확률 — 기본 개념 잡기
기본 개념 23개 · 교과서 흐름 순 · 개념마다 정의·공식·예시와 기출 해설 연결
이 개념이 왜 생겼나 — 끝나지 않은 도박의 판돈을 나누는 문제에서다. 1654년 도박사 슈발리에 드 메레가 파스칼에게 물었다. 먼저 정해진 판수를 이기면 판돈을 갖기로 한 승부가 중간에 중단되면, 판돈을 어떻게 나눠야 공정한가. 파스칼과 페르마는 서신을 주고받으며 답을 찾았다 — 이미 일어난 일이 아니라 앞으로 일어날 수 있는 모든 경우를 세어, 각자가 이길 가능성의 비로 나눈다. 이 서신 교환에서 우연을 수로 재는 학문, 확률론이 태어났다.
지금 어디에 쓰이나 — 불확실한 미래에 값을 매기는 모든 곳에서다. 보험회사는 사고가 일어날 확률로 보험료를 정하고, 일기예보의 강수확률은 같은 조건에서 비가 온 비율 — 통계적 확률이다. 의료 검사에서 '양성 판정이 나왔을 때 실제로 병일 확률'은 조건부확률로 계산되고, 스팸 필터가 메일을 거르는 판단과 AI가 다음 단어를 고르는 판단도 조건부확률 위에서 이루어진다.
수능은 무엇을 묻나 — 경우의 수를 확률로 바꾸는 계산(수학적 확률), 조건이 붙었을 때 확률이 어떻게 달라지는가(조건부확률·독립), 그리고 같은 시행을 반복할 때의 확률(독립시행)이다. 아래 개념들을 순서대로 읽으면 이에 대한 대비를 갖출 수 있다.
확률의 뜻과 기본 성질
시행과 사건
최근 5개년 직접 출제 없음
같은 조건에서 반복할 수 있고 그 결과가 우연에 의해 정해지는 실험이나 관찰을 시행이라 한다. 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간 $S$, 그 부분집합을 사건이라 하며, 원소가 한 개인 사건을 근원사건이라 한다.
예시주사위 한 개를 던지는 시행에서 표본공간은 $\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$, '짝수의 눈이 나오는 사건'은 $\{2,\,4,\,6\}$
수학적 확률
기출 3회
표본공간의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $A$ 가 일어날 확률을 전체 경우의 수에 대한 $A$ 의 경우의 수의 비율로 정의한 것. 확률 계산의 출발점이고, 결국 분자·분모의 경우의 수를 세는 문제가 된다.
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$
예시주사위 한 개를 던질 때 짝수의 눈이 나올 확률은 $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
통계적 확률
최근 5개년 직접 출제 없음
시행을 $n$ 번 반복할 때 사건 $A$ 가 일어난 횟수가 $r_{n}$ 이면, $n$ 이 한없이 커질 때 상대도수 $\dfrac{r_{n}}{n}$ 이 가까워지는 값을 사건 $A$ 의 통계적 확률이라 한다. 근원사건의 가능성이 같다고 볼 수 없어 수학적 확률을 구하기 어려운 현상 — 야구 선수의 타율, 신약의 치료율 — 에 쓴다.
예시압정을 1000번 던져 침이 위를 향한 횟수가 620번이면 통계적 확률은 $\dfrac{620}{1000}=0.62$
확률의 기본 성질
기출 10회
어떤 사건의 확률도 0에서 1 사이의 값이고, 반드시 일어나는 사건(전사건)의 확률은 1, 절대 일어나지 않는 사건(공사건)의 확률은 0이다. 계산 결과가 이 범위를 벗어나면 어딘가 틀린 것이다.
임의의 사건 $A$ 에 대하여 $0\le P(A)\le 1$, $P(S)=1$, $P(\varnothing)=0$
확률의 덧셈정리와 여사건의 확률
배반사건
기출 4회
두 사건 $A,\ B$ 가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 $A\cap B=\varnothing$ 일 때 두 사건은 서로 배반이라 한다. 배반인지 아닌지에 따라 덧셈정리의 꼴이 달라지므로 확률을 더하기 전에 먼저 확인한다.
