌표의 식으로 바꾸는 출발점이다.
거리 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$, 중점 $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$
점과 직선 사이의 거리
기출 2회
점에서 직선에 내린 수선의 발까지의 거리. 포물선의 준선까지의 거리나 점근선까지의 거리를 계산할 때 쓴다.
점 $(x_{1},\,y_{1})$ 과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
직선의 방정식과 절편
기출 4회
기울기 $m$ 으로 점 $(x_{1},\,y_{1})$ 을 지나는 직선은 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ 이고, $x$절편 $a$, $y$절편 $b$ 인 직선은 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ 로 쓸 수 있다.
두 직선의 수직 조건
기출 2회
두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $-1$ 이다. 접선에 수직인 법선의 기울기를 구할 때 쓴다.
$m_{1}m_{2}=-1$
이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계
기출 2회
$ax^{2}+bx+c=0$ 의 실근 개수는 $D=b^{2}-4ac$ 의 부호로 판정하고, 두 근 $\alpha,\ \beta$ 에 대해 합과 곱을 계수로 나타낼 수 있다. 이차곡선과 직선의 교점 문제가 이 도구로 귀결된다.
$D=b^{2}-4ac$, $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
연립이차방정식
기출 1회
일차방정식과 이차방정식을 연립할 때는 일차식을 한 문자에 대해 정리해 이차식에 대입한다. 이차곡선과 직선의 교점 좌표를 구하는 계산이 바로 이것이다.
코시-슈바르츠 부등식
기출 1회
실수 $a,\ b,\ x,\ y$ 에 대해 성립하는 부등식으로, 등호는 $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$ 일 때 성립한다. 타원 위의 점에서 일차식의 최댓값·최솟값을 구할 때 쓸 수 있다.
$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\ge (ax+by)^{2}$
등차중항
기출 1회
세 수 $a,\ b,\ c$ 가 이 순서로 등차수열을 이루면 $2b=a+c$ 다. 세 거리(초점까지의 거리 등)가 등차수열을 이룬다는 조건이 이 식으로 바뀐다.
$2b=a+c$
매개변수 소거
기출 1회
$x=f(t),\ y=g(t)$ 로 주어진 점의 자취는 두 식에서 $t$ 를 소거해 $x,\ y$ 의 관계식으로 만든다. 소거하면서 $t$ 의 범위가 만드는 좌표의 범위를 함께 챙긴다.
예시$x=t+1,\ y=t^{2}$ 에서 $t=x-1$ 을 대입하면 $y=(x-1)^{2}$
평면벡터의 연산과 성분
기출 2회
평면벡터는 성분 $(a_{1},\,a_{2})$ 로 나타내어 성분끼리 더하고 빼며, 크기는 $\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$ 이다. 벡터로 표현된 자취 조건을 좌표의 식으로 바꿀 때 쓴다.
$(a_{1},\,a_{2})+(b_{1},\,b_{2})=(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2})$, $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$
삼수선의 정리와 이면각
기출 1회
평면 밖의 점 $P$ 에서 평면에 내린 수선의 발 $O$, $O$ 에서 평면 위의 직선 $l$ 에 내린 수선의 발 $H$ 에 대하여 $\overline{PH}\perp l$ 이 성립한다(삼수선의 정리). 이면각의 크기는 교선 위의 한 점에서 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각으로 잰다.