예시주사위 한 개를 던질 때 '1의 눈이 나오는 사건'과 '짝수의 눈이 나오는 사건'은 동시에 일어날 수 없으므로 서로 배반
확률의 덧셈정리
기출 13회
사건 $A$ 또는 $B$ 가 일어날 확률은 두 확률의 합에서 겹치는 부분 $P(A\cap B)$ 를 뺀 것이다. 두 사건이 배반이면 겹침이 없어 그냥 더한다.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, 특히 $A,\ B$ 가 배반이면 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
예시주사위에서 $A$=짝수의 눈, $B$=3의 배수의 눈이면 $P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$
여사건의 확률
기출 21회
사건 $A$ 가 일어나지 않는 사건을 $A$ 의 여사건 $A^{c}$ 라 하고, $P(A^{c})=1-P(A)$ 이다. '적어도 하나', '~ 이상'처럼 경우가 많은 조건은 반대쪽을 계산해 1에서 빼는 것이 빠르다.
$P(A^{c})=1-P(A)$
예시동전 3개를 던져 적어도 한 개가 앞면일 확률은 $1-P(\text{모두 뒷면})=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
조건부확률과 확률의 곱셈정리
조건부확률
기출 15회
사건 $A$ 가 일어났을 때 사건 $B$ 가 일어날 확률. 조건 $A$ 가 붙으면 표본공간이 $A$ 로 줄어들고, 그 안에서 $B$ 가 차지하는 비율을 구하는 것이다. '~일 때', '~라 할 때'라는 말이 문제에 있으면 조건부확률이다.
$P(B\,|\,A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ $(P(A)\gt 0)$
예시주사위에서 짝수의 눈이 나왔을 때 그 눈이 4일 확률은 $\dfrac{1/6}{1/2}=\dfrac{1}{3}$
확률의 곱셈정리
기출 5회
두 사건이 잇달아 일어날 확률은 앞 사건의 확률에 그 사건이 일어났다는 조건 아래의 확률을 곱한 것이다. 꺼낸 것을 되돌려 놓지 않는 시행처럼 앞의 결과가 뒤에 영향을 주는 상황에서 쓴다.
$P(A\cap B)=P(A)\,P(B\,|\,A)$ $(P(A)\gt 0)$
예시흰 공 3개, 검은 공 2개에서 공을 한 개씩 두 번 꺼낼 때(꺼낸 공은 되돌리지 않음) 둘 다 흰 공일 확률은 $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}$
사건의 독립과 종속
사건의 독립과 종속
기출 4회
사건 $A$ 가 일어나든 말든 사건 $B$ 의 확률이 달라지지 않으면 — 즉 $P(B\,|\,A)=P(B)$ 이면 — 두 사건은 서로 독립이고, 그렇지 않으면 종속이다. 독립인지 판정할 때는 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 가 성립하는지 확인한다.
$A,\ B$ 가 서로 독립 $\iff P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
독립사건의 곱셈정리
기출 3회
두 사건이 서로 독립이면 두 사건이 동시에 일어날 확률은 각 확률의 곱이다. 서로 영향을 주지 않는 시행 — 주사위와 동전을 따로 던지는 것 — 이 전형이다.
$A,\ B$ 가 서로 독립일 때 $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
예시주사위와 동전을 던져 6의 눈과 앞면이 모두 나올 확률은 $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$
독립시행의 확률
독립시행의 확률
기출 12회
같은 시행을 서로 독립하게 반복하는 것을 독립시행이라 한다. 한 번의 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 일 때, $n$ 회의 독립시행에서 $A$ 가 꼭 $r$ 회 일어날 확률은 '어느 $r$ 회인가'를 고르는 조합에 각 회의 확률을 곱해 얻는다.
$P={}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$ $(r=0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n)$
예시동전을 5번 던져 앞면이 꼭 3번 나올 확률은 ${}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}$
함께 쓰이는 다른 단원·기초 개념
경우의 수
기출 12회
두 사건이 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더하고(합의 법칙), 잇달아 일어나면 곱한다(곱의 법칙). 수학적 확률의 분자·분모가 모두 이 셈으로 만들어진다.
합의 법칙 $m+n$, 곱의 법칙 $m\times n$
순열
기출 7회
서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 골라 순서 있게 나열하는 경우의 수. 뽑는 순서가 결과를 구별하면 순열로 센다.
${}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)\cdots(n-r+1)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$
예시${}_{4}\mathrm{P}_{2}=4\times 3=12$
조합
기출 13회
서로 다른 $n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ 개를 뽑는 경우의 수. 뽑기만 하고 나열하지 않으면 조합으로 센다.
${}_{n}\mathrm{C}_{r}=\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$, ${}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}$
예시${}_{5}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{5\times 4}{2}=10$
약수와 배수의 성질
기출 2회
자연수 $a$ 가 $b$ 로 나누어떨어지면 $b$ 는 $a$ 의 약수, $a$ 는 $b$ 의 배수다. 1부터 $n$ 까지의 자연수 중 $k$ 의 배수는 $n$ 을 $k$ 로 나눈 몫만큼 있다.
예시1부터 20까지 중 3의 배수는 6개이므로 임의로 한 수를 뽑아 3의 배수일 확률은 $\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$
나머지에 따른 수의 분류
기출 1회
모든 정수는 $k$ 로 나눈 나머지 $0,\,1,\,\cdots,\,k-1$ 에 따라 $k$ 개의 묶음으로 나뉜다. 눈의 합이나 곱이 어떤 수의 배수가 되는 조건은 각 수의 나머지로 분류해 세면 정리된다.
예시두 수의 합이 3의 배수 $\iff$ 두 수를 3으로 나눈 나머지의 합이 3의 배수
이산확률변수의 확률분포
기출 1회
이산확률변수 $X$ 가 갖는 각 값 $x_{i}$ 에 확률 $p_{i}=P(X=x_{i})$ 를 대응시킨 것. 모든 확률의 합은 1이다.
$p_{i}\ge 0$, $\ p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1$
이산확률변수의 평균과 분산
기출 2회
확률변수의 평균은 각 값에 확률을 곱해 더한 것이고, 분산은 평균에서 흩어진 정도다.
$E(X)=\sum x_{i}p_{i}$, $\ V(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}$
이항분포
기출 3회
확률 $p$ 인 사건이 $n$ 회의 독립시행에서 일어나는 횟수 $X$ 의 확률분포. $X$ 는 이항분포 $\mathrm{B}(n,\,p)$ 를 따른다고 한다.
$P(X=r)={}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$, $\ E(X)=np$, $\ V(X)=np(1-p)$
정규분포의 표준화
기출 1회
정규분포 $\mathrm{N}(m,\,\sigma^{2})$ 를 따르는 $X$ 를 $Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$ 으로 바꾸면 $Z$ 는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,\,1)$ 을 따른다. 확률은 표준정규분포표에서 읽는다.
$Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$
연속확률변수와 확률밀도함수
기출 1회
어떤 범위의 모든 실수 값을 가질 수 있는 확률변수가 연속확률변수이고, 그 확률은 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프와 $x$축 사이의 넓이로 정의된다. 전체 넓이는 1이다.
$f(x)\ge 0$, 전체 넓이 $=1$, $\ P(a\le X\le b)=$ 구간 $[a,\,b]$ 에서의 넓이
표본평균
기출 1회
모집단에서 뽑은 크기 $n$ 의 표본의 평균 $\overline{X}$. 표본을 뽑을 때마다 값이 달라지는 확률변수이며, 그 평균은 모평균과 같고 분산은 모분산의 $\dfrac{1}{n}$ 이다.
$E(\overline{X})=m$, $\ V(\overline{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}$